§ 4. Декартовы произведения. Отношения.

.

Декартовым произведением множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар , гдеи.

Докажем существование такого множества.

(*)

Из (*) следует .

Множество , гдесуществующие в силу аксиомIV, - теорема 2 § 3, содержит в качестве элемента каждую упорядоченную пару, гдеи, причем никаких других элементов оно не содержит.

Следовательно, оно и является декартовым произведением множеств X и Y.

Так как существует не более одного множества, содержащего в качестве элементов все пары , гдеи, и только такие пары, то декартово произведение двух множеств определяется ими однозначно. Обозначим его через.

Если X=0 или Y=0, то очевидно, что =0.

Удобно употреблять для декартовых произведений геометрический язык: элементы множества называются точками, множестваX и Y – осями координат.

Если, тоx – абсцисса, y – ордината точки z.

Эта терминология возникла в связи с тем, что множество точек плоскости представляет собой декартово произведение , где- множество вещественных чисел.

Некоторые свойства декартовых произведений аналогичны свойствам произведений чисел.

Например, выполняются законы дистрибутивности.

1) .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Аналогичным образом можно убедиться в справедливости следующих законов дистрибутивности:

2)

3)

4)

5)

6)

Заметим, что .

Декартово произведение монотонно для отношения «быть подмножеством», то есть

(7).

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть . Так как, то:

, если , и потому

Обратно, если , то

и, следовательно, .

Вторая часть формулы (7) () доказывается аналогично.

С помощью декартовых произведений можно совершать некоторые логические преобразования.

Например: (8)

(9).

(8), (9) позволяют заменить два подряд записанных одноименных квантором одним квантором с переменной .

Подмножества декартовых произведений (то есть множества упорядоченных пар) будем называть (двуместными) отношениями ().

Вместо , гдеR отношение, будем часто писать aRb и читать: a находится в отношении R к b или отношение R имеет место между a и b.

Левой областью D_l (или просто областью) отношения R назовем множество всех первых элементов пар, принадлежащих R;

Итак (10)

Правой областью D_n – множество вторых элементов пар.

D_n иногда называют образом, или противообластью, или обратной областью.

Сумму назовемполное отношение R.

D_l ‑ проекция множества R на ось X

D_n – проекция множества R на ось Y

Образ - (11)

Если Ф(x,y) – высказывательная функция с переменными и, то множествоявляется отношением. Очевидно, что.

Из (10), (11) следует теорема:

Теорема. Проекция множества на осьX совпадает с множеством .

Отношение называетсяобратным к R и обозначается R^o. Очевидно, что

Отношение называетсясуперпозицией (композицией) отношений R и S.

Очевидно, что

Операция суперпозиции () ассоциативна. В самом деле .

Из ассоциативности операции композиции следует, что в выражениях вида можно скобки опускать.

Докажем еще равенство .

Действительно, .

Пример. Пусть (множество вещественных чисел).

1

x=y

) М

x

y

ножествопредставляет часть плоскости выше прямойy=x.

2) множество- парабола, ее проекцией на осьX является множество .