Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова

Предмет:

Файл:

дискретная математика, тут должно быть все. / Disk-1л Теория множеств и мат логика(чI элементы теории мн.-268с / Часть 1.doc

Скачиваний:

175

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

3.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

§8. Булевы алгебры.

В подавляющем большинстве сформулированных до сих пор теорем о множествах знак , обозначающий принадлежность элемента к множеству,не встречается (хотя он встречается в определениях и доказательствах).

В связи с этим представляет интерес обоснование, в виде отдельной теории, той части алгебры множеств, в которой не используется отношение . В этой теории речь будет идти только оравенстве и неравенстве некоторых объектов и о некоторых операциях на них. Определим их при помощи аксиом таким образом, чтобы можно было доказать все приведенные в предыдущих параграфах теоремы, в которых не встречается знак .

Теория, которую мы таким образом получим, носит название булевой алгебры. Она находит применение во многих разделах математики.

Пусть К — произвольное множество

— двуместные операции, определенные на К и со значениями из К, и, наконец,

0 — выделенный элемент множества К.

Говорят, что К является булевым кольцом (или булевой алгеброй) по отношению к этим операциям и элементу 0, если для произвольных , выполняются следующие равенства (аксиомы булевой алгебры):

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Сумму и разность элементов определяем формулами:

Исходные элементы называются:

— симметрическая разность элементов a, b;

— произведение элементов a, b;

0 — нулевой элемент.

Пример. Примером булева кольца служит семейство всех подмножеств фиксированного множества 1, если операции «» и «» понимать как теоретико-множественные операции симметрической разности и произведения, а элементом 0 является пустое множество. Мы сталкиваемся уже в §6 с такой интерпретацией аксиом (1) — (9) данного параграфа.

Вместо семейства всех подмножеств множества 1 можно рассматривать такое семейство К его подмножеств, что симметрическая разность и произведение двух множеств, принадлежащихК, тоже принадлежитК. Такое семейство является булевым кольцом относительно тех операций, что и в предыдущем примере.

Каждое такое булево кольцо называется телом множеств.

Введем понятие булева многочлена.

Пусть , … — произвольные буквы.

Символы

Под многочленами мы понимаем просто последовательность, которую можно получить по правилам (I) — (IV).

Пусть К— булево кольцо, и пусть каждому символупоставлен в соответствие некоторый элемент. Определим (по индукции) значение многочлена при данном соответствии.

Значением многочлена(I) пусть будет нулевой элемент кольцаК, а значением многочленов (II) — соответствующие им элементы кольцаК.

Если значения многочленов f иq— элементыa иb, то значениями многочленов (III) и (IV) будут соответственнои.

Значение многочлена fна кольцеКобозначим. Очевидно, что.

Пусть многочлен fимеет вид, а многочленgвид,и— многочлены, а точками обозначены последовательности символов, одинаковые в многочленахfиg.

Тогда говорят, что многочлен gнепосредственнопреобразуется в многочленfпо аксиоме (1). Аналогично определяем непосредственное преобразование по остальным аксиомам (2) — (9).

В общем случае говорят, что многочлен gпреобразуется вf, если существует такая конечная последовательность множеств, что для каждогоi() многочленнепосредственно преобразуется впо одной из аксиом. Факт возможности такого преобразования записывают.

Очевидно, что

Если , тодля произвольного булева кольцаКи произвольных элементов.

Многочлены, получающиеся из (или) при помощи всевозможных расстановок скобок, взаимно преобразуемы по аксиоме (2) (или по аксиоме (6)). Поэтому в этих многочленах всегда будем опускать скобки. Не будем также обращать внимания на очередность многочленов, связанных символами «»или «». Например:.

Теорема 1. Каждый булев многочлен можно преобразовать либо в 0, либо в другой многочлен вида , где каждый из многочленовs_j имеет вид: () () и никакие два слагаемыхs_j, s_k () не совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Теорема очевидна для многочленов (I) и (II).
Допустим, что она верна для многочленов fиq.

Докажем справедливость теоремы для многочлена (III).

Если или (), тои(илии) в силу (1), (3), (7).

На языке высказываний это записывается:

Далее предположим, что

и .

Тогда

Пользуясь аксиомами (3) и (4), опускаем повторяющиеся слагаемые и получаем для многочлена (III) нужный вид.

В случае многочлена (IV) с помощью аксиом (9) и (5) получаем:

По (5) и (8) каждый из многочленов преобразуем в произведение отдельных переменных. И снова, пользуясь аксиомами (3) и (4), опускаем повторяющиеся слагаемые и получаем для многочлена (IV) нужный вид.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть К — тело всех подмножеств некоторого непустого множества 1. Если f — такой многочлен, что , то вК существуют такие множества , что.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 1 можно ограничиться случаем, когдаfимеет вид (), а каждый из многочленовявляется произведением букв.

Пусть n— число всех различных букв, встречающихся вf. Доказательство будем вести индукцией поn.

Для имееми поэтому можем выбрать в качествепроизвольное непустое множество.

Предположим, что теорема верна для всех чисел, меньших n, и пустьfсодержит точноnпеременных.

Если некоторая переменная, например, , встречается во всех многочленах, то, гдеq— содержит менееnпеременных. По предположению индукции, существуют такие множества, что. Подставив в этой последовательности вместомножество 1, мы не изменим значенияq(так какqне содержит), а в качестве значенияfполучим множество.

Если же нет такой буквы , которая бы встречалась во всех, то, заменяя любую букву вfсимволом 0, получаем многочленg, у которого меньше переменных, чем уf, и.

В этом случае теорема верна в силу предположения индукции.

Теорема 3. Каждое равенство вида , истинное для произвольных подмножеств (или даже только для произвольных подмножеств некоторого фиксированного непустого множества), можно вывести из аксиом (1) — (9).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если многочленпринимает значение 0 для всех, содержащихся в непустом множестве1, тои, значит,. Поэтому многочленgможно получить изfпри помощи преобразований по аксиомам (1) — (9) и общего логического правила, гласящего, что равные элементы можно заменять один другим.

Из этой теоремы мы заключаем, что тождества, выводимые из аксиом (1) — (9), совпадают с тождествами, истинными для произвольных множеств. Кроме того, эта теорема дает способ, позволяющий механически проверить, выводимо ли из аксиом (1) — (9) равенство . Для этого достаточно преобразовать (методом, данным в доказательстве теоремы 1) многочлени проверить, равен ли он 0.

Введем отношение порядкав булевом кольце:

Теорема 4. .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если , то.

Обратно, если , то, поэтому, а значит,, откудаи, то есть.

Элемент i булева кольцаКназываетсяединицейкольца, если для всех его элементов

(10)

Легко доказать, что единица, если она существует, единственна.

В кольце с единицей определим дополнение–а элементаа:

Аксиомы (1) — (9) очень удобны во многих вычислениях, но ими редко пользуются. В последующих теоремах мы познакомимся с другой системой аксиом, которую обычно принимаем за основу.

Ограничимся низко булевыми кольцами с единицей.

Теорема 5. Если K — булево кольцо с единицей, то для всех верны следующие равенства:

I.	.
II.	.
III.	.
IV.	.
V.	.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Равенства истинны для произвольных множеств, а значит, следуют из аксиом (1) — (9). Равенствосовпадает с (10). ДокажемIVи:

Доказательство :(по определению –а)

(по (9) и (10))

(по (8))

(по определению суммы)

(по (4)).

Доказательство IV:

(поIV)

(поI, 2, 3)

(по 4)

= i(по 3)

Теорема 6 в некотором смысле обратна к теореме 5.

Теорема 6. Если К — множество, , и в нем определены операции, удовлетворяющие равенствамI — , то относительно операцийи элемента 0 множество К являетсябулевым кольцом.

Доказательство носит вычислительный характер и предоставляется читателю.

Равенства I—очень часто принимают в качестве системы аксиом булевой алгебры. В этой системе заслуживает внимания тот факт, что аксиомы—можно получить изI—V, меняя в них везде символнаи обратно, поэтому аксиомы—двойственны к аксиомамI—V.