Рассмотрим алгоритмы расчета показателей качества функ­ционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.

При изучении таких систем рассчитывают различные по­казатели эффективности обслуживающей системы. В каче­стве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты за­нятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр . заметим, что если , то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: — среднее число требо­ваний, поступающих за единицу времени, — среднее время обслуживания одним каналом одного требования, то­гда — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступаю­щие требования. Поэтому условие означает, что чис­ло обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования. Важней­шие характеристики работы СМО:

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы сво­бодны

.

(4)

2. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находя­щихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:

при .

(5)

3. Вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

при .

(6)

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

; ().

(7)

5. Среднее время ожидания требованием начала обслу­живания в системе:

; ().

(8)

6. Средняя длина очереди:

; ().

(9)

7. Среднее число свободных от обслуживания каналов:

.

(10)

8. Коэффициент простоя каналов:

.

(11)

9. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

.

(12)

10. Коэффициент загрузки каналов

.

(13)

▼

Пример 1. Пусть филиал фирмы по ремонту радиоаппа­ратуры имеет п = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт =10 радио­аппаратов. Общее число радиоаппаратов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт ап­паратуры является случайным, пуассоновским. В свою оче­редь каждый аппарат в зависимости от характера неисправ­ности также требует различного случайного времени на ре­монт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера, множества других причин. Пусть статистика показа­ла, что время ремонта подчиняется экспоненциальному за­кону; при этом в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать = 2,5 радиоаппарата.

Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту радио­аппаратуры, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО.

За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).

1. Определим параметр

так как , то очередь не может расти безгранично.

2. Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры, равна согласно (4):

.

3. Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом, находим по (7):

.

Это означает, что 55,4% времени мастера полностью за­гружены работой.

4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата согласно (3):

ч/аппарат

(при условии семичасового рабочего дня).

5. В среднем время ожидания каждого неисправного аппа­рата начала ремонта равно по (8):

ч.

6. Очень важной характеристикой является средняя длина очереди, которая определяет необходимое место для хранения аппаратуры, требующей ремонта; находим ее по (9):

аппарата.

7. Определим среднее число мастеров, свободных от ра­боты, по (10):

Таким образом, в среднем в течение рабочего дня ремонтом заняты четыре мастера из пяти.

▲

Перейдем к рассмотрению алгоритмов расчета характери­стик функционирования замкнутых СМО. (не надо!)

Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше т требований (т — число обслуживаемых объектов).

За критерий, характеризующий качество функциониро­вания рассматриваемой системы, выберем отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находя­щихся одновременно в обслуживающей системе — коэффици­ент простоя обслуживаемого объекта. В качестве другого критерия возьмем отношение среднего числа незанятых об­служивающих каналов к их общему числу — коэффициент простоя обслуживаемого канала.

Первый из названных критериев характеризует потери времени из-за ожидания начала обслуживания; второй по­казывает полноту загрузки обслуживающей системы.

Очевидно, что очередь может возникнуть, лишь когда число каналов меньше наибольшего числа требований, нахо­дящихся одновременно в обслуживающей системе (n < т).

Приведем последовательность расчетов характеристик замкнутых СМО и необходимые формулы.

1. Определим параметр — показатель загрузки системы, т.е. математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное средней длитель­ности обслуживания ().

2. Вероятность того, что занято k обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы:

при .

(14)

3. Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

при .

(15)

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы сво­бодны, определим, используя очевидное условие:

, откуда .

Величину можно получить также путем подстановки в равенство значений , в которые входит сомножителем. Подставляя их, получаем следующее уравнение для определения :

,

откуда

.

(16)

5. Среднее число требований, ожидающих начала обслу­живания (средняя длина очереди),

или

(17)

6. Коэффициент простоя обслуживаемого требования (объекта)

.

(18)

7. Среднее число требований, находящихся в обслуживаю­щей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:

(19)

или .

8. Среднее число свободных обслуживающих каналов

.

(20)

9. Коэффициент простоя обслуживающего канала

.

(21)

Рассмотрим пример расчета характеристик замкнутой СМО.

▼

Пример 2. Рабочий обслуживает группу автоматов, состоящую из 3 станков. Поток поступающих требований на обслу­живание станков пуассоновский с параметром = 2 ст./ч. Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 12 минут, а время обслуживания подчинено экспоненци­альному закону. Тогда =0,2 ч/ст., т.е. =5 ст./ч, а = 0,4.

Необходимо определить среднее число автоматов, ожи­дающих обслуживания, коэффициент простоя автомата, ко­эффициент простоя рабочего. Обслуживающим каналом здесь является рабочий; так как станки обслуживает один рабочий, то п = 1. Общее число требований не может пре­взойти числа станков, т.е. т = 3.

Система может находиться в четырех различных состоя­ниях: 1) все станки работают; 2) один стоит и обслуживается рабочим, а два работают; 3) два стоят, один обслуживается, один ждет обслуживания; 4) три стоят, из них один обслу­живается, а два ждут очереди.

Для ответа на поставленные вопросы можно воспользо­ваться формулами (14) и (15):

;

;

.

Сведем вычисления в таблицу.

Таблица 1

k	k - n	Pk /P0	Pk	(k - n)Pk	kPk
0	0	1,0000	0,2822	0	0
1	0	1,2000	0,3386	0	0,3386
2	1	0,9600	0,2709	0,2709	0,5418
3	2	0,3840	0,1083	0,2166	0,3249
		3,5440	1,0000	0,4875	1,2053

В этой таблице первой вычисляется третья графа, т.е. отношения P_k/P_o при k = 0,1,2,3. Затем, суммируя величины по графе и учитывая, что , получаем

,

откуда P₀=0,2822. Умножая величины третьей графы на P₀, получаем четвертую графу. Величина P₀ = 0,2822, рав­ная вероятности того, что все автоматы работают, может быть истолкована как вероятность того, что рабочий свобо­ден. Получается, что в рассматриваемом случае рабочий будет свободен более 1/4 всего рабочего времени. Однако это не оз­начает, что «очередь» станков, ожидающих обслуживания, всегда будет отсутствовать. Математическое ожидание числа автоматов, стоящих в очереди, равно

(так как n=1).

Суммируя пятую графу, получим М_оч = 0,4875, следова­тельно, в среднем из трех станков 0,49 станка будет про­стаивать в ожидании, пока освободится рабочий.

Суммируя шестую графу, получим математическое ожи­дание числа простаивающих станков (ремонтируемых и ожидающих ремонта):

,

т.е. в среднем 1,2 станка не будет выдавать продукцию. Ко­эффициент простоя станка равен , т.е. каждый станок простаивает примерно 0,16 часть рабо­чего времени в ожидании, пока рабочий освободится. Коэффициент простоя рабочего в данном случае совпадает с P₀, так как п=1, поэтому .