§2. Включение. Пустое множество.
О п р е д е л е
н и е 5.
Множество A
называется подмножеством
множества В,
если каждый элемент подмножества А
принадлежит множеству В.
В этом случае мы пишем
или
и говорим, что множество А
содержится
в В.
Отношение
называется отношением
включения.
Свойства включения.
Из определения
следует:
(1)
Очевидно, что из
следует
,
но не обратно. Если
и
,
то А
– собственное
подмножество множества
В.
Далее
,
потому что по определению
,
откуда следует, что
и А=В
в силу аксиомы J.
Отношение включения транзитивно:
(2)
Сумма двух множеств содержит каждое слагаемое:
(3)
Произведение двух множеств содержится в каждом сомножителе:
(4)
В самом деле, из
закона
,
следует, что для каждого x
и, согласно (1) из
§2 ,
,
а, следовательно, по (1)
.
Второе утверждение в (3) доказывается аналогично.
Для доказательства
(4) нужно использовать закон
.
Из (2) §2 следует включение
Отношение включения
можно определить при помощи отношения
равенства и одной из операций
.
(5)
В самом деле, если
,
то
для каждого x
и тогда в силу закона
имеем:
,
откуда
,
что доказывает,
что
.
С другой стороны,
,
значит
.
Обратно, если
,
то, согласно (3),
.
Вторая часть
формулы (5) доказывается аналогично.
Из аксиомы разности (аксиома B §2) следует, что, если существует хотя бы одно множество А, то существует множество А – А, не содержащего ни одного элемента. Такое множество единственно.
В самом деле, если
бы было два таких множества
,
то для каждого x
эквивалентность
была бы истинна,
так как оба ее члена ложны. Тогда
в силу аксиомы J.
Единственное
множество, не содержащее ни одного
элемента, называется пустым множеством
(
).
Для каждого x
или
Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого x верна импликация.
Таким образом, пустое множество является подмножеством любого множества.
Из формулы (1) §2 следует, что
так как
.
Отсюда заключаем, что
,
а из закона
.
Равенство
означает, что множества А
и В
не имеют общих элементов, то есть не
пересекаются.
Равенство
означает, что
.
Роль пустого множества в теории множеств аналогична роли числа нуль в алгебре. Без множества 0 операции умножения и вычитания множеств не всегда были бы выполнимы, что в последствии привело бы к значительным трудностям при вычислениях.
§3. Законы сложения, умножения и вычитания.
Операции сложения, умножения и вычитания множеств имеют много общих свойств с операциями сложения, умножения и вычитания чисел.
В этом параграфе приведем важнейшие из них, а также докажем несколько теорем, указывающих на различие между алгеброй множеств и арифметикой.
Законы коммутативности:
(1)
Эти законы непосредственно следуют из законов коммутативности для дизъюнкции и конъюнкции.
Законы ассоциативности:
(2)
Доказательство основано на законах ассоциативности для дизъюнкции и конъюнкции.
Отсюда следует, что при сложении или умножении конечного числа множеств можно опускать скобки, указывающие порядок действий.
Например: 
.
Законы дистрибутивности:
(3)
Доказательство основано на законах дистрибутивности для дизъюнкции и конъюнкции.
Например: 
Законы идемпотентности:
(4)
.
Доказательства
получаются непосредственно из законов
идемпотентности
,
.
Докажем несколько законов для операции вычитания.
(5)
сравнить:
В самом деле, из формул (1) и (2) §2 следует:
.
Откуда по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции имеем:
.
Поскольку
,
сомножитель И
можно в произведении опустить. Таким
образом получим:
,
что и доказывает формулу (5).
Из этой формулы
следует, что вычитание множеств не
является операцией, обратной сложению,
как в обычной алгебре чисел. Если,
например, А
— множество четных чисел, а В
— множество чисел, делящихся на 3, то
множество
отличается от В,
потому что оно содержит все четные
числа.
Но если
,
то (согласно (5) и (5) §3)
,
как в арифметике.
Далее,
(6).
⇋
В самом деле:
Закон дистрибутивности умножения относительно вычитания имеет вид:
(7).
Он получается из эквивалентности
.
Из равенства (7) следует, что
.
Законы де Моргана в алгебре множеств имеют вид:
(8)
Доказательство основано на законах де Моргана алгебры высказываний.
П
риведем
без доказательств следующие равенства:
B
A
C
B
A
C
B
A
C
(12)
(13)
(14)
Импликации (12) — (14) иллюстрируют аналогию между отношением включения и отношением «не больше» в арифметике.
Из (14) легко следует:
(15),
которая имеет свой аналог в арифметике:
.