
- •Глава I. Основные понятия…………………………………………. 13
- •Глава I. Основные понятия.
- •§ 1.Множества и операции на множествах.
- •§2. Включение. Пустое множество.
- •Свойства включения.
- •§3. Законы сложения, умножения и вычитания.
- •§4. Свойства симметрической разности.
- •§5. Множество 1. Дополнение.
- •§6. Конституенты.
- •§7. Применение алгебры множеств к отношениям.
- •§8. Булевы алгебры.
- •Int[(a⊙b)](следует из (*))
- •Int[(a⊙b)](b⊙c) (следует из (**))
- •§ 9. Решетки.
- •Глава II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции.
- •§ 1. Высказывательные функции. Кванторы.
- •§ 2. Аксиомы теории множеств.
- •§ 3. Простейшие следствия из аксиом.
- •§ 4. Декартовы произведения. Отношения.
- •§ 5. Отношение эквивалентности.
- •§ 6. Функции.
- •Функция 2-х и более аргументов.
- •§ 7. Образы и прообразы.
- •§ 8. Функции, согласованные с данным отношением эквивалентности. Булевы факторкольца.
- •§ 9. Отношение порядка.
- •§ 10. Реляционные системы, их изоморфизмы и типы.
Int[(a⊙b)](следует из (*))
Int[(a⊙b)](b⊙c) (следует из (**))
получим Int[(A⊙B)]
[
(B⊙C)].
Откуда
Int{Int[(A⊙B)
]}
Int[
(B⊙C)],
или [(A⊙B)⊙C][A⊙(B⊙C)].
Аналогично доказывается обратное включение.
Таким образом,
[(A⊙B)⊙C]
= [A⊙(B⊙C)],
то естьсправедлива.
Справедливость аксиомы IVможем установить, используя (18) §8:
,
так как
.
Аксиома
легко следует из утверждения (17) § 8:
A⊙⊙
=
A⊙
и замечая, что
каждое регулярно замкнутое множество
имеет вид
.
В частности
.
Рассмотрим теперь аксиому V. Имеем
А⊙
Множества A,B и C – замкнутые, значит (стр. 9 § 8):
,
.
Согласно (18) §8,
(A⊙B)(A⊙C)
Следовательно, A⊙(BC)=(A⊙B)(A⊙C).
Проверим аксиому
V'.
Очевидно, что A(B⊙C)
Согласно (18) §8, правая часть равна
⊙(AC).
Пример.
Возьмем в качестве 1 плоскость. Очевидно, что каждый круг с ограничивающей его окружностью регулярно замкнут. А так как каждое множество вида Int(A) вида содержит некоторый круг, то отсюда мы можем заключить, что булево кольцо K плотных регулярно замкнутых множеств обладает следующим свойством:
Если
и
,
то существует такоеB,
что
,
и
.
§ 9. Решетки.
Более общим понятием
структуры, чем булево кольцо K,
является понятие решетки
R.
Пусть
- множество произвольных элементов, на
котором определены две операции
и
.
Говорят, что
-решетка
относительно этих операций,
если верны следующие равенства (аксиомы
теории решеток):
(1)
(2)
(3)
(4)
Решетка называется дистрибутивной, если
(5)
Отношение порядка вводится в решетках так же, как и в булевых алгебрах:
(6)
или, что то же,
(7)
Элементы о и i (если они в данной решетке существуют) определяются аналогично как единственные элементы, удовлетворяющие условиям
(8)
Для всех
.
Легко убедиться, что o – наименьший элемент решетки, i – наибольший, т.е.
(9)
Для каждого
.
Согласно теории 5 § 9, каждое булево кольцо с единицей является дистрибутивной решеткой с нулем и единицей. Обратная теорема не верна.
Об этом свидетельствует
следующий пример (важный и сам по себе
из-за многочисленных его применений в
топологии). Решетка
Брауэра:
семейство всех замкнутых подмножеств
произвольного топологического
пространства образует решетку (при
естественной интерпретации операций
)
Но это семейство, вообще говоря, не будет булевым кольцом, т.к. разность двух замкнутых множеств не обязана быть замкнутым множеством (например, в пространстве вещественных чисел).
Теорема. Если
A
–
дистрибутивная решетка с нулем и единицей
и если для каждого
существует такой элемент
,
что
(10)
то:
элемент (-a) определяется однозначно;
A является булевым кольцом с нулем 0 и единицей i относительно операций
.
Д о к а з а т е л ь с т в о:
Если какой-либо еще элемент
удовлетворяет условиям (10), то в силу (8):
Аналогично
.
Следовательно,
.
Для доказательства второй части теоремы достаточно показать, что выполняются все аксиомы
§ 9.
Аксиомы
выполняются в каждой решетке;
аксиомы
следуют из того, что 0 иi
– соответственно нуль и единица в A;
аксиомы
следуют из условий (10) и, наконец,
- из дистрибутивности решетки.
Промежуточное место между понятиями решетки и булевой алгебры занимает решетка Брауэра.
Решетка с единицей
называется решеткой
Брауэра,
если для произвольных ее элементов a
и b
существует элемент, называемый
псевдоразностью
(обозначается символом
∸b),
такой, что
∸
.
Рассмотренное
выше семейство замкнутых подмножеств
топологического пространства является
решеткой
Брауэра.
Псевдоразностью
двух замкнутых
множеств A
и B
будет (замкнутое) множество
.
Обозначим символом
∸a
псевдодополнение
элемента a,
т.е. ∸a=i∸a.
Заметим, что в отличие от обычного
дополнения, для псевдодополнения не
выполняется равенство
∸a
.
Это
соответствует тому, что в интуиционистской
логике не выполняется закон истинного
третьего. В топологической интерпретации
это означает, что множество
нигде не плотно, то есть граница множестваA
не обязательно пуста. Но равенство
∸a
верно, и это
соответствует закону противоречия в
логике Брауэра.
Пример 1.
Множество натуральных чисел представляет
собой решетку относительно операции
нахождения наибольшего общего делителя
(как операции
)
и наименьшего общего кратного (как
операции
).
означает
здесь, чтоa
является делителем числа b.
Число 1 – единичный элемент решетки, а
нулевого элемента в ней нет.
Пример 2.
Рассмотрим n-мерное
евклидово пространство и семейство
его линейных подмножеств (то есть точек,
прямых, плоскостей и вообщеk-мерных
пространств, где
),
проходящих через точки координат.
Семейство
является решеткой относительно операций
и
,
определенных следующим образом:
- общая часть множествA
и B,
- наименьшее линейное подпространство,
содержащееA
и B.
Например, A
и B
– плоскости, тогда
- трехмерное пространство, если
- прямая, и четырехмерное, если
- точка.
Отношение
здесь –
обычное отношение включения. Нуль
решетки – одноточечное множество (точки
координат), единица – все семейство
.
Решетка
не является дистрибутивной, но обладает
свойством модулярности.
Модулярной называется решетка, если для ее элементов a,b,c
Интересно отметить,
что в решетке
каждая
возрастающая последовательность имеет
не более
элемента.
Пример 3.
Множество высказываний произвольной
математической теории становится
решеткой относительно операций дизъюнкции
и конъюнкции, если отождествить все
эквивалентные высказывания в этой
теории. Нулевая решетка будет ложное
высказывание, единицей – истинное,
означает, что высказываниеb
следует из высказывания a.