Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.
Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.
Определенный
интеграл обозначается символом
.
Его можно найти по формуле Ньютона —
Лейбница:
Неопределенный
интеграл — это множество первообразных
функции f(x). Обозначается символом
.
,
где где F(x) — некоторая первообразная
функции f(x), C — произвольная постоянная.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Пусть функция f(x)
определена на полуоси
и интегрируема по любому отрезку [a,b],
принадлежащему этой полуоси. Предел
интеграла
при
называется несобственным интегралом
функции f(x) от a до
и обозначается
.
Итак, по определению,
.
Если этот предел существует и конечен,
интеграл
называется сходящимся; если предел не
существует или бесконечен, интеграл
называется расходящимся.
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
Л
инейные
уравнения – это уравнения «первой
степени» – неизвестная функция и ее
производные входят в такие уравнения
только в первой степени. Таким образом,
линейное дифференциальное уравнение
первого порядка имеет вид dy/dx + p(x) = q(x),
где p(x) и q(x) – функции, зависящие только
от x. Его решение всегда можно записать
с помощью интегралов от известных
функций. Многие другие типы дифференциальных
уравнений первого порядка решаются с
помощью специальных приемов. Нелинейные
дифференциальные уравнения. Уравнения,
содержащие неизвестные функции и их
производные в степени выше первой или
каким-либо более сложным образом,
называются нелинейными. Так как решения
нелинейных уравнений зачастую очень
сложны и их трудно представить простыми
формулами, значительная часть современной
теории посвящена качественному анализу
их поведения, т.е. разработке методов,
позволяющих, не решая уравнения, сказать
нечто существенное о характере решений
в целом: например, что все они ограниченны,
или имеют периодический характер, или
определенным образом зависят от
коэффициентов.
Однородные дифференциальные уравнения
Однородное
дифференциальное уравнение может быть
записано в виде
или
где
- однородные функции одной и той же
степени, т.е. для некоторого натурального
числа
и для произвольного
справедливы равенства
Для решения
однородного дифференциального уравнения
необходимо сделать замену переменных
, которая сводит однородное дифференциальное
уравнение к дифференциальному уравнению
с разделяющимися переменными.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейное неоднородное
дифференциальное уравнение (ЛНДУ)
второго порядка с постоянными
коэффициентами имеет вид
,
где p и q – произвольные действительные
числа, а функция f(x) – непрерывна на
интервале интегрирования X.Дифференциальные
уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальное
уравнение вида
называется дифференциальным
уравнением в полных диффернциалах,
если его левая часть является полным
дифференциалом некоторой гладкой
функции
, т.е. если
.
Необходимое и достаточное условие для
существования такой функции имеет вид:
Чтобы решить
дифференциальное уравнение в полных
дифференциалах необходимо найти функцию
. Тогда общее решение дифференциального
уравнения можно записать в виде
для произвольной постоянной С .
Интегрирующим
множителем для дифференциального
уравнения
называется такая функция
,
после умножения на которую дифференциальное
уравнение превращается в уравнение в
полных дифференциалах. Если функции
в уравнении имеют непрерывные частные
производные и не обращаются в ноль
одновременно, то интегрирующий множитель
существует. Однако, общего метода для
его отыскания не существует.
Линейные однородные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальным уравнением (ДУ) порядка “n” называется уравнение ; , связывающее аргумент х, функцию f и ее производные функции , порядок старшей из которых равен “n”, при этом ДУ относительно функции одной переменной (к=1) называют «обыкновенным ДУ», а ДУ относительно функции нескольких переменных (k>1) и ее частных производных называют «ДУ в частных производных» .
Для решения дифференциальных уравнений численными методами требуются дополнительные условия. Если искомая функция (концентрация, температура и т.д.) является функцией времени u = f (t), то требуются начальные условия, характеризующие значение этой функции в момент времени, принятый за начальный:
Если искомая функция также является функцией пространственных координат u = f (t, x), то начальные условия характеризуют её распределение в пространстве в начальный момент времени:
В последнем случае помимо начальных условий, требуются ещё и граничные условия, характеризующие значение функции u на границе изучаемой системы с внешней средой для любого момента времени. Причём если искомая функция является функцией нескольких пространственных координат, то необходимо задавать граничные условия по каждой из них. Количество граничных условий по каждой пространственной координате определяется порядком старшей производной функции u по этой координате в дифференциальном уравнении. Например, для решения многомерного уравнения
требуются: начальное условие, 2 граничных условия по координате х,
1 граничное условие по координате y,
2 граничных условия по координате z.
-
Для подавляющего большинства задач начальное условие имеет вид:
-
Граничные условия 1-го рода имеют вид:
-
Граничные условия 2-го рода имеют вид:
-
Граничные условия 3-го рода в общем виде записываются следующим образом:
Методы решения ДУ:
-
Дифференциальные уравнения
можно разрешить относительно производной,
произведя деление обеих частей равенства
на f(x). В этом случае приходим к уравнению
,
которое будет эквивалентно исходному
при f(x) ≠ 0. -
Название этого
вида дифференциальных уравнений
достаточно показательно: выражения,
содержащие переменные x и y, разделены
знаком равенства, то есть, находятся
по разные стороны от него.Общее решение
дифференциальных уравнений с разделенными
переменными можно найти, проинтегрировав
обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx. -
Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.Дифференциальные уравнения
приводятся к ОДУ с разделяющимися
переменными подстановкой z = ax+by. -
Для решения ЛНДУ
используют
метод вариации произвольной постоянной.
Также существует метод, основанный на
представлении искомой функции y в виде
произведения: y(x) = u(x)v(x).
Метод вариации произвольных постоянных:
Метод вариации
произвольной постоянной при решении
линейного неоднородного дифференциального
уравнения первого порядка состоит из
трех этапов: сначала находится общее
решение соответствующего ЛОДУ
в виде
,
далее варьируется произвольная постоянная
С, то есть, заменяется функцией С(x), в
заключении функция
подставляется в исходное дифференциальное
уравнение, откуда определяется C(x).
-
Уравнения в полных дифференциалах .
Если для любых
значений x и y выполняется
,
то этого условия необходимо и достаточно,
чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло
собой полный дифференциал некоторой
функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx +
Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к
восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее
полному дифференциалу.
-
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными
коэффициентами является очень
распространенным видом дифференциальных
уравнений. Их решение не представляет
особой сложности. Сначала отыскиваются
корни характеристического уравнения
.
При различных p и q возможны три случая:
корни характеристического уравнения
могут быть действительными и различающимися
,
действительными и совпадающими
или комплексно сопряженными
.
В зависимости от значений корней
характеристического уравнения,
записывается общее решение дифференциального
уравнения как
соответственно.
-
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ
второго порядка с постоянными
коэффициентами y ищется в виде суммы
общего решения соответствующего ЛОДУ
и частного решения
исходного неоднородного уравнения, то
есть,
.
Нахождению общего решения однородного
дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами
,
посвящен предыдущий пункт. А частное
решение
определяется либо методом неопределенных
коэффициентов при определенном виде
функции f(x), стоящей в правой части
исходного уравнения, либо методом
вариации произвольных постоянных.
-
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)
и линейные неоднородные дифференциальные
уравнения (ЛНДУ) второго порядка
.
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ
на некотором отрезке [a; b] представляется
линейной комбинацией двух линейно
независимых частных решений y 1 и y 2 этого
уравнения, то есть,
.
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Итегральные преобразования и их виды:
Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.
Интегральные
преобразования задаются формулой
где
функции
называются оригиналом и изображением
соответственно, и являются элементами
некоторого функционального пространства,
при этом функция
называется ядром интегрального
преобразования.
Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:
Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.
Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию F(s) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.
Прямое преобразование Лапласа
Преобразованием
Лапласа функции вещественной переменной
f(t), называется функция F(s)
комплексной переменной
,
такая что:
Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа
Обратным
преобразованием Лапласа функции
комплексного переменного F(s),
называется функция f(t)
вещественной переменной, такая что:
где
— некоторое вещественное число (см.
условия существования). Правая часть
этого выражения называется интегралом
Бромвича.
