Математические методы и модели / лекции12

33

Мат. методы и модели в экономике

2.1.5. Теория двойственности в анализе оптимальных решений экономических задач

Рассмотрим основные понятия и выводы специального раздела линейного программирования — теорию двойствен­ности. На предыдущих лекциях мы выяснили, что любую задачу линейного про­граммирования можно записать следующим образом:

f()=max ,	(2.18)
,	(2.19)
, j =.	(2.20)

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной, первоначальная задача называется исходной или прямой.

Переменные двойственной задачи y_i, называют объек­тивно обусловленными оценками или двойственными оцен­ками. Модель двойственной задачи имеет вид:

g()=min ,	(2.21)
,	(2.22)
, i =.	(2.23)

Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой. Однако при опре­делении симплексным методом оптимального плана одной из задач находится решение и другой задачи.

Двойственная задача по отношению к исходной состав­ляется согласно следующим правилам:

1) целевая функция исходной задачи (2.18)-(2.20) формули­руется на максимум, а целевая функция двойственной задачи (2.21)-(2.23 ) - на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функциональных ограниче­ниях имеют вид , а в задаче на минимум – вид ;

2) матрица А=,

составленная из коэффициентов при неизвестных в сис­теме ограничений (2.19) исходной задачи, и аналогич­ная матрица

=

в двойственной задаче получаются друг из друга транс­понированием;

3) число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений (2.19) исходной задачи, а число ограничений в системе (2.22) двойственной задачи - числу переменных в исходной задаче;

4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции (2.21) двойственной задачи являются свободные члены в системе (2.19) ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях (2.22) двойственной задачи - коэффициенты при неизвестных в целевой функции (2.18) исходной задачи;

5) каждому ограничению одной задачи соответствует пере­менная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записан­ному в виде неравенства , соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если функцио­нальное ограничение исходной задачи является равенст­вом, то соответствующая переменная двойственной зада­чи может принимать как положительные, так и отрица­тельные значения.

Математические модели пары двойственных задач могут быть симметричными и несимметричными. В несимметрич­ных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной — в виде неравенств, причем в последней переменные могут быть и отрицательными. В симметричных задачах система ограни­чений как исходной, так и двойственной задачи задается неравенствами, причем на двойственные переменные нала­гается условие неотрицательности. В дальнейшем мы будем рассматривать только симметричные взаимодвойственные задачи линейного программирования.

Основные утверждения о взаимодвойствен­ных задачах содержатся в двух следующих теоремах.

Первая теорема двойственности. Для взаимодвойствен­ных ЗЛП имеет место один из взаимоисключающих случаев:

1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оп­тимальных решениях совпадают: max f()= min g().

2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а це­левая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допусти­мое множество.

3. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множест­во оказывается пустым.

4. Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допусти­мые множества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости). Пусть = (х₁, х₂, ..., x_п) - допустимое реше­ние прямой задачи (2.18)-(2.20), a = (y₁, y₂, ..., y_m) - допус­тимое решение двойственной задачи (2.21)-(2.23). Для того чтобы они были оптимальными решениями соответствую­щих взаимодвойственных задач, не­обходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соот­ношения:

	(2.24)
j =.	(2.25)

Условия (2.24) и (2.25) позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимодвойственных задач, найти оптимальное ре­шение другой задачи.

Рассмотрим еще одну теорему, выводы которой будут использованы в дальнейшем.

Теорема об оценках. Значения переменных y_i в опти­мальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов b_i системы ограничений-неравенств прямой задачи на величину:

.

(2.26)

Решая ЗЛП симплексным методом, мы одновременно ре­шаем двойственную ЗЛП.

Рассмотрим экономическую интерпретацию двойствен­ной задачи на следующем примере.

▼

Пример 1. (Задача оптимального использования ресур­сов). Пусть для выпуска четырех видов продукции P₁, Р₂, P₃, Р₄ на предприятии используют три вида сырья S₁, S₂ и S₃. Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль на единицу продукции при изготовлении каждого вида продукции приведены в табл. 6. Требуется опреде­лить план выпуска продукции, обеспечивающий наиболь­шую прибыль.

Составим экономико-математическую модель задачи оп­тимального использования ресурсов на максимум прибыли. В качестве неизвестных примем объем выпуска продукции j-го вида х_j (j = 1,2,3,4).

Таблица 6

Вид сырья	Запасы сырья	Вид npодукции
		P1	Р2	P3	Р4
S1	35	4	2	2	3
S2	30	1	1	2	3
S3	40	3	1	2	1
Прибыль		14	10	14	11

Модель задачи: f()= 14х₁ + 10х₂ + 14х₃ + 11х₄ max

4х₁+2х₂+2х₃+3х₄35

x₁+x₂+2х₃+3х₄ 30

3х₁+x₂+2х₃+x₄ 40

x_j0, j= 1,2,3,4.

Теперь сформулируем двойственную задачу. Пусть некая организация решила закупить все ресурсы рассматриваемо­го предприятия. При этом необходимо установить опти­мальную цену на приобретаемые ресурсы y₁, y₂, y₃ исходя из следующих объективных условий:

1) покупающая организация старается минимизировать об­щую стоимость ресурсов;

2) за каждый вид ресурсов надо уплатить не менее той суммы, которую хозяйство может выручить при перера­ботке сырья в готовую продукцию. Согласно первому условию общая стоимость сырья выра­зится величиной g()= 35y₁ + 30y₂ + 40y₃ min. Согласно второму требованию вводятся ограничения: на единицу пер­вого вида продукции расходуются четыре единицы первого ресурса ценой y₁, одна единица второго ресурса ценой y₂ и три единицы третьего ресурса ценой y₃. Стоимость всех ре­сурсов, расходуемых на производство единицы первого вида продукции, равна 4y₁ + y₂ + 3y₃ и должна составлять не ме­нее 14, т. е. 4y₁ + y₂ + 3y₃14.

В результате аналогичных рассуждений относительно про­изводства второго, третьего и четвертого видов продукции получаем систему неравенств:

4y₁ + y₂ + 3y₃14,

2y₁ + y₂ + y₃10,

2y₁ + 2y₂ + 2y₃14,

3y₁ + 3y₂ + y₃11.

По экономическому смыслу цены неотрицательные: ,,.

Получили симметричную пару взаимодвойственных задач. В результате решения данной задачи симплексным методом получен оптимальный план =(0;5;12,5;0); =(3;4;0).

▲

Экономический смысл первой теоремы двойственности следующий. План производства Х и набор оценок ресурсов Y оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль от реализации продукции, определенная при из­вестных заранее ценах продукции c₁, с₂, ..., с_n, равна затра­там на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) ценам ресурсов y₁, y₂,…, y_т. Для всех же других планов и обеих задач прибыль от продукции всегда меньше (или равна) стоимости затраченных ресурсов: f()g(), т. е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов. Зна­чит величина g(Y) - f(X) характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и выбранных оценок ресурсов.

Из первой теоремы двойственности следует, что при оп­тимальных производственной программе и векторе оценок ресурсов производственные потери равны нулю.

Экономический смысл первой теоремы двойственности можно интерпретировать и так: предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и по­лучить максимальную прибыль либо продать ресурсы по оп­тимальным ценам и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы.

Из второй теоремы двойственности в данном случае сле­дуют такие требования на оптимальную производственную программу = (х₁, х₂, ..., x_п) и оптимальный вектор оценок = (y₁, y₂, ..., y_m):

если yi > 0, то; если то yi=0, i =.	(2.27)
если xj > 0, то j =; если то xj = 0, j =.	(2.28)

Условия (2.27) можно интерпретировать так: если оценка y_i, единицы ресурса i-го вида положительна, то при опти­мальной производственной программе этот ресурс использу­ется полностью; если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна нулю.

Из условия (2.28) следует, что если j-й вид продукции вошел в оптимальный план, то он в оптимальных оценках не убыточен; если же j-й вид продукции убыточен, то он не войдет в план, не будет выпускаться.

Кроме нахождения оптимального решения должно быть обеспечено получение дополнительной информации о воз­можных изменениях решения при изменении параметров системы. Эту часть исследования обычно называют анализом модели на чувствительность. Он необходим, например, в тех случаях, когда некоторые характеристики исследуемой сис­темы не поддаются точной оценке.

Экономико-математический анализ решений осуществ­ляется в двух основных направлениях: в виде вариантных расчетов по моделям с сопоставлением различных вариантов плана и в виде анализа каждого из полученных решений с помощью двойственных оценок.

Вариантные расчеты могут осуществляться при неизменной структуре самой модели (постоянном составе неизвестных, способов производства, ог­раничений задачи и одинаковом критерии оптимизации), но с изменением численной величины конкретных показа­телей модели. Вариантные расчеты могут проводиться также при варьировании элементов самой модели: изменении кри­терия оптимизации, добавлении новых ограничений на ре­сурсы или на способы производства их использования, рас­ширения множества вариантов и т.д.

Одно из эффективных средств экономико-математического анализа — использование объективно обусловленных оценок оптимального плана. Такого рода анализ базируется на свой­ствах двойственных оценок. Выше мы установили общие математические свойства двойственных оценок для задач на оптимум любой экономической природы. Однако экономи­ческая интерпретация этих оценок может быть совершенно различной для разных задач.

Перейдем к рассмотрению конкретных экономических свойств оценок у_i оптимального плана. Сначала перечислим эти свойства, а затем проиллюстрируем их конкретными примерами.

Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов и продукции.

Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал.

Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффек­тивности отдельных вариантов.

Свойство 4. Оценки как инструмент балансирования сум­марных затрат и результатов.

▼

Пример 2. (Задача о планировании выпуска тканей). Пусть некоторая фабрика выпускает три вида тканей, при­чем суточное плановое задание составляет не менее 90 м тканей первого вида, 70 м — второго и 60 м— третьего. Суточные ресурсы следующие: 780 единиц производственного оборудования, 850 единиц сырья и 790 единиц электроэнергии, расход которых на один метр ткани представлен в табл. 7.

Цена за один метр ткани вида I равна 80 денежным единицам, II — 70 денежным единицам, III — 60 денеж­ным единицам.

Таблица 7

Ресурсы	Ткани
	I	II	III
Оборудование	2	3	4
Сырье	1	4	5
Электроэнергия	3	4	2

Необходимо определить, сколько метров ткани каждого вида следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускае­мой продукции была максимальной.

Составим модель задачи. Введем следующие обозначе­ния. Неизвестными в задаче являются объемы выпуска тка­ни каждого вида:

х_i — количество метров ткани вида I;

х₂ — количество метров ткани вида II;

х_з — количество метров ткани вида III.

f()=max ,

,

, j =, .

С учетом имеющихся данных модель примет вид:

f()=80х₁ + 70х₂ + 60х₃ max

2х₁+3х₂+4х₃780

x₁+4x₂+5х₃ 850 Ограничения по ресурсам

3х₁+4x₂+2х₃790

х₁90

x₂70 Плановое задание

х₃60

В результате решения задачи симплексным методом получен следующий оптимальный план: максимум общей стоимости продукции f()=19075 при

х₁ = 112,5м — оптимальный план выпуска ткани вида I;

x₂ = 70 м — оптимальный план выпуска ткани вида II;

х₃ = 86,25 м — оптимальный план выпуска ткани вида Ш.

Решение двойственной задачи получим с использованием теорем двойственности. Введем обозначения:

y₁ — двойственная оценка ресурса «оборудование»;

y₂ — двойственная оценка ресурса «сырье»;

y₃— двойственная оценка ресурса «электроэнергия»;

y₄— двойственная оценка ткани вида I;

y₅— двойственная оценка ткани вида II;

y₆— двойственная оценка ткани вида III.

Модель двойственной задачи имеет вид:

g()= 780y₁ + 850y₂ + 790y₃+90 y₄+70 y₅+60 y₆ min

2y₁ + y₂ +3 y₃+ y₄80,

3y₁ + 4y₂ + 4y₃+ y₅70,

4y₁ + 5y₂ +2 y₃+ y₆60.

,.

Из соотношений второй теоремы двойственности выте­кают следующие условия:

для каждого ресурса:

если то y_i=0,

если y_i > 0, то

для задания по выпуску продукции:

если xj >Tj , то ym+j =0; если ym+j < 0, то xj = Tj .

(2.29)

Для нашего примера в этих соотношениях m=3 (количе­ство типов ресурсов).

Подставим значения х₁ = 112,5, х₂ = 70 и x₃ = 86,25 в ограничения прямой задачи:

2*112,5+3*70 +4*86,25 = 780,

112,5 +4*70 + 5*86,25 = 823,75 < 850,

3*112,5+4*70 +2*86,25 = 790,

112,5 > 90,

70 = 70,

86,25 > 60.

Суточные ресурсы по оборудованию и электроэнергии ис­пользованы полностью. Сырье используется не полностью, имеется остаток в размере 850 - 823,75 = 26,25 (кг). План выпуска по тканям вида I и III перевыполнен.