2.1.3. Геометрическая интерпретация задачи (геометрический (или графический) метод решения задачи)

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:

max(min) f()=c1x1+c2x2+…+ cnxn,

(2.15)

при ограничениях (условиях):

a11x1+a12x2+…+ a1nxn b1,
a21x1+a22x2+…+ a2nxn b2,	(2.16)
………
am1x1+am2x2+…+ amnxn bm,
xj0, j=	(2.17)

Рассмотрим эту задачу на плоскости, т.е. прип=2. Пусть система неравенств (2.15)-(2.17) совместна (имеет хотя бы одно решение):

a11x1+a12x2b1,
a21x1+a22x2b2,
………
am1x1+am2x2bm,
x10, x20.

Каждое неравенство этой системы геометрически опреде­ляет полуплоскость с граничной прямойa_i1x₁+a_i2x₂=b_{i ,} i=. Условия неотрицательности определяют полуплос­кости соответственно с граничными прямымих₁= 0,х₂= 0. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая яв­ляется выпуклым множеством и представляет собой сово­купность точек, координаты каждой из которых составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называютмногоугольником решений.Это может быть точка, отрезок, луч, замкнутый многоугольник, неограниченная много­угольная область.

Если в системе ограничений (2.15) - (2.17) n = 3, то каж­дое неравенство геометрически представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость которогоa_i1x₁+a_i2x₂+a_i3x₃=b_i,а условия неотрицательности — по­лупространства с граничными плоскостями соответственноx_j= 0 (j=1,2,3). Если система ограничений совместна, то эти полупространства, как выпуклые множества, пересека­ясь, образуют в трехмерном пространстве общую часть, ко­торая называетсямногогранником решений.

Пусть в системе (2.15) - (2.17) n > 3, тогда каждое нера­венство определяет полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостьюa_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n=b_i, i=, а условия неотрицательности — полупространства с граничными гиперплоскостямиx_j = 0, j=.

Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником реше­ний, так как координаты каждой его точки являются реше­нием.

Таким образом, геометрически ЗЛП (2.15)-(2.17) пред­ставляет собой поиск такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции наи­большее (наименьшее) значение, причем допустимыми ре­шениями являются все точки многогранника решений.

Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с дву­мя переменными, она может быть решена графически.

ГРА­ФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗЛП состоит из следующих этапов.

Этап 1.Сначала на координатной плоскостиx₁ 0 x₂ стро­ится допустимая многоугольная область (область допусти­мых решений, область определения), соответствующая огра­ничениям, которая является пересечением множества полуплоскостей.Далее строится вектор-градиент линейной (целевой) функ­цииf()в какой-нибудь точке ,принадлежащей допус­тимой области:

Этап 2.Строится прямаяc₁x₁+c₂x₂=f() (целевая функция), перпендикулярная век­тору-градиенту,так, чтобы она пересекала допустимую область. Затем прямая передвигается в направлении этого вектора в случае максимизацииf()до тех пор, пока не покинет пределов многоугольной области. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точкой мак­симумаf().

Этап 3.Для нахождения координат точки максимума достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значениеf(), найденное в получаемой точке, является максимальным.

В случае минимизацииf()прямуюc₁x₁+c₂x₂=f()надо двигать в направлении, противоположном вектору-гра­диенту. Ясно, что если прямая при своем движении не по­кидает допустимой области, то соответствующий максимум или минимумf()не существует (целевая функция не ограничена на множестве и задача не имеет оптимальных решений).

▼

Пример. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

max f()=30x₁+60x₂

x₁+3x₂21

3x₁+2x₂21

3x₁+x₂18

x_1,20

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат; отметим штриховкой эту область на рис.1.

Этап 1.Определим множество решений первого нера­венства. Оно состоит из решения уравнения и строгого не­равенства. Решением уравнения служат точки прямойx₁+3x₂-21=0. Построим прямую по двум точкам (0; 7) и (21; 0), которые легко получить в результате последователь­ного обнуления одной из переменных. На рисунке обозначим ее цифрой I.

Множество решений строгого неравенства — одна из по­луплоскостей, на которую делит плоскость построенная пря­мая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взя­той точке, не принадлежащей прямой, неравенство выпол­няется, то оно выполняется и во всех точках той полуплос­кости, которой принадлежит контрольная точка, и не вы­полняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Подставим ко­ординаты (0; 0) в неравенство, получим-21<0, т.е. оно вы­полняется. Следовательно, областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

Аналогичным образом построим области решения двух других неравенств

3x₁+2x₂ -21=0, x₁=0, x₂=10.5,

x₂=0, x₁=7.

(на рисунке прямая II);

3x₁+2x₂ -21<0при x₁= x₂=0, -21<0 выпол­няется, берется нижняя полуплоскость.

3x₁+x₂ -18=0, x₁=0, x₂=18,

x₂=0, x₁=6.

(на рисунке прямая III);

3x₁+x₂ –18 < 0 при x₁= x₂=0,-18< 0 выполняется, берется нижняя полуплоскость.

Заштрихуем общую область для всех неравенств, обозна­чим вершины многоугольника латинскими буквами и опре­делим их координаты, решая систему уравнений двух пере­секающихся соответствующих прямых. Например, опреде­лим координаты точкиС,являющейся точкой пересечения второй и третьей прямой:

3x₁+2x₂ =21, x₂=3, x₁=5

3x₁+x₂ =18.

Вычислим значение целевой функции в этой точке:

f(X)= 30x₁+60x₂=150+180=330.

Аналогично поступим для других точек, являющихся вер­шинами замкнутого выпуклого многоугольника OABCD, представляющего собой область допустимых решений рассмат­риваемой ЗЛП. Координаты этих вершин имеют следующие значения: т.О(0;0), т.А(0;7), т.В(3;6), т.С(5;3), т.Д(6;0).

Этап 2.Приравняем целевую функцию постоянной ве­личине a:30x₁+60x₂=а.

Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равноеа.Меняя зна­чениеа, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называетсялинией уровня.Пустьа=0,вычис­лим координаты двух точек, удовлетворяющих соответст­вующему уравнению30x₁+60x₂=0. В качестве одной из этих точек удобно взять точку О(0;0), а так как приx₁=2, x₂=-1, то в качестве второй точки возьмем точкуG(2;-1).

Через эти две точки проведем линию уровняf()=30x₁+60x₂=0(пунктирная прямая на рис.1).

Рис.1

Этап 3.Для определения направления движения к оп­тимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными функцииf(), т.е. =(с₁,с₂) = (30;60).Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (30;60) с началом координат. При макси­мизации целевой функции необходимо двигаться в направ­лении вектора-градиента, а при минимизации — в противо­положном направлении. Для удобства можно строить век­тор, пропорциональный вектору. Так, на рис.1 изобра­жен вектор1/3= (10;20).

В нашем случае движение линии уровня будем осущест­влять до ее пересечения с точкойВ;далее она выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции. Отсюда лег­ко записать решение исходной ЗЛП: maxf()=450 и дости­гается приx₁=3, x₂=6.

Если поставить задачу минимизации функцииf()=30x₁+60x₂ при тех же ограничениях, линию уровня не­обходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту . Как это видно на рис.1, минимум целевой функции достигается в точке О(0; 0), следовательно, можно записать minf()=0и достигается при,x₁=0, x₂=0.

▲

При решении некоторых ЗЛП графическим методом мо­жет встретиться случай, когда линия уровня параллельна одной из сторон выпуклого многоугольника допустимых решений, причем эта сторона расположена в направлении смещения линии уровня при стремлении целевой функции к своему оптимуму. В этом случае оптимальное значение целевой функции достигается не в одной, а в двух угловых точках (вершинах) многоугольника решений и, следовательно, во всех точках отрезка, соединяющего эти вершины, т. е.задача будет иметь бесчисленное множество решений.

Если область допустимых решений является незамкнутым выпуклым многоугольником в направлении оптимизации целевой функции, то целевая функция будет неограниченной иЗЛП не будет иметь решений; в этом случае условно можно записать, что, например, maxf()=+∞.

Очевидно также, что ЗЛП не будет иметь решенийв случае, когда область допустимых решений есть пустое множество, т. е. система ограничений ЗЛП содержит противоречивые неравенства, и на координатной плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей этим ограничениям.