Глава II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции.

§ 1. Высказывательные функции. Кванторы.

Эту главу, как и предыдущую, начнем некоторыми сведениями из логики.

В исчислении высказываний, изложенном в § 1 главы I, мы изучали высказывания, имеющие фиксированные логические значения. Здесь мы займемся высказывательными (пропозициональными) функциями, то есть выражениями, которые содержат предметные переменные и превращаются в высказывания, если на место этих переменных подставить названия произвольных элементов.

Пример. Высказывательные функции.

Примером высказываний, полученных из этих функций с помощью подстановки, являются 1>0, 25>5.

Говорят, что объект a удовлетворяет высказывательной функции Ф(x), если высказывания, полученные из Ф(x) подстановкой вместо аргумента x названия предмета a, то есть высказывание Ф(a), истинно.

Часто, употребляя высказывательные функции, мы будем полагать, что на место переменной x можно подставлять только названия элементов некоторого фиксированного множества A. В этом случае говорят, что область определения высказывательной функции ограничена множеством A. Например, область определения высказывательной функции x>0 ограничена множеством чисел (вещественных, натуральных, рациональных и т.п.). Пример высказывательной функции, область определения которой не ограничена, дает функция x=x.

Если каждый элемент множества A удовлетворяет высказывательной функции Ф(x), то это записываем выражением

(иногда вместо употребляют:

1. x

2. 

3. )

и читаем: для каждого x, принадлежащего A, имеет место Ф(x).

Для высказывательных функций с областью определения, ограниченной множеством A, часто вместо пишут просто.

Аналогично, если Ф(x) – высказывательная функция с неограниченной областью определения, то означает, что для каждогоx имеет место Ф(x).

Например, высказывание истинно

Выражения ичитаются соответственно: для некоторогоx, принадлежащего A, имеет место Ф(x) и для некоторого x имеет место Ф(x).

(Иногда вместо пишут:

1. ;

2. ;

3. .

Буквы - читается квантор общности;

- читается квантор существования.)

Символы иназываютсякванторами:

- квантор всеобщности (общности) по переменнойx;

- квантор существования по переменнойx.

Таким образом, кванторы являются логическими операторами, позволяющими из высказывательных функций от одной переменной образовать высказывания и из высказывательной функции от n переменных – высказывательную функцию от (т-1) переменных.

Переход от высказывательной функции Ф(x) к высказыванию Ф(x) или Ф(x) называется навешиванием на функцию (форму) Ф(x) квантора общности или квантора существованияпо переменнойx.

В этих выражениях букваx является связанной переменной: навешивание квантора связывает переменную. От x эти выражения не зависят. В то же время эти выражения могут зависеть от Ф(x) и A. Если Ф(x) и A не фиксированы, то эти выражения являются не высказывательными, а высказывательными формами; если же Ф(x) и A фиксированы, обозначают какие-то конкретные высказывательную форму и множество, то - высказывания.

Везде в дальнейшем мы полагаем, что . ЕслиA содержит конечное число элементов , то утверждение:

1. каждый элемент множества A удовлетворяет функции Ф(x), очевидно, эквивалентно конъюнкции высказываний :

Ф(x)

2. а утверждение, что некоторый элемент множества A удовлетворяет Ф(x), эквивалентно дизъюнкции этих выражений:

Ф(x)

Поэтому квантор можно назвать обобщенным логическим произведениеми квантор- обобщенной логической суммой.

В случае, когда A=0, принимаем

Справедливы следующие теоремы (логические законы):

Теорема 1. Если , тои (1)

Формула означает, что для доказательства существования видадостаточно найти предмети удовлетворяющийФ(x).

Такие доказательства существования будем называть эффективными.

Далее,

Теорема 2. (2)

Теорема 3. (3)

Таким образом, квантор общности дистрибутивен относительно конъюнкции (2), а квантор существования – относительно дизъюнкции (3).

Теорема 4. (4)

Теорема 5. (5)

Импликации, обратные к (4) и (5), вообще говоря, неверны.

Законы де Моргана для высказывательных функций:

Теорема 6. (6)

Теорема 7. (7)

Из законов де Моргана следуют эквивалентности.

Теорема 6'. (6')

Теорема 7'. (7')

Таким образом, квантор можно выразить при помощи квантора всеобщностии наоборот.

Первая (6') из этих эквивалентностей утверждает, что доказательство высказывания можно получить, сводя к противоречию допущение.

Такие доказательства существования, проводимые достаточно часто, не являются, вообще говоря, эффективными, так как они не дают никакого способа нахождения предмета, удовлетворяющего высказывательной функции .

Высказывания можно считать высказывательными функциями без аргументов. Поэтому очевидно, что

Теорема 8. (8)

Теорема 9. (9)

Легко убедиться, что

Теорема 10. (10)

Теорема 11. (11)

С помощью известной из исчислений высказываний формулы легко получить из (10):

Теорема 12. (12)

Теорема 13. (13)

Действительно, левая часть (13), согласно (6) эквивалентны:

, т.е. в силу (9) – дизъюнкции

Квантор существования можно вынести за знак дизъюнкции, согласно (3), и получить .

Высказывательные функции могут содержать не один, а несколько аргументов, например:

Высказывательные функции от двух переменных будем обозначать .

Законы (1)-(13) верны и для высказывательных функций от нескольких переменных. Вместо в законах (7)-(13) можно взять произвольную высказывательную функцию, не содержащую переменнойx.

Приведем еще несколько законов для высказывательных функций от двух переменных:

Теорема 14. (14)

Теорема 15. (15)

Таким образом, порядок, в котором записаны два подряд идущих квантора всеобщности и существования, не существен.

Обычно будем писать вместоивместо.

Теорема 16. (16)

Теорема 17. (17)

Для доказательства (16) подставим в (10) вместовыражениеи заметим, что в силу (10):

Доказательство (17) аналогично.

Теорема 18. (18)

Действительно, дважды применяя (1), получаем

и .

Импликации эти верны для произвольных x и y, поэтому

Применяя теперь (12) и (13) получаем (18).

Пример. В качестве примера на применение закона (18) обсудим различие между равномерной и обычной сходимостями последовательности функций. Согласно определению предела, высказывания

эквивалентно высказыванию

Переставляя кванторы и, получаем определение равномерной сходимости; эта перестановка приводит к тому, чтоk становится независимым от x (и зависит только от ), что непосредственно видно из приведенного выше выражения с переставленными кванторами.

Следующая диаграмма содержит целый ряд дальнейших утверждений о перестановке кванторов:

Можно убедиться на примерах, что ни одну из приведенных на этой диаграмме импликаций нельзя заменить обратной.

В теории множеств исходными понятиями являются множество и отношение принадлежности, поэтому важную роль в ней играют Высказывательные функции, построенные при помощи операций исчисления высказываний и кванторов из высказывательных функций вида (то естьx есть множество), (I).

Все эти Высказывательные функции будем называть высказывательными функциями общей теории множеств. Класс всех таких функций обозначим через . Для него выполняются следующие правила (их можно рассматривать как индуктивные??? класса ).

А) Высказывательные функции (I) и все Высказывательные функции аналогичного вида, отличающиеся от (I) только выбором букв x,y, которые можно заменить произвольными символами, различными или совпадающими, принадлежат классу .

B) Если и- высказывательные функции из класса, то,,,,также принадлежат.

C) Если принадлежит, то и Высказывательные функциии(а также те, в которых букваx заменена произвольной другой буквой) принадлежат .

D) Каждая высказывательная функция из класса получается с помощью конечного числа применений правил (А)-(С).

Высказывательные функции о которых говорится в пункте (А) называются атомарными для класса .

Если расширить списки атомарных высказывательных функций, сохранив правила (B), (C), (D), то получим списки более широкие, чем . Например добавим кновые атомарные высказывательные функциипричем буквыx,y,… - можно заменить произвольными другими.

Тогда получим класс высказывательных функций общей теории множеств с дополнительными первичными понятиями P,Q,,… Этот класс обозначим .

Высказывательные функции этого класса будут употребляться в тех классах нашего изложения, в которых, кроме первичных понятий Z и , мы будем допускать другие первичные понятия.