§ 2. Аксиомы теории множеств.

Здесь мы введем аксиомы, на которых будет основано все наше дальнейшее изложение теории множеств. Эти аксиомы позволяют строить новые множества из уже имеющихся множеств, и в этом смысле они не отличаются от аксиом, приведенных в главе I. Существенное различие заключается в том, что здесь мы будем рассматривать множества, у которых элементы сами являются множествами, то есть будем рассматривать семейство множеств (A, B, X, Y, …).

Повторим, прежде всего, аксиому объемности.

I. Аксиома объемности.

Если множества A и B составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают.

С помощью символов эту аксиому можно записать в виде:

II. Аксиома существования пустого множества.

Существует такое множество , что ни один элементx ему не принадлежит:

.

II'.Аксиома пары.

Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются a и b:

.

III. Аксиома суммы. Для каждого семейства множеств существует множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству, принадлежащему: .

Согласно аксиоме I, существует не более одного такого множества S.

Действительно, если

для произвольного x

и, согласно аксиоме I, .

Так как, аксиома III утверждает существование по крайней мере одного такого множества S, то отсюда следует, что для каждого множестваS определено однозначно. Назовем его суммой множеств, принадлежащих семейству , и будем обозначатьS(A) или .

IV. Аксиома степени. Для каждого множества A существует семейство множеств P, элементами которого являются все подмножества множества A и только они: .

Легко доказать, что множество A однозначно определяет семейство P. Оно (P) называется его (A) степенью и обозначается .

V. Аксиома бесконечности. Существует такое семейство множеств A, которому принадлежит O и, если , то вA найдется элемент Y, состоящий из всех элементов множества X и самого множества X:

.

Таким образом, семейству A принадлежит множество O, множество N₁, единственными элементами которого являются O и N₁, и так далее.

VI. Аксиома выбора. Для каждого семейства A пустых непересекающихся множеств существует множество B, имеющее один общий элемент с каждым из множеств :

Чтобы облегчить чтение этого выражения, заметим, что высказывательная функция утверждает существование такого элементаx, что условия иэквивалентны. Поэтому элементx – единственный элемент произведения , и рассматриваемая высказывательная функция утверждает, что это произведение имеет только один элемент.

Для произвольной высказывательной функции Ф(x) примем следующую аксиому: .

- это аксиома зависит от остальных, поэтому мы не даем ей отдельного номера.

. Аксиома выделения для высказывательной функции Ф. Для произвольного множества A существует множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A, которые (будучи подставлены на место переменных x) удовлетворяют Ф.

Символически эту аксиому можно записать в следующем виде (полагая, что переменная B не встречается в Ф):

.

Если в Ф(x) встречаются (свободные) переменные, отличные от x, то они играют роль параметров, от которых зависит B.

Очевидно, что множество B однозначно определяется высказывательной функцией Ф(x), множеством A и выбором переменной x.

Мы будем обозначать его илии читать: «множество техx из A, которые удовлетворяют Ф(x)».

Для каждой высказывательной функции, не содержащей переменных x и B, примем следующую аксиому.

. Аксиома замены для высказывательной функции Ф. Если для каждого x существует единственный элемент y, такой, что выполняется Ф(x), то для каждого множества A существует множество B, состоящее из тех и только тех элементов y, которые при некотором выполняют Ф(x).

Положим интуитивный смысл этой аксиомы. Допустим, что условие аксиомы истинно, то есть для каждого x существует только один элемент y, выполняющий Ф(x). Назовем этот элемент y последователем элемента x. Аксиома утверждает, что тогда для каждого множестваA существует множество B, состоящее из всех последователей элементов множества A и только из них.

Например, пусть , тогда последователем множестваX будем множество 2^x. Аксиома замены утверждает, что для каждого семейства множества A существует семейство множеств B, элементами которого является множество 2^x, где .

Аксиомы I – VI и все аксиомы (а из число бесконечно), гдеФ – произвольная высказывательная функция из класса , образуют (бесконечную) систему аксиом, которую мы будем обозначать. Опуская ваксиому выбора (VI), получаем новую систему аксиом и обозначим ее .

Роль, которую в теории множеств играют отдельные аксиомы, можно полностью оценить только после знакомства с их следствиями. Здесь мы сделаем только несколько общих заключений.

Аксиомы в математических теориях могут играть двоякую роль.

1. В одних случаях аксиомы полностью характеризуют теорию, то есть они в каком-то смысле определяют первичные понятия этой теории.

Например, в теории групп мы определяем группу как множество с операциями, удовлетворяющими аксиомам этой теории.

2. В других случаях аксиомы формализуют только некоторые свойства первичных понятий теории и тогда их цель не в том, чтобы дать полное описание первичных понятий, а скорее в том, чтобы дать систематизацию интуитивного смысла этих понятий.

Именно вот такое назначение и будут иметь аксиомы в дальнейших разделах теории множеств.

Аксиомы III, IV, VI, являются так называемымиусловными аксиомами существования: они позволяют делать заключения о существовании определенных множеств при условии, что существуют другие множества.

Конструкции, осуществляемые на основе аксиом III, IV, VI, , однозначны.

В то же время аксиома VI не определяет однозначно множество, существование которого она утверждает: для данного семейства A непустых непересекающихся множеств существует, вообще говоря, много множеств B удовлетворяющих аксиоме выбора.

Аксиомы II и V заслуживают названия абсолютных аксиом существования: они постулируют существование некоторых множеств и не ограничены никакими условиями.