Глава I. Основные понятия.

§ 1.Множества и операции на множествах.

Основное понятие теории множеств – «множество». Это понятие по мере развития теории претерпело значительные изменения. В начальный период развития теории множеств, во время так называемой « »теории множеств, пользовались интуитивным понятием множества, т.е. слово «множество» имело такое же и столь же неопределенное значение, как и в обычном языке. В частности, такую позицию занимал создатель теории множеств Кантор.

Но такое положение долго не продержалось. Интуитивное понимание множества оказалось в некоторых случаях порочным.

В гл. II §2. мы скажем о так называемых антимониях теории множеств, т.е. об очевидных противоречиях, появившихся на определенной стадии развития это науки. Причиной их была возникающая в сложных случаях неясность интуиции, связанной с понятием множества.

В полемике, развернувшейся вокруг антимоний, было выяснено, что разные математики вкладывают в понятие множества существенно различный смысл. Поэтому построение теории множеств исключительно на интуитивной основе оказалось невозможным.

В этом курсе лекций теория множеств будет изложена в виде аксиоматической системы. Подобно тому как в геометрии, не отвечая на вопросы, что такое точка, прямая, плоскость и другие «первичные термины», мы из определенной системы аксиом выводим все теоремы, не обращаясь к смысловому значению первичных терминов, так и в теории множеств мы будем исходить из аксиом и дедуктивным путем получать теоремы. Хотя эти аксиомы основаны на интуитивном понимании множеств, но благодаря аксиоматическому методу интуитивное содержание этого понятия не будет привлекаться ни при доказательствах теорем, ни в определениях.

Первичные понятия теории множеств – множество и отношение быть элементом.

Вместо х есть множество будем писать Z(x), вместо х есть элемент множества y – .

Отрицание выражения будем записывать в видеилиилих non y.

Для упрощения символики будем употреблять прописные латинские буквы для обозначения множеств, т.е. если в выражении встретится, например, буква А, то предполагается, что А – множество.

Кроме этих двух первичных понятий, мы в дальнейшем вносим еще одно первичное понятие xTRy (x есть регуляционный тип y), которое будет разъяснено в главе II.

Cначала выведем четыре аксиомы:

(Интуитивный принцип объемности, Р. Столл, стр. 13)

J Аксиома объемности (экстенсивности).

Если множество А и В составлены из одних и тех же элементов, то они равны.

Если для каждогоx, то А=В.

II. A Аксиома суммы. Для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются множества A и все элементы множества B и которое никаких других элементов не содержит.

III. B Аксиома разности. Для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются те и только те множества A, которые не являются элементами множества B.

IV. C Аксиома существования. Существует по крайней мере одно множество.

Из аксиом J и A следует, что для произвольных множеств А и В множество, удовлетворяющее условиям аксиомы А, единственно. В самом деле, если бы были два таких множества С₁ и С₂, то они оба содержали ли бы одни и те же элементы (все элементы множества А, и все элементы, принадлежащие В), и поэтому, согласно аксиоме J, было бы С₁= С₂.

О п р е д е л е н и е 1. Это единственное множество, удовлетворяющее условиям аксиомы А, назовем суммой (или объединением) множеств А и В и будем обозначать символом . Для производныхх и производных множеств А и В верны эквиваленты.

⇋

(1)

О п р е д е л е н и е 2. Подобным образом из аксиом J и B заключаем, что для произвольных множеств А и В существует в точности одно множество, содержащее элементы множества А, не принадлежащее множеству В.

Это множество называется разностью множеств А и В и обозначается символом А–В. (А\В)

⇋