2.2.3. Пример решения логической задачи

Предположим необходимо сконструировать простой электронный замок, который должен открываться только в том случае, когда определенные электронные ключи замкнуты. Исходными данными является таблица истинности, представленная на рис.2.17. Две комбинации входных величин дают на выходе логическую единицу. Единица на выходе означает, что замок открыт. На основе таблицы истинности формируется соответствующее булево выражение в дизъюнктивной нормальной форме

Затем в соответствии с полученным выражением составляется логическая схема рис.2.18,а. Как уже упоминалось выше, одному логическому выражению может быть поставлено в соответствие несколько логических схем, т.е. нет однозначного схемного решения логической задачи. Вместе с тем, то множество логических схем, которое соответствует данному выражению, выполняет одну и ту же функцию и определяется одной таблицей истинности. В качестве иллюстрации к сказанному на рис.2.18,б приведена схема того же замка, выполненная только на элементах ИЛИ-НЕ.

2.3. Минимизация комбинационных схем

На рис.2.19 приведено логическое выражение, таблица истинности и схема, построенная по данному выражению. Вместе с тем, показанная таблица истинности соответствует функцииИЛИс двумя входами (A+B=Y). Таким образом, среди множества схем, соответствующих одному логическому выражению встречаются схемы разной степени сложности. Данное обстоятельство приводит к мысли о том, что логические схемы можно минимизировать (т.е. получить схему минимальной сложности). С этой целью используют общие методы упрощения булевых выражений. Существуют аналитические, табличные и графические приемы упрощения логических задач. Широкое распространение получил метод карт Карно. В 1953 г. Морис Карно опубликовал статью о разработанной им системе графического представления и упрощения булевых выражений. Карта Карно для двух переменных показана на рис.2.20. Четыре квадрата (1,2,3,4) соответствуют четырем возможным комбинациям переменных в таблице истинности. Соответствие состояния выхода и квадрата карты Карно показано стрелками.

Предположим, что необходимо составить карту Карно для логической задачи, проиллюстрированной на рис.2.19. Исходное булево выражение переписано еще раз на рис.2.21. Чтобы заполнить карту, необходимо проставить единицы в тех квадратах, которым соответствуют произведения в исходном булевом выражении. Соответствие квадрата карты и произведения в исходном выражении показано стрелками. Процедура минимизации состоит в том, чтососедние единицыобъединяются в один контур по две, четыре или восемь единиц. Построение контуров продолжается до тех пор, пока все единицы не окажутся внутри контуров. Каждый контур представляет собой новый член упрощенного булева выражения. На рис.2.22 показано построение контуров для карты с рис.2.21. В данной задаче получилось только два контура. Это означает, что упрощенное выражение будет состоять только из двух членов, связанных функциейИЛИ. После того, как контуры выделены, определяют выражение для каждого контура. В нижнем контуре А встречается в комбинации си. В соответствии с правилами булевой алгебрыидополняют друг друга и их можно опустить. Тогда в нижнем контуре останется один член А. Аналогично этому вертикально расположенный контур содержити, которые можно также опустить, оставив только В. Оставшиеся А и В объединяют функциейИЛИ, что приводит к выражениюY=А+В. На рис.2.22 стрелками показано построение упрощенного выражения.

Последовательность действий при упрощении логических выражений с использованием карт Карно.

1. Записывается булево выражение в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ).

2. Наносятся единицы на карту Карно.

3. Объединяют соседние единицы контурами по две, четыре или восемь единиц.

4. Производят упрощение, исключая члены, дополняющие друг друга внутри контура.

5. Объединяют оставшиеся члены (по одному в каждом контуре) функцией ИЛИ.

6. Записывают полученное упрощенное булево выражение в ДНФ.

Рассмотрим исходное булево выражение

,

приведенное на рис.2.23. На рис.2.23,а построена карта Карно для трех переменных и стрелками показано как она заполнена. Заполненная карта Карно повторена на рис.2.23,б, где показаны выделенные контуры. Нижний контур содержити, вследствие чегоиможно опустить. После этого в составе нижнего контура сохраняются лишьи, которые дают член. В верхний контур входяти, поэтому их опускают, в результате чего остается только член. Конечное булево выражение в дизъюнктивной нормальной форме приобретает значительно более простой вид.

Существенно, чтобы карта Карно была составлена именно так, как показано на рис.2.23. При этом при перемещении вниз по левой части карты, на каждом шагу изменяется лишь одна переменная. Если карту составить неправильно, она не будет давать ожидаемого эффекта.

Рассмотрим булево выражение представленное на рис.2.24,а. Ниже на рисунке показана карта Карно четырех переменных и стрелками показано как она заполняется. Полученная карта вторично изображена на рис.2.24,б. Группы из двух и четырех единиц объединены контурами. Нижний контур из двух единиц дает возможность опуститьи. После этого в нем остается член. В верхнем контуре из четырех единиц попарно опускаютсяи,итак, что в результате этого верхний контур дает член. Наконец эти члены объединяются символом операции ИЛИ, как показано на рис.2.24,б.

Отметим, что для упрощения булевых выражений с двумя, тремя и четырьмя переменными применяется общая процедура и одинаковые правила, и чем больше размеры объединяющих контуров, тем больше переменных можно опустить. В случае необходимости карта Карно может быть свернута в горизонтальный или вертикальный цилиндр или шар. Это дает возможность объединить клетки с единицами, находящиеся на противоположных границах или в углах карты.