Теоретическое введение

Звук представляет собой упругие волны, распространяющиеся в газах, жидкостях и твердых телах и воспринимаемые ухом человека и животных. Человеческое ухо способно воспринимать звук с частотами от 16 Гц до 20 кГц. Звук с частотами ниже 16 Гц называется инфразвуком, а выше 20 кГц – ультразвуком. Наука о звуке называется акустикой.

Если в упругую среду поместить источник колебаний, то соприкасающиеся с ним частицы будут выведены из положения равновесия и придут в колебательное движение. Колебания этих частиц передаются силами упругости соседним частицам среды, а от них – к другим, более удаленным от источника колебаний. Через некоторое время колебательный процесс охватит всю среду. Распространение колебаний в упругой среде называется волной или волновым процессом.

Различают продольные волны (частицы колеблются вдоль направления распространения волны) и поперечные волны (частицы колеблются перпендикулярно этому направлению). Продольные волны представляют собой чередующиеся сгущения и разрежения. Такие волны распространяются в средах, в которых возникают силы упругости при деформациях сжатия и растяжения, но не обладающих напряжением сдвига (т.е. в твердых телах, жидкостях и газах). Примером продольных волн являются звуковые волны. Поперечные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сдвига (т.е. в твердых телах или в некоторых особых случаях, например, волны на границе раздела жидкость-газ). Скорость распространения продольных и поперечных волн зависит от упругих свойств среды. Так, при 20 ºС скорость звука в воздухе равна 343 м/c, в воде – 1480 м/c, в стали – около 6000 м/c.

Скорость звука в газах теоретически можно рассчитать по формуле:

, (1)

где  – показатель адиабаты (отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме), R – молярная газовая постоянная, Т – термодинамическая температура, М – молярная масса газа. Таким образом, скорость звука в газах оказывается такого же порядка, что и средняя скорость теплового движения молекул.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль координаты x, имеет вид:

 = Acos(t – kx), (2)

где  – смещение частиц среды от положения равновесия; А – амплитуда волны;  – циклическая частота колебаний; t – время; k – волновое число, ( – длина волны).

Стоячей волной называется особое колебательное состояние среды, возникающее при наложении двух встречных бегущих волн (например, прямой и отраженной) одинаковой амплитуды и частоты. Стоячая волна – это частный случай интерференции волн.

Рассмотрим сложение двух встречных волн с одинаковой амплитудой и частотой. Прямая волна описывается уравнением

₁ = Acos(t – kx), (3)

в уравнении отраженной волны координата x меняет знак на противоположный:

₂ = Acos(t + kx). (4)

Сложим уравнения (3) и (4):

 = ₁ + ₂ = Acos(t – kx) + Acos(t + kx)

и, воспользовавшись формулой для суммы косинусов двух углов, получим уравнение стоячей волны:

 = 2Acosxcost. (5)

Выражение, стоящее перед cost, представляет собой амплитуду стоячей волны:

А_{ст. в.} =  2Acosx . (6)

Амплитуда колебаний частиц среды в стоячей волне зависит от координаты частиц x и, следовательно, меняется от точки к точке. Амплитуда стоячей волны максимальна (такие геометрические места называются пучностями) при условии

cosx =  1,

т.е.

x =  n, (7)

откуда координаты пучностей

x_пучн =  . (8)

Амплитуда стоячей волны принимает нулевые значения (такие точки называются узлами) при условии

cosx = 0,

т.е.

x =  (2n + 1), (9)

откуда координаты узлов

x_узл=  . (10)

В формулах (7) – (10) n= 0, 1, 2, 3 … . Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно/2, а соседние узлы и пучности сдвинуты на/4. Точки, находящиеся в узлах, не совершают колебаний.

Расстояние между двумя смежными узлами или пучностями называется длиной стоячей волны. Следовательно, длина стоячей волны равна половине длины бегущей волны:

_ст = . (11)

Построим график стоячей волны. По уравнению (5) рассчитаем смещения  для фиксированных моментов времени t = 0, T/8, T/4, 3T/8, T/2. В каждое из получившихся уравнений  = f(x) подставим координаты x = 0, /4, /2, 3/4, , 5/4… . Результаты расчетов приведены ниже.

Полученные зависимости  = f(x) изображены на рис. 1 и представляют собой своего рода «мгновенные фотографии» стоячей волны.

Стоячая волна имеет следующие особенности:

1. амплитуда колебаний частиц различна в разных местах среды;

2. в пределах участка среды от одного узла до другого все частицы колеблются в одной фазе, при переходе через узел фаза колебаний меняется на противоположную;

3. в отличие от бегущей волны она не переносит энергию.

t = 0,  = 2Acosx
x	0	/4	/2	3/4		5/4
	2A	0	–2A	0	2A	0
t = , = 2Acosxcos, = Acosx
x	0	/4	/2	3/4		5/4
	A	0	–A	0	A	0
t = , = 2Acosxcos,  = 0
x	0	/4	/2	3/4		5/4
	0	0	0	0	0	0
t = , = 2Acosxcos, = –Acosx
x	0	/4	/2	3/4		5/4
	–A	0	A	0	–A	0
t = , = 2Acosxcos, = –2Acosx
x	0	/4	/2	3/4		5/4
	–2A	0	2A	0	–2A	0