2.2. Ортогональный и орто-нормированный базисы в пространстве е

В линейном пространстве у нас нет оснований предпочесть одни базисы другим. Там все базисы равноправны. В евклидовом пространстве существуют наиболее удобные базисы, а именно, ортогональные базисы. Они играют здесь ту же роль, что и прямоугольные системы координат в аналитической геометрии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Будем говорить, что n векторов ни один из которых не равен нулю, образуютортогональный базис в n-мерном евклидовом пространстве , если они попарно ортогональны, то есть:

при .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Векторы ни один из которых не равен нулю, образуютортогональный нормированный базис, если они попарно ортогональны и имеют каждый длину равную единице, то есть, если выполняется равенство:

(9)

Для того, чтобы данное нами определение ортогонального и ортонормированных базисов было корректным, необходимо доказать, что входящие в определение векторы действительно образуют базис, то есть являются линейно независимыми.

Докажем, что равенство

(10)

возможно лишь, если , то есть является тривиальным. Умножим обе части равенства (10) скалярно на. Получим:

.

Но по определению ортогонального базиса

при .

Следовательно, Аналогично, умножая (10) на , получим₂=0 и т. д. Таким образом, соотношение (10) выполнено, если , то есть векторыявляются независимы, что и доказывает корректность утверждения.

Чтобы доказать существование ортогональных базисов в евклидовом пространстве , воспользуемся, так называемым, процессом ортогонализации.

2.3. Ортогонализация базиса в пространстве

Процесс ортогонализации состоит в том, что из не ортогональных, но линейно независимых векторов , можно построить систему попарно ортогональных векторов. Опишем процесс их построения. Пусть даныn линейно независимых векторов . По этим векторам построимn попарно ортогональных векторов . Сначала положим. Векторбудем искать в виде:, где число₁ подберем таким образом, чтобы выполнялось условие .

Имеем:

(11)

Предположим, что построена система попарно ортогональных и отличных от нуля векторов . Далее векторбудем определять так:

, (12)

то есть вектор мы получаем из векторапутем "исправления" его с помощью линейной комбинации уже построенных векторов.

Коэффициенты находим из условия ортогональности векторак векторам. Последовательно умножим соотношение (12) на, затем наи т.д. Имеем

( 13)

Так как векторы попарно ортогональны, то равенства (13) запишутся так:

Отсюда находим:

(14)

До сих пор не было использовано то, что векторы линейно независимы. Это будем использовать при доказательстве того, что построенный векторотличен от нуля. Заметим предварительно, что векторесть линейная комбинация векторов. Но, с другой стороны, вектор можно заменить линейной комбинацией и векторов . В итоге, векторзаписывается в виде:

. (15)

Теперь ясно, что .Так как, в противном случае, правая часть равенства (15) была бы нулем, что противоречит линейной независимости векторов.

Итак, доказано, что .

Мы построили по векторам ивектор. Таким же образом пои мы построим и т.д.

Продолжая этот процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны заданные векторы . Получаемn отличных от нуля и попарно ортогональных векторов , которые образуют ортогональный базис в исходном евклидовом пространстве.

Т е о р е м а 4. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортогональный базис.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению n-мерного пространства в нем существует базис линейно независимых векторов. С помощью процесса ортогонализации из векторовможно построить ортогональный базис, что и доказывает теорему.