Функция 2-х и более аргументов.

Пусть и так далее для любого множества.

Если , то вместо(аналогично для произвольного числа(n) множеств Xⁿ).

Подмножества декартова произведения n множеств будем называть n-мерными отношениями.

Если область определения функции f – декартово произведение , тоf называют функцией 2-х переменных. Вместо будем писать короче.

Аналогично, если область определения функции f – декартово произведение , тоf называем функцией 3-х переменных.

Теорема 7. если функция f взаимно однозначно отображает множество на множествеZ, то существуют такие функции α и β, отображающие Z соответственно на X и Y, что для каждого.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В качестве α достаточно взять множество пар , удовлетворяющих условию, а в качестве β – множество пар, удовлетворяющих условию.

Теорема 8. Если A – непустое семейство множеств и , то существует такая функция, чтодля каждого.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть .

Тогда для , причем, если.

Применяя аксиому выбора к D_п(h), получаем множество, имеющее точно один общий элемент с каждым из множеств h(X), . Это множество, как легко показать, является искомой функциейf.

Функция, обладающая свойствами, указанными в теореме 8, называется функцией выбора для семейства A.

Теорема 8 показывает, что исходя из системы аксиом можно доказать существование функции выбора для произвольного непустого семейства, не содержащего пустого множества. Можно доказать также и обратное утверждение, а именно, что аксиома выбора выводится из теоремы 8 и системы аксиом.

§ 7. Образы и прообразы.

Рассмотрим произвольные множества A, B и отношение R: .

Множество , гденазываетсяобразом множества X при данном отношении R.

Очевидно, что .

В частности, если f – функция, то множество f¹(X) состоит из значений, принимаемых функцией f на множестве X. Будем писать .

Эта же запись применяется и в случае операций, например, ,и т.п. Как мы уже знаем, нет такой функции, значением которойдля произвольных x была бы пара , и нет такой функции, значение которойдля произвольных семейств X было бы множество S(X), но каждая такая операция определяет функцию, если ограничить ее область определения каким-нибудь заданным множеством (смотреть теорему 6 § 6). В выражениях типа ,надо бы, строго говоря, вместо символов,S(X) писать значения функций с областями определения X и A соответственно.

Из определения обратного отношения следует, что если , то образом множестваY при отношении является множество

.

Оно называетсяпрообразом множества Y при отношении R. Если R=f – функция, то , то есть.

Если множество Y состоит из одного элемента , тоназываетсямножеством уровня функции f, определенным элементом y. Различные множества уровня попарно не пересекаются, суть всех множеств уровня совпадает с областью определения функции.

Докажем несколько простых законов для образов и прообразов.

Теорема 1. Если и, то

, (1)

, (2)

(3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (1) следует из того, что

Для доказательства (2) достаточно заметить, что .

Тогда, согласно (1), имеем: .

Наконец, включение (3) справедливо, так как

откуда в силу (2) получаем:

Или .

Теорема 2. Если , то

, (4)

, (5)

(6).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (4) представляет частный случай формулы (1). Докажем равенство (5):

.

Равенство (6) доказывается аналогично.

Теорема (1) показывает, что операция взятия образа по данному отношению аддитивна (равенство 1), но не мультипликативна (не выполняется (5)).

Аддитивность – свойство получать результат как результат суммы.

Аддитивный – суммарный, полученный в результате сложения.

Мультипликативность – свойство получать результат как результат умножения.

Мультипликативный – перемноженный.

Теорема 2 показывает, что операция взятия прообраза аддитивна (4) и мультипликативна (5).

Теорема 3. Если функция взаимно однозначна, то для произвольных:

, (7)

(8).

Для доказательства достаточно в теореме 2 заменить f на ..

(7), (8) дополняют теорему 1, и именно имеют место по теореме 1.

.

Теорема 4. Если , то

, (9)

(10).

(9) верно потому, что

.

(10) справедливо в силу того, что

.

Вформуле (10) знак включения не всегда можно заменить знаком равенства. Если, например,f – функция вещественной переменной , то дляимеем.

Если же f – взаимно однозначна, то очевидно, что .

Приведем еще одну важную теорему.

Теорема 5. Если и, то

для каждого .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Из теоремы 5 следует, в частности, что есть и, тодля каждого.