§7. Применение алгебры множеств к отношениям.

Для иллюстрации применения развитого в предыдущих параграфах исчисления в других разделах математики рассмотрим здесь аксиомы общей топологии и выведем из них, используя алгебру множеств, некоторые следствия.

В общей топологии объектом исследования является непустое множество 1, называемое пространством, элементы которого называются точками. Каждому подмножеству А пространства 1 () соответствует множество, называемоезамыканием множества А, также содержащееся в 1.

Пространство 1 называется топологическим пространством, если для него выполняются аксиомы:

(1)

(2)

(3)

(4)

Аксиомы (1) — (4) выполняются, например, когда 1 является множеством точек плоскости, а операция замыкания состоит в добавлении кА всех предельных точек этого множества, то есть таких точек Р, что произвольный круг с центром в Р содержит по крайней мере одну точку множества А.

Такую интерпретацию системы (1) — (4) будем в дальнейшем называть естественной интерпретацией.

есть множество вместе с его предельными точками.

Покажем, как из аксиом (1) — (4), пользуясь только законами алгебры множеств, можно вывести различные свойства операции замыкания (правила топологического исчисления).

1. Имеем

(5).

Действительно, для каждого А верно , а аксиома (3) дает.

2. Далее

(6)

Действительно, из по аксиоме (1) получаем:

.

Отсюда и, таким образом,

.

3. Докажем импликацию

(7)

Включение (см. §3, (5)). Откуда по аксиоме (1) получаем:,

а, значит, .

4. (8)

В самом деле, поскольку ,, то в силу (7) имеем:

(х)

(хх)

Перемножая (х) на (хх) и учитывая закон идемпотентности

(§4, (4): )

получим:

.

5. Если и, то(9)

В самом деле, (согласно аксиоме (3)), а, согласно (8) и условию теоремы.

Множество , совпадающее со своим замыканием, () называетсязамкнутым. Утверждение (9) означает, что произведение двух замкнутых множеств замкнуто, а формула (1) — что сумма двух замкнутых множеств замкнута.

Множество открыто, если его дополнение замкнуто, то есть или.

Пример. В пространстве вещественных чисел (1) целые числа образуют замкнутое множество, отрезок замкнут, интервалоткрыт (не замкнут); на плоскости последнее множество не является открытым. В множестве целых чисел (1) каждое подмножество одновременно открыто и замкнуто.

Из законов де Моргана следует, что сумма и произведение двух открытых множеств открыты.

Итак, замкнутые множества можно определить как множества вида .

Аналогично, открытое множество совпадает с множеством вида .

При естественной интерпретации аксиом (1) — (4) замкнутые множества — это те, которые содержат все свои предельные точки. Открытые множества обладают следующим характеристическим свойством: если точка Р принадлежит открытому множеству А, то существует круг с центром в Р, полностью содержащийся в А.

Множество замыкания

будем называть внутренностью множества А. Внутренность произвольного множества, очевидно, открыта.

Граница множества А есть множество вида: .

Пример. .

Пусть А есть круг на евклидовой плоскости, тогда множество— окружность круга, а множество— открытый круг.

В пространстве натуральных чисел граница каждого множества пуста 1, 2, 3, …

В пространстве действительных чисел границей множества рациональных чисел является все пространство.

При естественной интерпретации аксиом (1) — (4) множество Int(A) состоит из двух таких точек Р, для которых существует круг с центром Р, полностью содержащийся в А.

Докажем, что

(10)

Из аксиомы (3) получаем , откуда, используя формулу (7) §6, имеем:

,

или .

Из (10), в частности, вытекает, что . Это утверждение можно усилить. На самом деле справедливо равенство

(11)

Действительно, из определения Int(A) следует, что ,.

Так как двойное применение операции дополнения можно опускать (закон двойного дополнения), то

,

а так как по аксиоме 2 , то

.

Докажем теперь, что

(12)

По закону де Моргана

.

Применяя аксиому (1), получаем:

и, применяя второй закон де Моргана, заключаем, что

Из (12) легко следует

(13)

В самом деле, , откуда

Верна также формула

(14)

Действительно, согласно (10),

откуда, используя (7) и аксиому (2), получаем:

(14₁)

С другой стороны, в силу (11), (3), (13):

,

откуда с учетом (7) имеем:

(14₂)

Выполнение включений (14₁) и (14₂) одновременно означает справедливость равенства (14).

Заменяя Int(A) в (14) на , получаем:

(15)

Подставляя вместоА и применяя закон двойного дополнения, находим:

(16)

Формулы (15) и (16) показывают, что если к произвольному множеству применять поочередно операции дополнения и замыкания, то получится только конечное число различных множеств.

Начав с операции дополнения, получим:

.

Следующим множеством было бы , но оно, согласно (15), совпадает с уже имеющимся множеством.

Если же начнем с операции замыкания, то получим:

Следующим множеством было бы ,но оно, согласно (16), совпадает с множеством .

Таким образом, применяя операции дополнения и заключения к произвольному множеству А, можно получить не более 14 различных множеств.

В § 9 нам потребуются утверждения (17) и (18).

Если , то(17)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что , откуда в силу (13) и (7) получим. Поэтому достаточно доказать, что

.

Так как , то в силу (12), (16) и (10):

Если или, то(18)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно (13),

,

.

Значит, .

Замыкая обе части этого включения и учитывая (1) и (7), получаем:

(18₁)

Для доказательства обратного включения рассмотрим равенство

,

из которого следует (по аксиоме (3)):

,

откуда

Применяя операцию замыкания к обеим частям этого включения и учитывая, что , находим:

откуда

,

или

и, значит

Прибавляя к обеим частям множество , имеем:

откуда

Замыкая обе части и пользуясь аксиомами (1) и (3) получаем:

(18₂)

Выполнение (18₁) и (18₂) одновременно доказывает утверждение (18).

Итак, мы знаем отношение , операции, разность, дополнение, их свойства,и 1 множества.

Отношение чисто специфичное для теории множеств. Все остальные понятия можно каким-то образом сопоставить с операциями и элементами в других разделах математики (например,—,—, 1 — И,— Л,— отношение порядкаи тому подобное). Отсюда ???: отбросить отношениеи обобщить остальные понятия, то есть переход к булевым алгебрам.