§ 6. Функции.

Отношение называется функцией, если

.

Функции обычно обозначаются буквами f, g, h, …

Множества D_l(f) и D_n(f) называются соответственно областью определения и множеством значений функции.

1) Если D_l(f)=X и , тоf будем называть отображением (преобразованием) множества X в Y.

2) ЕслиD_l(f)=X и D_n(f)=Y, то f называют отображением множества X на Y.

Если D_l(f)=X, то говорят, что функция f определена на X.

Множество всех отображений уз X в Y обозначают символом Y^X.

Утверждение чаще записывают в видеили(или).

Если и. То, согласно введению области определения функции, существует по крайней мере один такой элемент, чтоxfy. В то же время из определения функции вытекает, что может существовать не более одного такого элемента. Следовательно, элемент y определяется однозначно. Его называют значением функции f для аргумента x и обозначают f(x). Таким образом, формула y=f(x) означает то же что и xfy.

Равенство двух функций определены так

(2)

Если упорядоченные пары представлять себе как точки плоскости, а их первые и вторые элементы соответственно как абсциссы и ординаты, то функция будет интерпретироваться своим графиком.

О п р е д е л е н и е 1. Функция f называется взаимно однозначной, если для различных аргументов она принимает различные значения (или по другому для одинаковых значений одинаковые аргументы – Закон контрпозиции):

(3)

где x₁, x₂ произвольные элементы из области определения функции, то есть .

Теорема 1. Если , тоf^c является функцией тогда и только тогда, когда f взаимно однозначна. При этом гдеY₁ – множество значений функции f, и f^c также взаимно однозначна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отношение является функцией тогда и только тогда, когда(4)

то есть (5)

А (5), очевидно, равносильно формуле (1) настоящего параграфа, вторая часть теоремы следует из выражений для левой и правой частей обратного отношения.

Теорема 2. Если и, то отношениеявляется функцией и, то есть если.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения суперпозиции отношений имеем (*).

Из (*) получаем, что , и каждый элемент множестваX принадлежит . Так как последняясодержится в правой области отношенияg, то .

Из теоремы 2 следует, что для(6).

Теорема 3. Если , аf и g – взаимно однозначны, то их суперпозиция также взаимно однозначна.

Действительно, .

О п р е д е л е н и е 2. Взаимно однозначную функцию f, у которой множество значений совпадает с областью определения и равно X, будем называть перестановкой множества X.

Простейшей перестановкой множества X является равенство , то есть.

Теорема 4. Если иf – взаимно однозначна, то и, гдеy₁ – множество значений функции f.

Действительно, так как , тои, значит.

Доказательство второй части теоремы аналогично.

Пусть ,,,, и пусть множества значений функций и.

Если , то говорят, что диаграмма

коммутативна. Эта диаграмма показывает, что от элемента можно дойти до элементадвумя способами: через элемент множестваY и через элемент множества Z.

О п р е д е л е н и е 3. Функция g называется продолжением функции f, если . Говорят также, чтоf – сужение функции g.

Теорема 5. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобыидля.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Необходимость. Пусть , тогда , так как проекция подмножества является подмножеством проекции. Если , то. Следовательно,.

2) Достаточность. Пусть и для всех. Если, тои, значит,, откуда.

Сужение , для которогообозначают. Понятие функции следует отличать от понятияоперации.

Под операцией мы понимаем высказывательную функцию от 2-х переменных, удовлетворяющую условиям

(W)

Эти условия требуют, чтобы для каждого x существовал единственный элемент y, выполняющий Ф(x,y). Но если область определения Ф(x,y) не ограничена, то может не существовать множество пар , выполняющихФ(x,y), то есть может не существовать такой функции f, что (например, если). Вместе с тем верна.

Теорема 6. Пусть A – произвольное множество. Если высказывательная функция Ф(x,y) удовлетворяет условиям (W), то существует такая функция f_A, что A является ее областью определения и для любого и любогоy:

.

Требуемой функцией f_A будет множество

(7),

где B обозначает образ множества A при отображении, определенном с помощью высказывательной функции Ф.

Если, в частности, где слева от знака…x…= стоит выражение, записанное при помощи букв x, постоянных и символов различных операций, то функцию f_A мы будем обозначать

Например: .