
- •Глава 1. Матрицы и их определители
- •§1. Матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •2 · .
- •§2.Определитель матрицы. Свойства определителя правила его вычисления
- •Теперь рассмотрим матрицу третьего порядка
- •Определителем этой матрицы называется число, равное
- •Свойства определителя
- •§3. Обратная матрица
- •§4. Разложение матрицы на произведение двух треугольных матриц
- •§5. Клеточные матрицы и действия над ними
- •§6. Определение ранга матрицы и основные методы его вычисления
- •Теорема о ранге матрицы . Базисный минор
Теорема о ранге матрицы . Базисный минор
Рассмотрим n матриц-столбцов (строк)
и их сумму
,
которая называется
линейной
комбинацией матриц-столбцов,
а числа
-коэффициентами
этой комбинации.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Матрицы-столбцыназываютсялинейно-зависимыми,
если существуют действительные числа
такие, что
=0 ,
(1)
причем
ПРИМЕР 1. Матрицы столбцы
линейно зависимы, так как
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Матрицы-столбцыназываютсялинейно-независимыми,
если существуют действительные числа
такие, что
0 ,
(6)
причем
ПРИМЕР 2. Матрицы столбцы
.
Т е о р е м а. Если ранг матрицы A равен r, то :
а) она имеет r независимых столбцов и r независимых строк, которые называются базисными;
б) любой столбец (строка) этой матрицы выражается в виде линейной комбинации базисных столбцов (строк).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана матрица
ранг которой равен r . Следовательно у матрицы A существует хотя бы один минор порядка r отличный от нуля, который будем называть базисным, а столбцы и строки, из которых он составлен - базисными столбцами и строками матрицы. Введем обозначение для столбцов матрицы A:
.
Предположим для
определенности, что базисный минор
матрицы A
расположен в левом верхнем углу и
обозначим его через
.
Тогда базисными
столбцами будут
.
Далее предположим, что эти столбцы
линейно зависимы, то есть существуют
числа
не все равные нулю,
такие что:
=0 ,
или
Пусть.
Умножим первый столбец минора
на
и прибавим
к нему остальные столбцы, умноженные
соответственно на 2
,3
,...,n:
Последнее равенство
невозможно, так как
Значит
предположение о линейной зависимости
базисных столбцов неверно. Следовательно,
они линейно независимы.
Построим теперь
определитель (r+1)-го
порядка приписав справа к базисному
минору
любой столбец матрицыA,
а снизу любую строку этой матрицы:
Если
или
i,
то
имеет два одинаковых
столбца или две одинаковые строки,
поэтому
.
Еслиk
r и i
r, то
- минор порядка(r+1)
матрицы A и
он равен нулю (ранг матрицы A
равен r).
Следовательно, во всех случаях
.
Разложим этот определитель по элементам
последней строки:
.
Алгебраические
дополнения
не зависят от того, какая i-я строка
приписана в
снизу, так как алгебраические дополнения
получаются вычеркиванием этой строки.
Обозначим эти алгебраические дополнения
соответственно символами
1,
2,
..., r,
k.
Беря в качестве i-й
строки первую, затем вторую и т.д. строки
матрицы A,
получим из
последнего равенства:
или
где
столбцы матрицыA.
Так как
,
то, введя обозначения
получим окончательно
то есть любой столбец матрицыA
есть линейная
комбинация базисных столбцов, что и
требовалось доказать.
ПРИМЕР. Выяснить,
является ли система векторов
и
линейно зависимой или линейно независимой.
Запишем матрицу
A,
столбцами которой являются векторы
и
Далее вычислим
ранг этой матрицы. Имеем
,
Следовательно,rankA=2.
По теореме о базисном миноре исходная
система векторов
и
линейно зависима. Так как минор второго
порядка отличен от нуля, то он может
быть принят за базисный минором, а
векторы
и
образуют базис исходной системы векторов.