§4. Разложение матрицы на произведение двух треугольных матриц

Рассмотрим квадратную, треугольную матрицу, у которой элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю:

.

Легко заметить, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов,

.

Если квадратная матрица неособенная, имеет отличные от нуля диагональные миноры (так называются миноры определителя матрицы , у которых на главных диагоналях стоят диагональные элементы матрицы), то есть

то ее можно разложить на произведение двух треугольных матриц (верхний и нижний). При этом диагональные элементы одной из треугольных матриц заранее можно задать отличные от нуля (например, положить их равными единице).

Пусть

,

где C - нижняя треугольная матрица, а B - верхняя треугольная матрица. Укажем правило преобразования матрицы A в произведение двух треугольных для случая с_ii=1 . В этом случае, в первую очередь, нужно вычислять элементы строк матрицы B по формулам

а затем элементы столбцов матрицы C по формулам

.

Матрица A была представлена в виде CB двух треугольных матриц, где C-нижняя, а B - верхняя треугольная матрица. Однако такой порядок сомножителей не является обязательным. Можно представить матрицу A в виде произведения BC и получить аналогичные формулы для элементов треугольных матриц В и С.

§5. Клеточные матрицы и действия над ними

При вычислении операции с матрицами высоких порядков целесообразно разбить их предварительно на клетки (блоки) с помощью горизонтальных и вертикальных перегородок, идущих вдоль и поперек всей матрицы. Таким образом, каждая матрица разбивается на матрицы меньших порядков, вычислительные действия над которыми производить значительно проще.

Матрица, разбитая на клетки называется клеточной или блочной.

Например,

1) Матрица 4-го порядка A разбита на четыре клетки:

= =

где клетками являются квадратные матрицы:

2) Матрица n-го порядка C разбита на четыре клетки

,

где - квадратная матрица -го порядка:

- вектор-столбец -го порядка;

- вектор-строка -го порядка;

C_nn - число.

Такое разбиение на клетки называется окаймлением, а матрицы - окаймленными.

§6. Определение ранга матрицы и основные методы его вычисления

Рассмотрим прямоугольную матрицу

размером .

Если в матрице A произвольным образом выбрать k строк и k столбцов, где , то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы A. Так на пересечении 1-й и 2-й строк с первым и вторым столбцом матрицы A находится матрица второго порядка

,

определитель которой является минором второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Наивысший порядок отличных от нуля миноров прямоугольной матрицы А называется ее рангом и обозначается символом rank A.

Из определения ранга следует, что если ранг матрицы равен r, то в матрице имеется хотя бы один минор r-го порядка, не равный нулю, а все миноры ( r+1)-го порядка и более высоких порядков равны нулю.

Для матриц размером m x n разность между наименьшим из чисел и рангом матрицы называетсядефектом матрицы.

Для квадратной матрицы размером m n дефект равен n-r.

Прямоугольная матрица А размером mn называется матрицей полного ранга , если rank A= min (m,n).

Любой, отличный от нуля минор порядка rank A называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы, на которых расположен базисный минор, называются базисными.

Ниже рассмотрим два наиболее часто используемых метода вычисления ранга матриц: метод окаймления минора и метод элементарных преобразований матрицы.

а) МЕТОД ОКАЙМЛЕНИЯ МИНОРА. В этом методе при вычислении ранга матрицы от миноров меньших порядков, начиная с миноров первого порядка , осуществляется переход вычисления миноров больших порядков, придерживаясь следующего правила. Пусть найден минор r-го порядка, то есть M_r0, тогда для определения ранга матрицы нужно вычислить миноры (r+1)-го порядка , окаймляющие данный минор M_r. Если все миноры равны нулю (r+1)-го порядка и выше равны нулю, ранг матрицы будет равен r. Если же хотя бы один из миноров M_r+10 , то эту операцию следует применить к нему, причем в этом случае ранг матрицы заведомо больше величины r. Этот метод вычисления ранга матрицы носит название метода окаймления.

ПРИМЕР. Определить ранг матрицы

.

Для вычисления ранга этой матрицы воспользуемся методом окаймления.

Ш а г 1. Выберем произвольно минор первого порядка не равным нулю (верхний индекс соответствует порядку номера при вычислении, нижний индекс - порядок минора).

Ш а г 2. Найдем окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю

.

Ш а г 3. Рассмотрим все миноры 3-го порядка, окаймляющие минор и:

Итак , все миноры 3-го порядка равны нулю.

Ш а г 4. Вычислим теперь минор высшего порядка равный.

Имеем

.

Следовательно, ранг матрицы равен 2, а дефект 4-2=2

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что для вычисления ранга матрицы методом окаймления количество определителей различных порядков, порождаемых исходной матрицей, требующих вычисления обычно велико. Эти вычисления можно сократить, если вычислять ранг матрицы с помощью метода элементарных преобразований матрицы.

б) МЕТОД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МАТРИЦЫ. Приведем перечень элементарных преобразований, которые изменяя саму матрицу не изменяют ее ранга. Так, матрица A приводится к матрице B элементарными преобразованиями, к которым относятся:

а) если к элементам какой-либо строки прибавить (отнять) элементы другой строки, умножение на произвольное число отличное от нуля;

б) ранг матрицы не изменится, если две строки или два столбца поменять местами;

в) ранг матрицы не изменится, если исключить из матрицы строки (столбцы) , являющиеся линейной комбинацией других строк (столбцов);

г) если в результате преобразований элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то ее можно вычеркнуть;

д) ранг матрицы не изменится, если элементы какой-либо строки (столбца) умножить на одно и то же число.

Итак, в результате таких преобразований получается новая матрица, которая не является исходной, а эквивалентна ей (ранг этих матриц равен).

ПРИМЕР. Применяя элементарные преобразования матрицы, определить ранг матрицы

.

Для вычисления ранга матрицы проведем последовательно следующие элементарные преобразования матрицы.

Ш а г 1. Сначала первый столбец прибавим к четвертому, а затем последовательно умножив его на (-2) и (-3), прибавим соответственно ко второму и третьему столбцам.

Ш а г 2. Исключим второй и третий столбцы, так как они получаются из четвертого столбца умножением на (-5).

Итак, имеем

.

Очевидно, что ранг последней матрицы равен 2, так как имеется

.

Следовательно, .