
- •ЛинейнОе пространство
- •Определения. Базис и размерность. Разложение вектора по базису пространства
- •Определение базиса и размерность пространства l
- •Если обладает базисом, то говорят, что линейное пространствоLимеет рангQ (ranq q).
- •Изоморфизм n-мерных линейных пространств
- •Формулы преобразования координат при изменении базиса
- •Произведением. Евклидово пространство
- •2.1. Определение евклидова пространства. Длина вектора. Неравенство Коши-Буняковского
- •2.2. Ортогональный и орто-нормированный базисы в пространстве е
- •2.3. Ортогонализация базиса в пространстве
- •2.4. Скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве
- •Изоморфизм евклидовых пространств
- •§ 3. Билинейные квадратичные формы
- •4.1. Линейная функция
- •4.2. Билинейные формы
- •4.3. Матрицы билинейной формы
- •4.4. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса
- •4.5. Квадратичные формы
- •4.6. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду
- •Будем рассматривать квадратичную форму (7) в евклидовом пространстве
2.4. Скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве
Пусть
- ортогональный базис евклидова
пространстваЕ.
Найдем, как выражается скалярное
произведение двух векторов через их
координаты в этом базисе.
Пусть
-
координаты вектора
,
а
-
координаты вектора
в этом базисе, то есть:
Тогда:
(16)
Если базис
является ортонормированным, то есть
,
(17)
то выражение (16) в таком базисе примет вид
).
(18)
Таким образом, в нормированном ортогональном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.
Изоморфизм евклидовых пространств
Если рассмотреть ряд n-мерных евклидовых пространств, то эти пространства могут отличаться одно от другого во всяком случае способом задания векторов базиса. Возникает вопрос: какие из этих пространств действительно различны и какие различия являются лишь чисто внешними?
Для того, чтобы вопрос был точно поставлен, нужно определить, какие два
евклидова пространства будем считать несущественно различающимися (изоморфными).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
7. Два евклидовых пространства
и
называются изоморфными,
если между их элементами можно установить
взаимно однозначное соответствие
так, что:
1.
Если
и
,
то
.
2.
Если
,
то
.
3.
Если
и
,
то
.
Таким образом, два
евклидовых пространства
и
изоморфны,
если они изоморфны как линейные
пространства. И этот изоморфизм таков,
что он сохраняет скалярное произведение
соответствующих векторов.
§ 3. Билинейные квадратичные формы
4.1. Линейная функция
Рассмотрим простейшие числовые функции, аргументами которых являются вектора. Простейшей числовой функцией в пространстве L является линейная функция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Функция
называетсялинейной,
если
ставит в соответствие число и при этом
выполнены условия:
.
.
Выберем в n-мерном
линейном пространстве
базис
.
Так как каждый вектор
можно представить в виде:
,
то в силу свойства
линейной функции имеем:
.
Итак, в линейном
n-мерном
пространстве
с заданным базисом линейная функция
может быть представлена в виде
,
(1)
где
постоянные, зависящие лишь от выбора
базиса, а
- координаты вектора
в этом базисе.
Выясним, как меняются коэффициенты линейной функции при замене одного базиса другим.
Пусть
и
- два базиса в
.
Предположим, что векторы
выражаются через векторы базиса
следующим образом:
,
В базисе
линейная функция
определяется выражением
,
(2)
а в базисе
- выражением
.
(3)
Так как
то
Следовательно, коэффициенты линейной формы преобразуются при переходе к другому базису так же, как векторы базиса этого пространства.
4.2. Билинейные формы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
2. Выражение
называется билинейной
функцией (билинейной формой) от векторов
и
,если:
.
При фиксированном
есть линейная функция от
,
то есть:
а)
,
б)
.
.
При фиксированном
есть линейная функция от
,
то есть:
а)
,
б)
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.
Билинейная
функция (форма) называется симметричной,
если для всех векторов
и
имеет место равенство:
(4)
В частности, из
определения скалярного произведения
в евклидовом пространстве Е
следует,
что это произведение является симметричной
билинейной формой.