5.Проверка адекватности регрессии.

Визуально об адекватности модели можно судить по графику соответствия распределения остатков нормальному закону и по графику соответствия расчётных и экспериментальных значений отклика. Количественная проверка адекватности выполняется путём сравнения показателей, характеризующих рассеяние расчетных и экспериментальных значений отклика. Выбор показателей определяется особенностями постановки эксперимента.

• В эксперименте выполнялись параллельные опыты. В этом случае дисперсия воспроизводимости S²_воспр характеризует усредненную погрешность измерения отклика и, если отклики измерены с большой погрешностью, то большая величина вряд ли связана с плохим выбором уравнения регрессии. Таким образом, для определения соответствия (адекватности) регрессии нужно сравнить остаточную дисперсию с величиной дисперсии воспроизводимости. Если различие дисперсий незначимо, модель следует признать адекватной. Для сравнения двух дисперсий используют критерийФишера

F = S²_ОСТ/ S²_{воспр ,} (2.20)

по числу степеней свободы (см. Примечание ниже) остаточной дисперсии

f₁=m-n-1

и числу степеней свободы дисперсии воспроизводимости

f₂=m(L-1)

для заданного уровня значимости p (0.05) по распределению Фишера определяют F_т.

- Если значение F в (2.20) меньше или равно F_Т, то модель адекватна с доверительной вероятностью 1 - p (95%).

- Если F > F_Т, модель следует признать неадекватной.

Примечание. При расчете степеней свободы число опытов m и число факторов n берётся с учётом исключённых опытов и факторов.

• В эксперименте отсутствуют параллельные опыты. В этом случае адекватность проверяют по коэффициенту детерминации (R²), который показывает насколько модель регрессии лучше модели среднего:

R² = 1 - (2.21)

- сумма квадратов, определяющая рассеяние экспериментальных значений отклика относительно регрессии = ,

- сумма квадратов, определяющая рассеяние измерений отклика относительно среднего по всем опытам()

= , где .

Если ,томодель регрессии представляет данные примерно с той же точностью, что и просто среднее и использовать регрессию не имеет смысла. В этом случае 1 и R² 0.

Если <<, то регрессия представляет данные значительно точнее, чем просто среднее и имеет смысл использовать регрессию. При этом 0 и R² 1.Т.о.чем ближе значение R² к 1, тем с большей уверенностью можно утверждать, что регрессия адекватна. Коэффициент детерминации интерпретируют, как долю изменчивости отклика от факторов, объясняемую регрессией. Например, R² = 0.8означает, что 80% изменчивости Y от X объясняется регрессией, а 20% - случайностью. В идеале желательно иметь объяснение если не для всей, то хотя бы для большей части исходной изменчивости.

Более строго предположение о значимости доли изменчивости, объясняемой регрессией можно проверить по критерию F:

- сумма квадратов, определяющая рассеяние среднего экспериментального значения отклика относительно регрессии

= .

Очевидно, что чем больше F, тем лучше регрессия описывает экспериментальные данные по сравнению со средним. Учитывая, что

= +,

Fможновыразить через коэффициент детерминации

(2.22)

Для рассчитанного значения Fпо распределению Фишера можно вычислить уровень значимости p–level. Если p–level < 0.05, то с вероятностью 0.95 можно признать долю изменчивости, объясняемую регрессией значимой и модель адекватной. В противном случае – изменчивость объясняется случайностью и полученная регрессионная модель неприемлема.

Квадратный корень из коэффициента детерминации называется коэффициентом множественной корреляции R. R характеризует тесноту связи между факторами и откликом.