§ 5. Отношение эквивалентности.

Важным типом отношений является отношение эквивалентности (или эквивалентность). R, то есть отношение удовлетворяющее трем условиям

а) - рефлексивность (x=x)

б) - симметричность (x+y=y+x)

в) - транзитивность (x>y>z→x>z)

для всех .

Пример 1. Отношение переменности для прямых на плоскости (то есть множество пар , чтоx, y – прямые и x параллельна y) является отношением эквивалентности.

Пример 2. Пусть X – множество таких вещественных чисел, что . ОтношениеR, имеющее место между двумя числами тогда и только тогда, когда(a-b) – рациональные числа, является отношением эквивалентности.

Пример 3. Пусть X – произвольное множество, K=2^x, I – идеальное отношения =, имеющее место между двумя множествами тогда и только тогда, когдаX∸является отношением эквивалентности.

Пример 4. Пример 3 можно обобщить, беря в качестве K произвольное булево кольцо, а в качестве I такое его подмножество, что

Тогда I – идеальное кольцо K, а отношение ≐ является отношением эквивалентности.

О п р е д е л е н и е. Систему непустых подмножеств из семействаA будем называть разбиением множества C, если

1)

2) при

Сами множества A₁, A₂,… называются при этом классами данного разбиения.

О п р е д е л е н и е. Отношение R на множестве C называют эквивалентностью (или отношением эквивалентности), если существует разбиение A множества C такое, что соотношение xRy выполняется тогда и только тогда, когда x и y принадлежат некоторому общему классу A_i данного разбиения.

Приведем несколько теорем, показывающих структуру произвольных отношений эквивалентности.

Пусть C – произвольное множество. Назовем разбиением множества C такое семейство , что,S(A)=C и любые два различные множества входящие в A не пересекаются.

Теорема 1. Если A – разбиение множества C, то отношение R_A, определенное формулой , есть отношение эквивалентности с полемC.

Теорема 2. Если A и B - различные разбиения множества C, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о: - закон контрапозиции.

Допустим, что R_A=R_B. Докажем, что тогда A=B (). В силу симметрии предположения, достаточно показать, что.

Пусть и.

Так как S(B)=C, то существует такое , что. Если, тоxR_Ay и, значит, xR_By.

А так как Z – единственное множество в B, содержащее y, то . Итак.

Аналогично доказывается, что Y=Z, значит, .

Теорема 3. Для каждого отношения эквивалентности R с полем существует такое разбиениеA множества C, что R=R_A.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть

Из рефлексивности отношения R следует, что множества семейства A непустые и , то,.

В силу симметричности и транзитивности отношения R, если множества Y и Z имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают. Это и доказывает, что семейство A является разбиением.

Докажем теперь, что R=R_A.

Сначала пусть . Обозначим. Тогда получим, значитuR_Av, откуда следует, что .

Пусть теперь uR_Av. Тогда существуют такие иy, что . ПоэтомуuRy и vRy, откуда (uRv) в силу симметричности и транзитивности отношения R. Это доказывает, что , а так как верно обратное включение, тоR=R_A.

Из теоерм 1-3 следует, что каждое отношение эквивалентности с полем определяет единственное разбиениеA множества С и обратно.

Если R=R_A, то множества, принадлежащие семейству A называются классами эквивалентности (абстракции) отношения R. Класс абстракции, содержащий элемент x, будем обозначать символом x/R, само же семейство A – символом С/R. Оно называется фактором множества С по отношению R.

Пример. Для отношения из примера 1 каждый из классов абстракции состоит из всех прямых, имеющих одинаковое направление, то есть взаимно параллельны.

Назовем множеством представителей для отношения эквивалентности с полем С любое подмножество множества С, имеющее один и только один общий элемент с каждым из классов абстракции. Существование множества представителей для произвольного отношения эквивалентности следует из аксиомы выбора.

Во многих случаях без аксиомы выбора мы не умеет доказать существование множества представителей даже для очень простых отношений.