Двудольные графы.

Граф G называется стягиваемым к графу H, если H получается из G в результате некоторой последовательности стягивания ребер.

Граф называется двудольным графом, если существует такое разбиение множества его вершин на две части (доли), что концы каждого ребра принадлежат разным частям. Если при этом любые две вершины, принадлежащие разным частям долям смежные, то граф называется полным двудольным.

Операции над частями графа. Графы и бинарные отношения.

Граф H называется частью графа G, H G, если множе­ства его вершин V(G) и ребер X(H) содержатся в множествах вершин V(G) и ребер X(G) соответственно, т.е. V(H) V(G) и X(Н) X{G).Если V(H) = V(G), часть Н графа G называется суграфом. Суграф H является покрывающим для н-графа G, если любая вершина графа G инцидентна хотя бы одному ребру из H.

Подграфом G(V*) графа G(V) с множеством вершин V* V называется часть, которой принадлежат все ребра с обоими концами из V’.

Граф H называется остовным для графа G, если множество вершин графа H совпадает с множеством вершин графа G, множество ребер графа H является подмножеством множества ребер графа G.

Граф Н называется порожденными или индуцированным графом G,если множество вершин графа H является подмножеством множества вершин графа G, а множества ребер H и G совпадают.

Над частями графа G могут производиться следующие операции:

- дополнение к части H - определяется множеством всех ребер графа G, не принадлежащих H: X(Н) X() =Ø , X(H)X() = E(G);

- сумма H1 H2 частей H1 и H2 графа G:

V(H1H2) = V(H1)V( H2) и X(Н1H2) = X(H1)X(H2);

- произведение Н1H2:

V(H1 H2) = V(H1)V( H2) и Е(Н1H2) = X(H1)X(H2);

- декартово произведение H1×H2

V(H1×H2) = V(H1)×V(H2)

Две части H1и H2 не пересекаются по вершинам, если они не имеют общих вершин V(H1)V(H2) = Ø, а значит, и общих ребер X(H1)X(Н2) =Ø. Части H1 и H2 не пересека­ются по ребрам, если X(H1)X(H2) = Ø. Если V(H1)V(H2) = Ø, то сумма H1H2 называетсяпрямой.

Графы и бинарные отношения: отношению R, заданному на множестве V, взаимно однозначно соответствует ори­ентированный граф G(R) без кратных ребер с множеством вершин V, в котором ребро (v1, v2 существует, только если выполнено v1 R v2.

Пример решения типовых задач

Пример 1. Какими особенностями отличается граф G, взаимно однозначно соответствующий бинарному отноше­нию R, если R:

а) симметрично;

б) антисимметрично;

в) рефлексивно;

г) антирефлексивно;

д) транзитивно.

Пусть бинарное отношение R определено на множе­стве V= {v, ...,vn}.

а) Симметричному отношению R взаимно однозначно со­ответствует неориентированный граф без кратных ребер G(R), в котором ребро (v’, v”) существует, если и только если выполнено v’ R v” (а значит, и в v” R v’ силу симметричности R).

б) Антисимметричному отношению R взаимно однознач­но соответствует ориентированный граф без кратных ребер, не содержащий пар вершин с ребрами, противоположно на­правленными к разным вершинам.

в) Если R рефлексивно, то граф без кратных ребер имеет петли во всех вершинах.

г) Если R антирефлексивно, то граф G(R) без кратных ре­бер не имеет петель.

д) Если R транзитивно, то в графе G(R) без кратных ребер для каждой пары ребер (v’, v”) и (v’’, v”’) имеется замыкаю­щее ребро (v’, v”’)

Пример 2. Пусть ориентированный граф G на рис.10, б задает отношение R:G(R). Каковы свойства отношения?

Отношение R определено на множестве V={a, b,c, d, e, f} элементов - вершин графа: |V|=6. Свойства отношения:

а) не является рефлексивным, так как отсутствует, напри­мер, aRa, bRb

б) не антирефлексивно, поскольку имеет место cRc, dRd

в) не является симметричным, так как, например, имеет место aRb но отсутствует bRa

г) не антисимметрично, поскольку выполняется, напри­мер, aRc и cRa

д) не транзитивно, так как, например, имеется aRb и bRd, но отсутствует aRd

Пример 3. Каким операциям над графами соответствуют основные операции над отношениями?

1. Пусть- дополнение отношения R на, где U - универсальное (полное) отношение U=VxV т.е. отношение, имеющее место между любой парой элемен­тов из V.

Граф является дополнением графа G(R) (до полного орграфа kс множеством вершин v и множеством ребер Х(K)=VxV).

2. Граф обратного отношения G(R) отличается от графа G(R) тем, что направление всех ребер заменены на обратные.

3. Граф объединения двух отношений, заданный на V, G(R1 U R2) является графом суммы двух графов G(R1) и G(R2): G(R1 U R2)=G(R1) U G(R2).

4. Граф пересечения отношений R1∩R2 на V G(R1∩R2) является графом произведения двух графов G(R1) и G(R2): G(R1∩R2)=G(R1) ∩G(R2).

Пример 4. Найти декартово произведение графов.