
- •Глава I. Основные понятия…………………………………………. 13
- •Глава I. Основные понятия.
- •§ 1.Множества и операции на множествах.
- •§2. Включение. Пустое множество.
- •Свойства включения.
- •§3. Законы сложения, умножения и вычитания.
- •§4. Свойства симметрической разности.
- •§5. Множество 1. Дополнение.
- •§6. Конституенты.
- •§7. Применение алгебры множеств к отношениям.
- •§8. Булевы алгебры.
- •Int[(a⊙b)](следует из (*))
- •Int[(a⊙b)](b⊙c) (следует из (**))
- •§ 9. Решетки.
- •Глава II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции.
- •§ 1. Высказывательные функции. Кванторы.
- •§ 2. Аксиомы теории множеств.
- •§ 3. Простейшие следствия из аксиом.
- •§ 4. Декартовы произведения. Отношения.
- •§ 5. Отношение эквивалентности.
- •§ 6. Функции.
- •Функция 2-х и более аргументов.
- •§ 7. Образы и прообразы.
- •§ 8. Функции, согласованные с данным отношением эквивалентности. Булевы факторкольца.
- •§ 9. Отношение порядка.
- •§ 10. Реляционные системы, их изоморфизмы и типы.
§ 4. Декартовы произведения. Отношения.
.
Декартовым
произведением
множеств X
и Y
называется множество всех упорядоченных
пар
,
где
и
.
Докажем существование такого множества.
(*)
Из (*) следует
.
Множество
,
где
существующие
в силу аксиомIV,
-
теорема 2 § 3, содержит в качестве элемента
каждую упорядоченную пару
,
где
и
,
причем никаких других элементов оно не
содержит.
Следовательно, оно и является декартовым произведением множеств X и Y.
Так как существует
не более одного множества, содержащего
в качестве элементов все пары
,
где
и
,
и только такие пары, то декартово
произведение двух множеств определяется
ими однозначно. Обозначим его через
.
Если X=0
или Y=0,
то очевидно, что
=0.
Удобно употреблять
для декартовых произведений геометрический
язык:
элементы множества
называются точками, множестваX
и Y
– осями координат.
Если
,
тоx
– абсцисса, y
– ордината точки z.
Эта терминология
возникла в связи с тем, что множество
точек плоскости представляет собой
декартово произведение
,
где
- множество вещественных чисел.
Некоторые свойства декартовых произведений аналогичны свойствам произведений чисел.
Например, выполняются законы дистрибутивности.
1)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Аналогичным образом можно убедиться в справедливости следующих законов дистрибутивности:
2)
3)
4)
5)
6)
Заметим, что
.
Декартово произведение монотонно для отношения «быть подмножеством», то есть
(7).
Д о к а з а т е л ь с т в о:
Пусть
.
Так как
,
то:
,
если
,
и потому
Обратно, если
,
то
и, следовательно,
.
Вторая часть
формулы (7) ()
доказывается аналогично.
С помощью декартовых произведений можно совершать некоторые логические преобразования.
Например:
(8)
(9).
(8), (9) позволяют
заменить два подряд записанных одноименных
квантором одним квантором с переменной
.
Подмножества
декартовых произведений
(то есть множества упорядоченных пар)
будем называть (двуместными) отношениями
().
Вместо
,
гдеR
отношение, будем часто писать aRb
и читать: a
находится в отношении R
к b
или отношение R
имеет место между a
и b.
Левой областью Dl (или просто областью) отношения R назовем множество всех первых элементов пар, принадлежащих R;
Итак
(10)
Правой областью Dn – множество вторых элементов пар.
Dn иногда называют образом, или противообластью, или обратной областью.
Сумму
назовемполное
отношение R.
Dl
‑ проекция множества R
на ось X
Dn – проекция множества R на ось Y
Образ -
(11)
Если Ф(x,y)
– высказывательная функция с переменными
и
,
то множество
является отношением. Очевидно, что
.
Из (10), (11) следует теорема:
Теорема. Проекция
множества
на осьX
совпадает с множеством
.
Отношение
называетсяобратным
к R
и обозначается Ro.
Очевидно, что
Отношение
называетсясуперпозицией
(композицией)
отношений R
и S.
Очевидно, что
Операция
суперпозиции ()
ассоциативна.
В самом деле
.
Из ассоциативности
операции композиции следует, что в
выражениях вида
можно скобки опускать.
Докажем еще
равенство
.
Действительно,
.
Пример.
Пусть
(множество вещественных чисел).
1
x=y x y
представляет часть плоскости выше
прямойy=x.
2) множество
- парабола, ее проекцией на осьX
является множество
.