§ 10. Реляционные системы, их изоморфизмы и типы.

Пусть A – множество, R₀, R₁, …, R_K-1 – отношения соответственно от p₀, p₁, …, p_k-1 переменных из A (другими словами, ).

Система называетсяреляционной системой характеристики (p₀, p₁, …, p_k-1), множество A называется полем этой системы.

Реляционные системы изучаются во многих разделах математики, особенно в алгебре. Поскольку функции – это отношения () специального вида, можно считатьгруппу реляционной системой характеристики (3), а кольцо – реляционной системой характеристики . Булевы кольца также можно считать реляционными системами.

Для простоты изложения рассмотрим реляционные системы характеристики (2), то есть системы вида , где. Все рассуждения можно легко обобщить на произвольные реляционные системы.

О п р е д е л е н и е. Две реляционные системы иназывают изоморфинами, если существует взаимно однозначная Функцияf, отображающая A на B так, что для всех .

В этом случае пишут ≈илиR≈S, если ясно, какие множества A и B имеются в виду.

Изоморфизм систем – (подобный) отношение между объектами одинаковыми одинаковой, тождественной структуры.

Значение понятия изоморфизма заключается в том, что изучение какого-либо поля (объектов) можно вести по основе имеющегося уже знания изоморфного объекта.

Теорема 1. отношение ≈ - рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Доказательство очевидно.

Покажем, что каждое свойство системы , которое можно выразить с помощью символов исчисления высказываний и кванторов, ограниченных полем системы, присуще также каждой системе, изоморфной, то есть являетсяинвариантом относительно изоморфизма.

Инвариантность – неизменность при некоторых преобразованиях над изоморфизмом.

Пусть Ф – высказывательная функция, содержащая свободные переменные x, y и, быть может, еще другие переменные u₀, u₁, …, u_k-1. Предположим, что Ф построена из высказывательных функций вида

(1)

(2)

с помощью операций исчисления высказываний и кванторов ,то есть переменныеx, y, кванторами не связаны. Для таких высказывательных функций справедлива.

Теорема 2. Если функция fустанавливает изоморфизм систем и, то для

(3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Ф – высказывательная функция вида (1), то (3) следует из того, что f взаимно однозначна.

Если Ф – высказывательная функция вида (2), то (3) следует из того, что f устанавливает изоморфозм рассматриваемых систем.

Пусть формула (3) верна для высказывательных функций Ф и Ф'. из законов исчислений высказываний следует, что она верна также и для высказывательных функций , а следовательно для всех высказывательных функций, которые можно получить изФ и Ф' с помощью операций исчисления высказываний.

Чтобы доказать справедливость теоремы для всех высказывательных функций (рассматриваемого здесь типа), достаточно показать, что она справедлива для высказывательной функции полученной из Ф с помощью навешивания квантора (всеобщности или существования). Достаточно рассмотреть только один из этих кванторов, например существования.

Пусть Ψ – функция и.

Если , то.

Тогда по предположению, откуда.

Таким образом мы доказали импликацию.

Обратная импликация доказывается аналогично.

Пример. Следующие свойства реляционной системы в силу теоремы 2инвариантны относительно изоморфизма:

1.Рефлексивность:

2.Антирефлексивность: .

3. Симметрия: .

4. Асимметрия: .

5. Антисимметрия: .

6. Транзитивность: .

7. Связность: .

О двух изоморфных реляционных системах говорят, что они имеют один и тот же тип. Очевидно, что это только новый термин, а не новое понятие. Все теоремы теории множеств можно вывести, не применяя понятия «типа». Но помимо того, что это понятие желательно ввести из уважения к традициям (Кантор строил теорию множеств, употребляя понятие типа с самого начала), оказывается, что с его введением многие теоремы формулируются гораздо проще.

Итак, введем новое первичное понятие TR: выражение αTR <A,R> читается: α является типом реляционной системы <A,R>. Введем также новую аксиому:

Аксиома VIII (реляционных типов). Для каждой реляционной системы <A,R>, где , существует точно один такой объектα, что αTR <A,R>. Для произвольных систем <A,R> и <В,S>:

.

Этот единственный объект α, для которого αTR <A,R>, обозначается или (если это не ведет к недоразумениям) просто.

Объект α называется реляционным типом, если существует система <A,R>, для которой αTR <A,R>.

104