§ 8. Функции, согласованные с данным отношением эквивалентности. Булевы факторкольца.

Конструкция, которая будет описана в этом параграфе, играет важную роль в абстрактной алгебре.

Пусть R – отношение эквивалентности с полем X, f – функция 2-х переменных: .

Определение 1. функция f называется согласованной с R, если

(1).

Аналогично это понятие можно определить для функции большего числа переменных.

Так как , (2)

то можно определить согласованность следующим образом:

(3).

Другими словами, класс абстракции зависит только ль классов абстракции,, а не от самих элементовx, y. Отсюда следует, что существует такая функция φ, определенная на множестве , что для произвольных:

.

Этой функцией φ будет множество пар вида , гдеи.

Функция φ называется индуцированной из f посредствам R.

Функция , заданная равенством, называетсяканоническим отображением X на .

Функция 2-х переменных k², заданная равенством называетсяканоническим отображением множества X² на .

Для функции 3-х и более переменных определения аналогичны.

Теорема 1. если функция согласована с отношением эквивалентностиR, а функция φ индуцирована из f посредством R, то диаграмма

коммутативна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любой пары

(*) ,

(**),

откуда .

Пример. Пусть - тело множеств с единицей 1,- произвольный идеал вK, R – отношение • (mod ).

Множество обозначаетсяи называетсябулевым факторкольцом.

Функции согласованны с отношением•.

Обозначим функции, индуцированные из f, g, h посредством •, символами . Тогда

.

Теорема 2. Множество является булевой алгеброй относительно операцийи элементовив качестве нулевого и единичного.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что операции и элементыиудовлетворяют аксиомамI-V' (§ 9, теорема 5). Проверим, например аксиому (I):

Пусть , тогда

Остальные аксиомы проверяются аналогично.

Замечание. Справедливо равенство , поскольку условияиэквивалентны.

Свойство факторколец во многом отличны от свойств колецK. С помощью перехода от K к можно получить новые интересные кольца.

§ 9. Отношение порядка.

О п р е д е л е н и е 1. Отношение R называется отношением порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично.

Антисимметричность определяется так: .

Отношение, которое только рефлексивно и транзитивно, мы будем называть отношением квазипорядка.

Вместо xRy обычно пишут или короче. Мы будем говорить также, что множествоA, являющееся полем отношения R, упорядочено (или квазиупорядочено), не указывая явно отношение R. Так обычно говорят, когда известно, о каком отношении идет речь. Однако надо всегда помнить, что порядок не является свойством самого множества. Одно и то же множество может быть различным отношением порядка.

Замечание. По другой терминологии (мы ее не будем употреблять) под отношением порядка понимают отношение, которое, кроме указанных в определении свойств, обладает еще свойством связности, то есть . Наше отношение порядка называют тогда отношением частного порядка. Связные отношения порядка, будем подробно рассматривать в главе VI.

Пример 1. Каждое семейство множеств упорядочено отношением включения. Если оно линейно упорядочено этим отношением, то оно называется линейным семейством.

Пример 2. Каждая решетка (в частности, каждое булево кольцо) упорядочено отношением .

Пример 3. Множество натуральных чисел упорядочено отношением делимости.

Пример 4. Назовем покрытием множества A каждое такое семейство P, что A=S(P).

Покрытие P₁ называется измельчением покрытия P₂, если для каждого существует такое, что. ОтношениеR, определенное формулой (P₁ является измельчением покрытия P₂), является отношением квазипорядка в множестве всех покрытий множества A. Но оно не будет отношением порядка, та как могут существовать два различных покрытия P₁ и P₂, для которых P₁RP₂ и P₂RP₁.

Если же ограничить поле этого отношения покрытием состоящим из непустых попарно непересекающихся множеств (также покрытия пар разбиения), то R будет отношением порядка.

О п р е д е л е н и е 2. Множество A, упорядоченное (или квазиупорядоченное) отношением ≤, называется направленным, если для каждой пары существует такое, чтои.

Пример 5. Каждая решетка является направленным множеством, так как и. В частности, направленным для отношения включения (как, так и) будет семейство всех подмножеств данного множества и семейство всех замкнутых подмножеств данного топологического пространства.

Пример 6. множество всех покрытий данного множества является направленным для отношения R из примера 4. действительно, обозначим через P₃ семейство всех произведений вида , где. Легко проверить, чтоP₃ – покрытие P₁RP₃ и P₂RP₃.

О п р е д е л е н и е 3. Говорят, что упорядоченное множество A конфинально (имеет общий конец) со своим подмножеством B, если для каждого ч существует такое, что.

Аналогично определяется конначальное множество (имеющее общее начало).

Конфинальное:

Конначальное:

Пример 7. множество вещественных чисел конфинально и конначально с множеством целых чисел.

Очевидно, что если упорядоченное множество A содержит последний элемент, то оно конфинально множеству, состоящему из одного этого элемента.

Последний (первый) элемент множества надо отличать от максимального (минимального) элемента.

Элемент x упорядоченного множества A называется его максимальным (минимальным) элементом, если в A нет такого элемента y, что, что x<y (или x>y).

В линейно упорядоченных множествах понятия максимального элемента и последнего элемента (соответственно минимального и первого) совпадают. Но для произвольных упорядоченных множеств это, вообще говоря, не так.

Определение 4. Пусть A – упорядоченное множество, T – произвольное множество, .

1) Элемент называетсянаименьшей (или точной) верхней гранью (supu (супренум – suprenum)) элементов , еслидля каждого, причемu - наименьший элемент обладающий этим свойством, то есть

(I)

(II)

2) Аналогичным образом, определяется наибольшая (или точная) нижняя грянь: элемент называется наибольшей (или точной) верхней гранью (infu (инфинум – infinum)) элементов , если

(III)

(IV)

Наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) грань, если она существует, определяется однозначно.

Действительно, пусть, кроме (I) и (II) выполняются еще условия

(I')

(II').

Подставляя в (II') v=u и принимая во внимание (I), получаем . Аналогично из (II) и (I') получаем . Следовательно, так как отношение ≤ антисимметрично. Аналогично доказывается единственность наибольшей нижней грани.

Наименьшая верхняя грань элементов (если она существует) обозначается в теории упорядоченных множеств символомнаибольшая нижняя грань символом.

Если T – конечное множество ,, то

1)

2)

Inff_t всех множеств A (если она существует) называется нулевым элементом и обозначается или0.

Supf_t всех элементов множества A (если она существует) называется единичным элементом и обозначается или1.

Пример. Множество всех действительных чисел, меньших 1, имеет точную верхнюю грань 1, но не имеет максимума.

Очевидно, что

1)

2)

В этом случае A направленное множество.

Если , то.

Отсюда следует, что если существуют идля всех, тоA – решетка.

О п р е д е л е н и е 5. Упорядоченное множество A называется полным, если для каждого T и для каждой функции существуют грани:

, .

Так как каждая решетка упорядочена (отношением ), то это определение объясняет смысл термина «полная решетка».

Пример 8. множество 2^X для любого Xⁿ является полной решеткой относительно операций . Существование наименьшей верхней грани (supf_t) следует из аксиомы III § 2 и существование наибольшей нижней грани (inff_t) – из теоремы 6 § 3.

Пример 9. семейство всех замкнутых подмножеств произвольного топологического пространства является полной решеткой относительно операций .

Здесь - замыкание суммы множествX_t.

- произведение этих множеств.

О п р е д е л е н и е 6. Два множества A и B, упорядоченные отношениями R и S соответственно, называются подобными, если существует функция f, взаимно однозначно отражающая A на B и такая, что для произвольных :.

О функции f тогда говорят, что она устанавливает подобие множеств A и B.

Например, функция f(x)=-x для устанавливает подобие множества, упорядоченного отношением ≤, и того же множества, упорядоченного отношением ≥.

Понятие подобия является частным случаем понятия изоморфизма, которым мы займемся в следующем параграфе.