Int[(a⊙b) ] (следует из (*))

Int[(a⊙b) ] (b⊙c) (следует из (**))

получим Int[(A⊙B) ] [ (B⊙C)].

Откуда

Int{Int[(A⊙B) ]} Int[ (B⊙C)],

или [(A⊙B)⊙C] [A⊙(B⊙C)].

Аналогично доказывается обратное включение.

Таким образом, [(A⊙B)⊙C] = [A⊙(B⊙C)], то есть справедлива.

Справедливость аксиомы IV можем установить, используя (18) §8:

,

так как .

Аксиома легко следует из утверждения (17) § 8:

A⊙ ⊙ = A⊙

и замечая, что каждое регулярно замкнутое множество имеет вид . В частности .

Рассмотрим теперь аксиому V. Имеем

А⊙

Множества A,B и C – замкнутые, значит (стр. 9 § 8):

, . Согласно (18) §8,

(A⊙B)(A⊙C)

Следовательно, A⊙(BC)=(A⊙B)(A⊙C).

Проверим аксиому V'. Очевидно, что A(B⊙C)

Согласно (18) §8, правая часть равна

⊙(AC).

П ример.

Возьмем в качестве 1 плоскость. Очевидно, что каждый круг с ограничивающей его окружностью регулярно замкнут. А так как каждое множество вида Int(A) вида содержит некоторый круг, то отсюда мы можем заключить, что булево кольцо K плотных регулярно замкнутых множеств обладает следующим свойством:

Если и , то существует такое B, что , и .

§ 9. Решетки.

Более общим понятием структуры, чем булево кольцо K, является понятие решетки R. Пусть - множество произвольных элементов, на котором определены две операции и . Говорят, что - решетка относительно этих операций, если верны следующие равенства (аксиомы теории решеток):

(1)

(2)

(3)

(4)

Решетка называется дистрибутивной, если

(5)

Отношение порядка вводится в решетках так же, как и в булевых алгебрах:

(6)

или, что то же,

(7)

Элементы о и i (если они в данной решетке существуют) определяются аналогично как единственные элементы, удовлетворяющие условиям

(8)

Для всех .

Легко убедиться, что o – наименьший элемент решетки, i – наибольший, т.е.

(9)

Для каждого .

Согласно теории 5 § 9, каждое булево кольцо с единицей является дистрибутивной решеткой с нулем и единицей. Обратная теорема не верна.

Об этом свидетельствует следующий пример (важный и сам по себе из-за многочисленных его применений в топологии). Решетка Брауэра: семейство всех замкнутых подмножеств произвольного топологического пространства образует решетку (при естественной интерпретации операций )

Но это семейство, вообще говоря, не будет булевым кольцом, т.к. разность двух замкнутых множеств не обязана быть замкнутым множеством (например, в пространстве вещественных чисел).

Теорема. Если A – дистрибутивная решетка с нулем и единицей и если для каждого существует такой элемент , что

(10)

то:

1. Элемент (-a) определяется однозначно;

2. A является булевым кольцом с нулем 0 и единицей I относительно операций .

Д о к а з а т е л ь с т в о:

1. Если какой-либо еще элемент удовлетворяет условиям (10), то в силу (8):

Аналогично . Следовательно, .

2. Для доказательства второй части теоремы достаточно показать, что выполняются все аксиомы § 9.

Аксиомы выполняются в каждой решетке;

аксиомы следуют из того, что 0 и i – соответственно нуль и единица в A;

аксиомы следуют из условий (10) и, наконец, - из дистрибутивности решетки.

Промежуточное место между понятиями решетки и булевой алгебры занимает решетка Брауэра.

Решетка с единицей называется решеткой Брауэра, если для произвольных ее элементов a и b существует элемент, называемый псевдоразностью (обозначается символом ∸b), такой, что ∸ .

Рассмотренное выше семейство замкнутых подмножеств топологического пространства является решеткой Брауэра. Псевдоразностью двух замкнутых множеств A и B будет (замкнутое) множество .

Обозначим символом ∸a псевдодополнение элемента a, т.е. ∸a=i∸a. Заметим, что в отличие от обычного дополнения, для псевдодополнения не выполняется равенство ∸a . Это соответствует тому, что в интуиционистской логике не выполняется закон истинного третьего. В топологической интерпретации это означает, что множество нигде не плотно, то есть граница множества A не обязательно пуста. Но равенство

∸ a верно, и это соответствует закону противоречия в логике Брауэра.

Пример 1. Множество натуральных чисел представляет собой решетку относительно операции нахождения наибольшего общего делителя (как операции ) и наименьшего общего кратного (как операции ). означает здесь, что a является делителем числа b. Число 1 – единичный элемент решетки, а нулевого элемента в ней нет.

Пример 2. Рассмотрим n-мерное евклидово пространство и семейство его линейных подмножеств (то есть точек, прямых, плоскостей и вообще k-мерных пространств, где ), проходящих через точки координат. Семейство является решеткой относительно операций и , определенных следующим образом: - общая часть множеств A и B, - наименьшее линейное подпространство, содержащее A и B. Например, A и B – плоскости, тогда - трехмерное пространство, если - прямая, и четырехмерное, если - точка.

Отношение здесь – обычное отношение включения. Нуль решетки – одноточечное множество (точки координат), единица – все семейство .

Решетка не является дистрибутивной, но обладает свойством модулярности.

Модулярной называется решетка, если для ее элементов a,b,c

Интересно отметить, что в решетке каждая возрастающая последовательность имеет не более элемента.

Пример 3. Множество высказываний произвольной математической теории становится решеткой относительно операций дизъюнкции и конъюнкции, если отождествить все эквивалентные высказывания в этой теории. Нулевая решетка будет ложное высказывание, единицей – истинное, означает, что высказывание b следует из высказывания a.