
- •ЛинейнОе пространство
- •Определения. Базис и размерность. Разложение вектора по базису пространства
- •Определение базиса и размерность пространства l
- •Если обладает базисом, то говорят, что линейное пространствоLимеет рангQ (ranq q).
- •Изоморфизм n-мерных линейных пространств
- •Формулы преобразования координат при изменении базиса
- •Произведением. Евклидово пространство
- •2.1. Определение евклидова пространства. Длина вектора. Неравенство Коши-Буняковского
- •2.2. Ортогональный и орто-нормированный базисы в пространстве е
- •2.3. Ортогонализация базиса в пространстве
- •2.4. Скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве
- •Изоморфизм евклидовых пространств
- •§ 3. Билинейные квадратичные формы
- •4.1. Линейная функция
- •4.2. Билинейные формы
- •4.3. Матрицы билинейной формы
- •4.4. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса
- •4.5. Квадратичные формы
- •4.6. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду
- •Будем рассматривать квадратичную форму (7) в евклидовом пространстве
Г л а в а Ш. ПРОСТРАНСТВА
ЛинейнОе пространство
Определения. Базис и размерность. Разложение вектора по базису пространства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество L называется линейным, если для элементов этого множества выполнены следующие условия:
а) в L
введено сложение элементов, то есть
введено отображение
,
(1)
обладающее следующими свойствами:
,
такой, что
,
,
(элемент -называется противоположным элементу
);
б) в множестве
L
введена операция умножения элементов
на действительные числа, то есть
и
определено отображение
,
обладающее свойствами:
,
,
,
.
Следует отметить, что элементами линейного пространства , как правило, являются векторы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пространство L называется действительным, если в L операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и - комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.
Система векторов
называетсялинейно
зависимой,
если найдутся такие числа
,
что
,
(2)
причем
,
(3)
и эта система векторов называется линейно независимой, если
(4)
Условие
означает, что среди всех
существует
хотя бы одно число не равное нулю.
Т е о р е м а 1. Если
система векторов
является линейно зависимой, то один
из векторов этой системы является
линейной комбинацией остальных.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Запишем условие линейной
зависимости векторов
.
(5)
Пусть для
определенности
,
тогда из (5) имеем:
.
Таким образом,
вектор
является линейной комбинацией остальных
векторов.
Определение базиса и размерность пространства l
Пусть
- произвольное множество векторов
линейного пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.
Упорядоченная система векторов
называется базисом в Q, если:
;
б) система векторов
линейно независимая;
в) для
найдутся такие числа
,
что
.
(6)
Формула (6) называется
разложением
вектора
по базису Q
, а коэффициенты
–
координатами этого вектора в базисеQ.
Если обладает базисом, то говорят, что линейное пространствоLимеет рангQ (ranq q).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.
Линейное пространство L
называется n-мерным,
если в нем существует n
линейно независимых векторов и
обозначается так
.
В противном случае, пространствоL
называется бесконечно
мерным.
Т е о р е м а 2.
Каждый вектор
из
можно представить, и притом единственным
образом, как линейную комбинацию векторов
базиса.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть векторы
образуют базис в
.
Присоединим к ним произвольный вектор
.
Система векторов состоит уже из
-го
вектора
.
Поэтому по определениюn-мерного
пространства они должны быть линейно
зависимыми, то есть
,
(7)
причем
.
Число
заведомо отлично от нуля, так как иначе
из формулы (7) следовала бы линейная
зависимость векторов
.
Выразим из (7) вектор
.
.
(7)
Таким образом,
мы доказали, что каждый вектор
есть линейная комбинация векторов
базиса
.
Докажем, что вектор
разлагается единственным образом по
базису
.
Доказательство проведем от противного.
Пусть существует два разложения
(8)
и
.
(9)
Вычитая из (8) разложение (9), получим:
.
(10)
Так как вектора
базиса
.линейно
независимые, то (10) возможно лишь, если:
.
Что и требовалось доказать.