Тема 2. Математические методы принятия оптимальных решений

2.1. Линейное программирование

Слово “программирование” используется в значении “планирование”, не имеет отношения к компьютерному программированию.

2.1.1. Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования

Линейное программирование —это частный раздел опти­мального программирования. В свою очередьоптимальное (математическое) программирование —раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении.

Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию и управлению (принципа опти­мальности) является гибкость, альтернативность производст­венно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых прихо­дится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производствен­ной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутиза­ция, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.). Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение= (х₁, х₂, ..., x_п),гдеx_j, (j=) — его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.

Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор неко­торого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономиче­ского показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений. Традици­онные критерии оптимальности; «максимум прибыли», «ми­нимум затрат», «максимум рентабельности» и др.

Слова «учитывало бы внутренние возможности и внеш­ние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) на­кладывается ряд условий, т.е. выборосуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решенийD, эту область называют также областью определения задачи.

Таким образом, реализовать на практике принцип опти­мальности в планировании и управлении — это значит ре­шить экстремальную задачу вида:

max(min)f(),	(2.1)
D,	(2.2)

где f() —математическая запись критерия оптималь­ности — целевая функция. Задачу условной оптимизации (2.1), (2.2) обычно записывают в виде:

Найти максимум или минимум функции

f()=f(х1, х2, ..., xп),

(2.3)

при ограничениях₁=(х₁, х₂, ..., x_п){}b₁,

2=(х1, х2, ..., xп) {}b2,	(2.4)
….
m=(х1, х2, ..., xп) {}bm,
xj0, j=	(2.5)

Условие (2.5) необязательно, но его всегда при необходи­мости можно добиться. Обозначение{}говорит о том, что в конкретном ограничении возможен один из знаков: . Более компактная запись:

max(min) f(х1, х2, ..., xп),	(2.6)
i=(х1, х2, ..., xп) {}bi, i=	(2.7)
xj0, j=	(2.8)

Задача (2.6)-(2.8) — общая задача оптимального (мате­матического) программирования, иначе — математическая модель задачи оптимального программирования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы опти­мальности и системности.

Вектор (набор управляющих переменныхx_j, j=) называется допустимым решением, или планом задачи оп­тимального программирования, если он удовлетворяет систе­ме ограничений. А тот план(допустимое решение), кото­рый доставляет максимум или минимум целевой функцииf(х₁, х₂, ..., x_п), называется оптимальным планом (оптималь­ным поведением, или просто решением) задачи оптимально­го программирования.

Таким образом, выбор оптимального управленческого по­ведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности и оптимальности эко­номико-математического моделирования и решением задачи оптимального программирования.

Задачи оптимального программирования в наиболее об­щем виде классифицируют по следующим признакам.

1. По характеру взаимосвязи между переменными —

а) линейные(все функциональные связи в системе ограни­чений и функция цели — линейные функции),

б) нелинейные(наличие не­линейности хотя бы в одном из упомянутых элементов).

2. По характеру изменения перемен­ных —

а)непрерывные(значения каждой из управляющих перемен­ных могут заполнять сплошь некоторую область действи­тельных чисел),

б)дискретные(все или хотя бы одна переменная могут принимать только целочисленные значения).

3. По учету фактора времени —

а)статические(моделирование и принятие решений осуще­ствляются в предположении о независимости от времени элементов модели в течение периода времени, на который принимается планово-управленческое решение),

б) динамические(такое предположение достаточно аргументированно принято не может быть и необходимо учитывать фактор времени).

4. По наличию информации о перемен­ных —

а)задачи в условиях полной определенности (детерми­нированные),

б)задачи в условиях неполной информации(отдельные элементы являются вероятност­ными величинами, однако известны или дополнительными статистическими исследованиями могут быть установлены их законы распределения),

в)задачи в условиях неопределенности(можно сделать предположение о возможных исходах случайных элементов, но нет возможности сделать вывод о вероятностях исходов).

5. По числу критериев оценки альтернатив —

а)простые, однокритериальные задачи(экономически приемлемо использование одного критерия оптимальности или удается специальными процедурами (например, «взвешиванием приоритетов») свести многокритериальный поиск к однокритериальному),

б) сложные, многокритериальные задачи.

Сочетание признаков 1—5 позволяет группировать (клас­сифицировать) в самом общем виде задачи и методы оптимального программирования, например: 1а)2а)3а)4а)5а) — задачи и методы линейного программирования, 1б)2а)3а)4a)5a) — задачи и методы нелинейного программирования, 1а)2б)3а)4а)5а) —задачи и методы целочисленного (дис­кретного) линейного программирования и т.д.

Выбору метода решения конкретной задачи оптимально­го программирования предшествует ее классификация, т.е. отнесение к одному из классов оптимизационных задач, на­чиная с приведенных самых общих признаков (например, задача дискретного линейного программирования с булевыми переменными).

Развитие и совершенствование методов решения задач оптимального программирования идет от случаев типа а) к случаям типа б), в).

Наиболее изучены задачи линейного программирования, для которых разработан универсальный метод решения — метод последовательного улучшения плана (симплекс-ме­тод), т.е. любая задача линейного программирования решается (реализуется) этим методом. Именно эти задачи в дальнейшем мы и рассмотрим.