Краткий перечень основных понятий теории графов.

Теория графов как теоретическая дисциплина может рассматриваться как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств (бесконечные графы не будут вводиться в рассмотрение) с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие физические, технические, экономические, биологические, социальные и другие системы (задача коммивояжера). Например, графом, изображенным на рис. 1, в котором точки − вершины графа − города, линии, соединяющие вершины − ребра − дороги, соединяющие города, описывается так называемая транспортная задача (задача нахождения кратчайшего пути из одного города- пункта в другой).

Рис. 1

Графом G называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер Х, между элементами которых определено отношение инцидентности – каждое ребро хХ инцидентно двум вершинам  и V, которые оно соединяет. При этом вершина () и ребро x называются инцидентными друг другу, а вершины и , являющиеся для ребра x концевыми точками, называются смежными.

Граф, содержащий направленные ребра с началом  и концом , называется ориентированным графом (орграфом), а ненаправленные – неориентированным ( н-графом). Ребра ориентированного графа называются дугами.

Примеры

1) Ориентированный граф D=(V, X), V={v1, v2, v3, v4},

X={x1 = (v1, v2), x2= (v1, v2), x3= (v2, v2), x4= (v2, v3)}.

Рис. 2

2) Неориентированный граф G=(V, X), V={v1, v2, v3, v4, v5},

X={x1={v1,v2}, x2={v2,v3}, x3={v2,v4}, x4={v3,v4}}.

Рис. 3

Одинаковые пары ребер - параллельные или кратные ребра;

Кратностью ребер называют количество одинаковых пар.

Рис.4

Например, кратность ребра {v1, v2} в графе, изображенном на рис. 4, равна двум, кратность ребра {v3, v4} − трем.

Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей.

Граф называется конечным, если множество его элементов (дуг и рёбер) конечно, и пустым, если его множество вершин (а, следовательно, и рёбер) пусто.

Граф без петель и кратных рёбер называется полным графом, если каждая пара вершин соединена ребром.

Дополнением графа G называется граф G*, имеющий те же вершины, что и граф G, и содержащий только те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получить полный граф.

Степенью (или валентностью) вершины V н-графа называется количество рёбер (), инцидентных вершине .

Рис. 5

Вершина графа, имеющая степень 0, называется изолированной, а степень 1 – висячей.

Полустепенью захода (исхода) вершины v ориентированного графа D называется число +(v) ((v)) дуг ориентированного графа D, исходящих из v (заходящих в v).

Следует заметить, что в случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли инцидентной вершине v равен 1 как в +(v), так и в (v). Рассмотрим рис. 5: +(v2)=3; (v2)=2.

Псевдограф − граф, в котором есть петли и/или кратные ребра.

Мультиграф − псевдограф без петель.

Графы G1и G2 равны, если их множества вершин и ребер совпадают

1 =2 и х1=х2.

Итак, используемые далее обозначения:

V – множество вершин;

Х, Е – множество ребер или дуг;

v (или vi)– вершина или номер вершины;

G, G0 - неориентированный граф;

D, D0 – ориентированный;

{v,w} − ребра неориентированного графа;

{v,v} – обозначение петли;

(v,w) − дуги в ориентированном графе;

v,w - вершины, x,y,z – дуги и ребра;

n(G), n(D) количество вершин графа;

m(G) - количество ребер, m(D) - количество дуг.