2.2.1. Конструирование схем на основе логических (булевых) выражений

Пусть задано булево выражениеA+B+C=Yи необходимо построить схему, которая реализует эту логическую функцию. Очевидно, что для получения нужного результата на выходеYкаждый вход следует объединить с другими входами функциейИЛИ. Это можно сделать, использовав один элементИЛИс тремя входами, или два элемента с двумя входами, как показано на рис.2.11.

Допустим теперь, что нам задано следующее логическое выражение (оно читается так: не А и В, или А и не В, или не В и С равно выходу Y). Необходимо сконструировать схему, выполняющую операции, соответствующие этому выражению. Легко заметить, что в нем требуется выполнить логическую операциюИЛИ над тремя слагаемыми. На рис.2.12,а показана одна из возможных схем, соответствующая данному выражению. Заметим, что конструирование схем целесообразно начинать с выхода, постепенно переходя к ее входам. Если вводятся ограничения на элементы схемы (например, каждый элемент обладает только двумя входами), то схема будет иметь другой вид (рис.2.12,б). Таким образом, одному логическому выражению могут соответствовать различные схемы.

Булевы выражения встречаются в двух основных формах. Одну из них-сумму произведений мы уже видели на рис.2.12. Вторая форма булева выражения-произведение сумм например, . Булево выражение в виде суммы произведений в технической литературе называю дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), а булево выражение в виде произведения сумм называют конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Пусть задано логическое (булево) выражение в конъюнктивной нормальной форме . Для получения выходной величиныYсомножителиидолжны быть связаны функциейИ. В свою очередь, каждый из сомножителей получается путем использования функцииИЛИ. В результате схема, соответствующая данному выражению, может иметь вид, показанный на рис.2.13. Обратим внимание на то, что при составлении логических схем были использованы элементыИ,ИЛИиНЕ. Отметим, что любые комбинационные схемы можно построить, используя универсальные логические элементы толькоИ-НЕили толькоИЛИ-НЕ.

Логические схемы можно построить в дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной форме. В первом случае получаются логические схемы типа И-ИЛИ, а во втором – схемы типаИЛИ-И(имеется в виду расположение элементов схемы в направлении от выхода к входу).

2.2.2. Таблицы истинности для логических (булевых) выражений

Булевы выражения являются удобным инструментом для описания принципа работы логического устройства. Таблица истинности – это другой точный метод описания того, как работает логическая схема. Они встречались выше при описании работы логических элементов.

Рассмотрим таблицу истинности, представленную на рис.2.14. Только две из восьми возможных комбинаций двоичных сигналов на входах дают на выходе логическую единицу. Эти две возможные комбинации представлены выражениямии. Таким образом, логическая единица получается на выходе в том случае, когда реализуется или одна или другая из этих комбинаций. Следовательно, булево выражение, соответствующее данной таблице истинности, связывает эти комбинации функциейИЛИи имеет следующий вид

В большинстве случаев конструирование логических схем начинают с составления таблицы истинности. Для преобразования информации, представленной таблицей истинности, в булево выражение необходимо искать те комбинации переменных, которые дают логическую единицу для выходной величины, как это было проделано выше.

Иногда приходится выполнять обратную процедуру, т.е. по известному булеву выражению восстанавливать таблицу истинности. Рассмотрим следующее булево выражение

Формула показывает, что только две комбинации входных переменных дают на выходе логическую единицу. Этим двум комбинациям будут соответствовать две строки в таблице истинности, как показано на рис.2.15. Все другие выходы дают в таблице истинности 0. Как таблица истинности, так и соответствующее булево выражение, исчерпывающим образом описывают действие некоторой логической схемы.

Допустим, задано логическое выражение, и необходимо восстановить соответствующую ему таблицу истинности. Особенность данного примера состоит в том, что первое слагаемое является неполным, т.к. содержит только две из трех входных переменных. Это приводит к тому, что неполной комбинации соответствуют две строки в таблице истинности, в которых выходная величина равна 1. Соответствующая таблица истинности приведена на рис.2.16. Таким образом, при восстановлении таблиц истинности из булевых выражений необходимо внимательно рассматривать неполные комбинации переменных, имея в виду, что таким комбинациям могут соответствовать несколько строк в таблице истинности.