§ 3. Простейшие следствия из аксиом.

Начиная с этого параграфа мы будем постоянно пользоваться системой аксиом (I – VI, ). Теоремы, доказательства которых основано на аксиоме выбораVI, помечаем кружочком ^о.

Теорема 1. (о существовании пары). Для произвольных a и b существует множество, существенными элементами которого являются a и b. Это множество однозначно определяется элементами a и b.

Д о к а з а т е л ь с т в о: однозначность следует из аксиомы I, а существование – из аксиомы II'.

Это множество, существование и единственность которого мы доказали в теореме 1, называется неупорядоченной парой элементов a и b и обозначается . Еслиa=b, то .

Теорема 2. ( о существовании суммы). Для произвольных множеств A и B существует такое множество C, что .

Действительно,

Теорема 2 показывает, что аксиома A выводится из системы аксиом .

Теорема 3. (о существовании неупорядоченных троек, четверок и так далее). Для произвольных a, b, c,…m существуют множества: единственными элементами которого являютсяa, b, c; единственными элементами которого являютсяa, b, c, d; …; единственными элементами которого являютсяa, b, c, …, m.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Действительно, …и так далее.

Множество (1) называетсяупорядоченной парой с первым элементом a и вторым элементов b.

Теорема 4. Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобыи.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Достаточность очевидна, докажем необходимость.

Необходимость. Допустим, что , тогда в силу (1) имеем:

и откуда

(I) или(II)

(III) или(IV)

Равенство (II) выполняется только тогда, когда a=c=b. В этом случае (II) и (IV) совпадают и делают c=d=a. Таким образом, a=c=d=b и теорема справедлива.

Аналогично убеждаемся в истинности теоремы, когда выполняется (III). Остается проверить случай, когда выполняются (I) и (IV). Тогда c=a и либо c=b, либо d=b. Если c=b, то задача сводится к случаю (II). Если же d=b, то a=c, b=d и теорема доказана.

Следствие. Если , тоa=b.

.

Из аксиомы и определения множестваследует

Теорема 5. (2).

В частности, если (то есть область определения высказывательной функцииФ ограничена множеством A), то

(3).

Из формулы (3) можно легко получить следующие равенства (полагая, что области определения функций иограничены множествомA):

указывают связь между операциями над множествами () и операциями над высказывательными формами ().

Докажем, например, (4). Для этого, применив (3) к высказывательной функции , получим

(7)

Согласно (3), имеем

Поэтому из (7) следует

, что и доказывает равенство (4).

Теорема 6. Для каждого непустого семейства множеств существует единственное множество, составленное из тех и только тех элементов, которые принадлежат всем множествам семействаA.

Это множество называется произведением множеств семейства A и обозначается P(A) или

.

Если семейство A состоит из конечного числа множеств X₁,X₂,…,X_n, то . В случаеоперацияP(A) не определена.

Закончим этот параграф замечанием о так называемых антиномиях (противоречиях) теории множеств. Наивная интуиция понятия множества могла бы склонить нас к принятию аксиомы (более сильной, чем аксиома), гласящей, что для каждой высказывательной функцииФ существует множество B, состоящее из тех и только тех элементов, которые удовлетворяют этой функции.

Создатель теории множеств Г. Кантор, по крайней мере в первый период своего творчества, полагал, что именно такая аксиома истинна.

Однако очень скоро стало ясно, что так сформулированная аксиома приводит к противоречию (антиномии).

Например, высказывательная функция дает антиномию (парадокс 1902 г.) Фалеса (о брадобрее).

Теорема 7. Не существует такого множества Z, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы такое множество Z существовало, то была бы справедлива эквивалентность

Заменяя x на Z и учитывая, что Z – множество, мы получили бы противоречие .

Зависимость между аксиомами.

Выше было показано, что аксиому A можно вывести из системы аксиом . АксиомаB также следует из , так как. АксиомаC выводится непосредственно из аксиомы II (аксиомы пустого множества) или из аксиомы V (аксиомы бесконечности).

Аксиома II' (аксиома пары) также следует из основных аксиом системы . Действительно, пустьA – семейство множеств, которому принадлежит 0 и по крайней мере одно непустое множество X. По аксиоме бесконечности такое семейство существует. Легко проверить, что парой является множество, гдеФ – высказывательная функция вида (- образ множестваA при отображении, определенном с помощью Ф (по аксиоме )).

Аксиома (аксиома выделения) также зависит от остальных аксиом системы. Действительно, пустьA – множество, Ф(x) – высказывательная форма. Если , то аксиоме выделения удовлетворяет пустое множество. В противном случае вA существует элемент a, удовлетворяющий Ф(x). Обозначим черезвысказывательную функцию вида:

.

Для каждого x существует только один элемент y, удовлетворяющий . Этим элементом являетсяx или a в зависимости от того, истинно Ф(x) или ложно. Множество очевидно удовлетворяет аксиоме.