2.5. Игры с природой.

До сих пор рассматривались модели таких конфликтных ситуаций, в которых противники были равноправны и, стремясь к противоположным целям, одинаково придерживались осторожного принципа минимакса. Однако в реальной действительности довольно часто возникают качественно иные ситуации конфликта двух сторон. Они по-прежнему формально описываются матрицей выигрыша Н=||а_ij||_{i=1,…,m,j=1,…,n} одного из игроков (А), который, как обычно, выбирает свои стратегии сознательно, стремясь к увеличению своего выигрыша. Но второй игрок (В) особенный. О нем известно, что:

- либо он придерживается фиксированной смешанной стратегии S_B=(q₁,…,q_n) (случай стохастической определенности),

- либо о том, чем именно руководствуется игрок В, вообще ничего не известно (случай неопределенности).

Такие ситуации называются «играми с природой», игрок В («природа») чаще всего представляет собой не конкретное лицо, а объективную реальность. Его стратегиями В_j служат состояния «природы» (тип погодных условий, спрос на определенную продукцию и. т. п. ). Целью исследования такой игры является поиск разумных правил выбора игроком А каких-либо из своих возможных стратегий.

Рассмотрим некоторые способы такого выбора в зависимости от специфики той или иной ситуации.

Случай 1. Пусть смешанная стратегия S_B=(q₁,…,q_n) «природы» известна, т. е. известны вероятности их состояний В₁,…,В_n (например, на основании статистических данных).

Вычислим средние выигрыши (математические ожидания) игрока А при применении им каждой из его чистых стратегий:

при А₁ имеем Н(A₁,S_B) = a₁₁q₁+…+a_1nq_n = v₁,

……………………………………………

при А_m имеем Н(А_m,S_B) = a_m1q₁+…+a_mnq_n = v_m.

Остается сравнить полученные значения и выбрать среди них наибольшее v*=max(v₁,…,v_m). Чистая стратегия А_i*, соответствующая этому значению, является оптимальной для игрока А. При этом нетрудно показать, что применение каких-либо смешанных стратегий игроку А не выгодно, так как это может привести только к уменьшению среднего выигрыша v*.

Случай 2. Пусть стратегии «природы» неизвестны, но они по-прежнему могут быть смешанными, т. е. количество партий с природой неограниченно. Рассмотрим два возможных подхода к решению этой задачи.

а) Принцип недостаточного основания Лапласа. Если нет никаких оснований считать, что какая-либо стратегия «природы» имеет большую частоту, чем любая другая стратегия, то мы можем предположить, что вероятности всех стратегий В₁,…,В_n одинаковы: q₁=…=q_n=1/n. Тогда гипотетические средние выигрыши игрока А при использовании его чистых стратегий А₁,…, А_m определяются соответственно равенствами:

v₁^L = 1/n(a₁₁+…+a_1n), … , v_m^L = 1/n(a_m1+…+a_mn).

Сравнивая полученные значения, выбираем среди них наибольшее v^L*=(v₁^L,…,v_m^L). Стратегия А_i*, соответствующая этому значению, объявляется оптимальной.

б) Принцип минимакса. Другой возможный подход связан с оценкой «природы» как разумного, причем агрессивного противника, стремящегося сделать средний выигрыш игрока А как можно меньше. В этом случае задачу поиска оптимальной стратегии игрок А должен решать обычными методами теории матричных игр, чему был посвящен предыдущий параграф.

Пример 2.9. Сельскохозяйственное предприятие планирует посев трех культур – А₁, А₂, А₃. Считаем, что при прочих равных условиях урожаи культур зависят от погоды, а сама погода может иметь 3 различных состояния: В₁- засушливое лето, В₂ – нормальное лето, В₃ – дождливое лето, Расчеты прибыли с/х предприятия (в у. е.) в зависимости от состояний погоды сведены в матрицу

.

Найти оптимальную стратегию предприятия, если: а) вероятности состояний В₁, В₂, В₃ погоды известны q₁=0.2, q₂=0.3, q₃=0.5; б) придерживаться принципа недостаточного основания Лапласа; в) ориентироваться на наименее благоприятную погоду.

Решение. Сразу заметим, что в рассматриваемой платежной матрице стратегия А₁ доминируется стратегией А₂ и, следовательно, может быть отброшена, как заведомо невыгодная с/х предприятию.

а) В данном случае смешанная стратегия «природы» известна S_B=(0.2,0.3,0.5). Найдем средние прибыли предприятия при использовании им оставшихся стратегий А₂ и А₃: H(A₂,S_B)=80.2+50.3+30.5=4.6, H(A₃,S_B)=20.2+30.3+70.5=4.8. Второе значение больше, поэтому следует выбрать стратегию А₃.

б) В силу отсутствия информации о состояниях «природы», априорно примем q₁=q₂=q₃=1/3. В случае использования стратегий А₂ и А₃ получим следующие оценочные «выигрыши»: v₂^L=1/3(8+5+3)=16/3, v₃^L=1/3(2+3+7)=4. Здесь, напротив, больше первое значение, и оптимальной стратегией является А₂.

в) Ориентация на наименее благоприятную погоду предполагает рассмотрение «природы» как разумного и равноправного противника, стремящегося минимизировать прибыль предприятия. Поэтому оптимальная стратегия предприятия может быть найдена обычными методами решения матричных игр, например, графическим методом. Опуская промежуточные расчеты, запишем лишь результат решения этой «игры»: S_A=(2/3,1/3) - оптимальная смешанная стратегия предприятия, v_S=13/34.33 - цена «игры». Интерпретировать этот результат можно следующим образом: с/х предприятию рекомендуется 2/3 всех площадей засеять культурой А₂ и 1/3 площадей – культурой А₃. При этом можно гарантировать среднюю прибыль в 4.33 у.е.

Случай 3. Предположим, что, как и в случае 2, ничего о состояниях природы неизвестно. Однако игра с «природой» проводится один лишь раз, так что употребление смешанных стратегий ни игроком А, ни «природой» не имеет смысла. В этом случае при поиске оптимального решения чаще всего используются критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

А) Критерий Вальда (максиминный критерий).

Игрок А исходит из пессимистической оценки ситуации и предполагает, что «природа» играет с ним в антагонистическую игру. Его цель -–гарантированный выигрыш или нижняя цена игры

Его оптимальная стратегия - максиминная стратегия А_i*, при которой достигается W (см. п.2.2).

Б) Критерий Сэвиджа (критерий минимального риска).

Риском r_ij игрока А при пользовании стратегией А_i в условиях состояния «природы» B_j называется разность между максимально возможным выигрышем игрока А при данном состоянии природы и выигрышем а_ij при выбранной стратегии А_i , т. е. r_ij=_ja_ij, где - максимальный элемент в j-м столбце. Риск – это «плата за отсутствие информации». В результате получаем матрицу, составленную из чисел r_ij, - матрицу риска R.

Оптимальной стратегией по критерию Сэвиджа является та стратегия А_i* , при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:

В) Критерий Гурвица (критерий учета степени оптимизма).

Здесь представляется логичным, чтобы при выборе решения вместо двух крайностей в оценке событий ситуации придерживаться некоторого компромисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы». В соответствии с этим критерием следует выбрать ту стратегию А_i*, при которой достигается следующий максимум:

где t[0,1] – субъективный показатель оптимизма, обычно близкий к 0,5.

Заметим, что при t=0 (крайний пессимизм!) критерий Гурвица переходит в критерий Вальда.

Пример 2.10. Игра с «природой» задана матрицей

.

Найдите оптимальные стратегии, руководствуясь критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица с t=0.6.

Для применения перечисленных критериев удобнее выполнить предварительные расчеты в таблице:

	В1	В2	В3	minj aij	maxj aij
A1	20	30	15	15	30
A2	75	20	35	20	75
A3	25	80	25	25	80
A4	85	5	45	5	85
j=maxi aij	85	80	45

а) Критерий Вальда. Находим стратегию, обеспечивающую гарантированный выигрыш игроку А. Для этого находим нижнюю цену игры

Найденный максимум достигается при i=3, т.е., исходя из критерия Вальда, следует осуществлять стратегию А₃.

б) Критерий Сэвиджа. Сначала составим матрицу рисков R . Для этого определяем максимальные элементы в каждом столбце матрицы Н (нижняя строка таблицы). Затем находим элементы матрицы R по формуле r_ij=_ja_ij. Получим матрицу:

.

Затем находим

Минимум достигается при i=2 и i=3. Значит, по критерию Сэвиджа оптимальными являются стратегии А₂ и А₃.

в) Критерий Гурвица с t=0.6. Найдем минимальные и максимальные числа в каждой строке матрицы Н (последние два столбца таблицы). Для каждого номера i=1, 2, 3, 4 находим значение:

при t=0.6.

Имеем: G₁=0.415+0.630=24, G₂=0.420+0.675=53,

G₃=0.425+0.680=58, G₄=0.45+0.685=53.

Находим максимальное из полученных значений. Это – G₃=58. Оно соответствует стратегии А₃, которое и является оптимальной по критерию Гурвица.

Обобщая полученные результаты, можно, по-видимому, рекомендовать игроку А воспользоваться стратегией А₃.