книги / Физика тонких пленок. Современное состояние исследований и технические применения. Т. 6
.pdfФ иг. 8. Температурная зависи мость удельного сопротивления при низких температурах для массивного образца (/) и для тонкой пленки, согласно моделям Фукса (2) и Азбеля — Гуржи (3).
Г
рассеиваются фононами на малые углы (если пренебречь про цессами переброса) и, следовательно, такие столкновения дают лишь малый вклад в объемное сопротивление. Однако в тонкой пленке подобные процессы рассеяния на малые углы приводят к столкновениям электронов с поверхностью пленки. Если рас сеяние электронов поверхностью оказывается диффузным, то в результате электроны рассеиваются на большие углы. Этот механизм, часто называемый эффектом Олсена, обусловливает расхождение между величиной сопротивления тонкой пленки и результатами теории Фукса.
Механизм рассеяния на малые углы впервые обсуждался Олсеном [75]. Блатт и Сац [76] и Люти и Уайдер 77] применили его модель для расчета сопротивления тонких проволок. Из полуколичественной теории Блатта и Саца следует, что зави сящую от температуры часть сопротивления проволоки диамет ром d можно записать в виде
p ( T ) - Pr = 9ep(T) + Pps(d,T), |
(36) |
где р(Т) — удельное сопротивление проволоки при температуре Т, рг — остаточное сопротивление проволоки, рер(Г )— объемное удельное сопротивление, зависящее от температуры, рp3(d,T) —
удельное сопротивление, обусловленное рассеянием на малые углы, которое приводит к отклонению от правила Маттиссена. Эта последняя величина равна
Р„ = (32я/3)',‘ W )’'1 (Г/6)* (f(,)■'•(Р ./- i - \ |
(37) |
где 0 — дебаевская температура, а — доля полного объемного сопротивления, обусловленная рассеянием на малые углы. Для многих металлов рер ~ Т5 и, следовательно, pps ~ Т’’к Чтобы
получить согласие с экспериментом, Блатт и Сац предполо жили, что величина fjv мала и потому важны процессы пере броса. В работе Люти и Уайдера расчет сопротивления прово лок, обусловленного рассеянием на малые углы, проведен методом Монте-Карло. Однако для получения согласия с экспе риментом Люти и Уайдер должны были пренебречь процес сами переброса, хотя есть много указаний на то, что такие про цессы весьма существенны даже при очень низких темпера турах1).
Расчет рассеяния на малые углы в тонких пленках прово дился Азбелем и Гуржи [79], Бейнсом [80] и Хусстадом и Лоте [81]. Ван Зитвельд и Басс [82] применили расчеты Блатта и Саца к случаю тонкой пленки. Азбель и Гуржи учли рассеяние на малые углы, введя эффективную длину свободного пробега электрона, определяемую равенством
1//эфф = 1Hel + 1 Пер [(Г /© )2 + ( ^ э ф ф П |
(3 8 ) |
где lei — эффективная длина свободного пробега при рассеянии электронов дефектами, 1ер— эффективная длина свободного
пробега при рассеянии электронов фононами, а 0 — дебаевская температура. В предельном случае очень тонких пленок <1Щфф -С 770, и из (38) следует, что зависящая от температуры
компонента сопротивления пленки должна быть пропорциональ на не Тъ, как в случае массивного образца, а Г32). Чтобы найти
сопротивление тонкой пленки, нужно подставить эффективную длину свободного пробега электрона /Эфф, вычисленную по фор муле (38), в формулу Фукса (9) для малых k. Вычисленная
температурная зависимость имеет вид, показанный на фиг. 8 (кривая 3), где приведены также результаты для модели Фукса (кривая 2) и массивного образца (кривая /). Как видно, оста
точное сопротивление становится существенным при гораздо более низкой температуре, чем в случае массивного образца, и температурная зависимость имеет более сложный бид. Деталь
*) Бейлин [78] показал, что даже в натрии процессы переброса существен ны вплоть до 1 К-
2) Вероятность электрон-фононною взаимодействия пропорциональна числу фононов, которое меняется с температурой, как Г3. При низких темпе ратурах угол рассеяния будет пропорционален Т/0, а время релаксации, соот ветствующее процессам рассеяния на такие малые углы, ~ ( Г /0 ) г. В резуль тате объемное удельное сопротивление окажется пропорциональным Тъ. В тон кой пленке в условиях диффузного рассеяния электронов поверхностью раз личие между рассеянием на малые и большие углы исчезает и множитель (Г/0)2 не появляется. Поэтому зависящая от температуры часть сопротивле ния тонких плевок будет пропорциональна Р ,
ный характер температурной зависимости определяется соотно шением между величинами T/Q, d/lei и d/lep. Аналогичным
образом Азбель и Гуржи рассмотрели также температурную зависимость сопротивления тонких проволок.
Бейнс [80] и Хусстад и Лоте [81] включили рассеяние на ма лые углы в интеграл столкновений уравнения Больцмана, не предполагая справедливости правила Маттиссена. Хусстад и Логе ввели параметр р, который определяет примесь изотроп ного рассеяния к рассеянию на малые углы. На фиг. 9 пока
заны |
кривые |
для р = 0 |
(рассеяние |
только на малые углы) и |
||
для |
р = |
100 |
(рассеяние |
на |
малые углы составляет приблизи |
|
тельно |
1%) |
в сравнении с |
кривой, |
соответствующей модели |
Фукса. В предельном случае тонких пленок даже малое откло нение от изотропного рассеяния приводит к значительному уве личению сопротивления. Для толстых пленок кривая Хусстада — Лоте для р = 0 пересекает кривую Фукса, т. е. рассеяние на малые углы приводит к уменьшению сопротивления. Расчеты Бейнса дают кривую сопротивления, которая проходит вблизи кривой для р = 100 в случае тонких пленок и несколько выше всех кривых на фиг. 9 в случае толстых пленок. Увеличение сопротивления из-за рассеяния на малые углы должно наблю даться при умеренно низких температурах. При очень низких
Ф и г. 9. Приведенное удельное сопротивление р/ро тонкой |
пленки в зависи |
||
мости от приведенной толщины |
k = d/l, |
согласно моделям |
Фукса (1) и Хус- |
стада — Лоте (2 — для р = 0, 3 |
— для р |
= 100). |
|
j—
Ф иг. 10. Температурная зависимость удельного сопротивления тонкой плен ки при низких температурах, согласно модели Гуржи.
температурах будет доминировать рассеяние на дефектах, а при сравнительно высоких температурах — рассеяние на боль шие углы. Результирующая кривая зависимости сопротивления от температуры должна, таким образом, во всем температур ном диапазоне проходить выше кривой Фукса и отклоняться от нее приблизительно так же, как кривая Азбеля— Гуржи (кри вая 3 на фиг. 8). Кривые Хусстада — Лоте и Бейнса должны
лежать значительно ниже кривой Азбеля — Гуржи.
в. Модель Гуржи. Другой расчет сопротивления тонких об разцов при низких температурах был проведен Гуржи [83]. Гуржи предположил, что при низких температурах длина сво бодного пробега электронов, определяемая их взаимодействием с фононами (/<>р), много больше длины свободного пробега фо нонов, обусловленной их рассеянием электронами (1ре), так что
электрон-фононное взаимодействие практически сводится к электрон-электронному взаимодействию. Следовательно, при lev d должно произойти много электрон-электронных соуда
рений, прежде чем электрон столкнется с границей образца, и все это время электрон будет ускоряться электрическим по лем1). Электронный газ при таких условиях ведет себя как вязкая заряженная жидкость и сопротивление должно быть пропорционально 1ер, поскольку эффективная длина пути, про
ходимого электроном между столкновениями с поверхностью, должна убывать с ростом 1ер. Такое поведение сопротивления
сильно отличается от обычной ситуации, когда решеточное со
*) Эти рассуждения справедливы, только если пренебречь процессами пе реброса; поэтому Гуржи отмечает, что температура должна быть ниже той, при которой эти процессы становятся существенными. Имеются, однако, ука зания, что процессы переброса важны прн температурах, гораздо меньших тех, о которых идет речь в статье Гуржи (см. сноску *) на стр. 114).
противление рь обратно пропорционально 1ер. Поскольку с рос том температуры 1ер убывает, сопротивление в некоторой обла
сти температур должно убывать при увеличении температуры, что схематически показано на фиг. 10. Когда температура повышается настолько, что lep « d, сопротивление, как обычно,
будет возрастать с температурой. Чтобы можно было наблю дать минимум сопротивления, необходимо, чтобы в некоторой
области температур выполнялись неравенства 1ер |
d и "£>d, |
где lei — длина свободного пробега электронов, |
определяемая |
их рассеянием на дефектах. Эти условия, по-видимому, будут выполняться в довольно толстых пленках толщиной не менее 10 мкм при температуре 10—20 К.
7. ИЗМЕРЕНИЯ НА ОДНОМ ОБРАЗЦЕ
Приведенные выше формулы для удельного сопротивления в общем случае содержат три неизвестных величины: объемное удельное сопротивление ро, длину свободного пробега электрона / и параметр зеркальности р (или критический угол -О, при котором р изменяется от 0 до 1). Толщина пленки или диаметр проволоки d и удельное сопротивление р доступны для непо
средственного измерения. В принципе три неизвестные величины можно найти, измеряя сопротивление нескольких образцов раз личной толщины, но с одинаковой структурой и с одинаковым содержанием примеси. На практике, однако, трудно однозначно определить параметры, особенно значения / и р, из-за погреш ностей в определении толщины и непостоянства объемного удельного сопротивления*). Вместо этого можно определять указанные неизвестные параметры на одном образце, измеряя две или три величины, зависящие от этих параметров. Это освобождает от необходимости приготовления образцов раз личной толщины с одинаковыми объемными свойствами.
Подобные измерения на одном образце были описаны Котти [85]. Он показал, что время затухания вихревых токов, инду цируемых изменением магнитного поля, параллельного поверх ности пленки, определяет удельное сопротивление pt. Эта вели чина имеет иную функциональную зависимость от I и ро, чем
статическое удельное сопротивление р. Расчет |
зависимости |
р т/ро от А и р (или от ft и критического угла ■д) |
был проведен |
Брэндли и Котти [46]. Измерение р и pt на одном и том же образце позволяет определить I и ро.
Другой способ измерений на одном образце был предложен Абелесом и Тейе [86, 87]. В их работе на одной и той же пленке измеряются оптические постоянные п и ft и статическое
‘) Анализ трудностей в определении I и р был проведен Носсеком [84].
сопротивление. Чтобы исключить эффекты, связанные с внутрен ним фотоэлектрическим поглощением, оптические измерения про водятся при довольно низких частотах (А, > 1 мкм). Используя расчеты Дингла для аномального скин-эффекта [88], Абелес и Тейе получили соотношение между оптическими постоянными и длиной свободного пробега электрона /, параметром зеркаль ности р, объемным удельным сопротивлением р0 и скоростью Ферми vF. Другое соотношение, связывающее I, р и р0, полу
чается из формулы Фукса (13). Таким образом, измерение опти ческих постоянных и удельного сопротивления на одной и той же пленке дает два уравнения с неизвестными I, р и р0. Предпо
лагая известными объемное удельное сопротивление р0 и ско рость Ферми Vp, можно, решая эти уравнения, определить вели чины / и р.
Размерные эффекты присущи также и гальваномагнитным явлениям. Постоянная Холла и магиетосопротивление зависят от параметра толщины k = djl и параметра зеркальности р
[18, 20, 43]. Измерение этих величин в сочетании с измерением сопротивления в принципе позволяет определить I и р для
одного образца. Однако гальваномагнитные измерения, как и оптические, могут быть использованы для этой цели лишь при наличии дополнительной информации о параметрах поверхно сти Ферми.
III.ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
1.ПРИГОТОВЛЕНИЕ ОБРАЗЦОВ
а.Тонкие пленки. Для того чтобы результаты измерения со противления имело смысл сравнивать с предсказаниями теории, тонкие пленки должны быть однородными, иметь высокую сте пень чистоты, низкую концентрацию структурных дефектов и плоскопараллельные поверхности. Кроме того, толщина пленки должна быть сравнима с длиной свободного пробега электрона при температуре опыта или, еще лучше, быть гораздо меньше этой длины. Хотя пленки можно получать путем переноса па ровой фазы, а также химическим и электролитическим осажде нием, пленки высшего качества обычно получают вакуумным напылением в сверхвысоковакуумной системе или катодным рас
пылением в атмосфере инертного газа высокой чистоты. На илучшие структурные характеристики получаются при эпитак сиальном выращивании на нагретой монокристаллической под ложке. Выбор материала подложки и температуры, конечно, зависит от наносимого на подложку металла. Эпитаксиальное выращивание, однако, не является обязательным, и во многих работах по изучению размерных эффектов использовались поликристаллические пленки на аморфных подложках. Поскольку
сопротивление пленки очень чувствительно к степени структур ного совершенства пленки, обычно ведут контроль за каче ством пленок и наличием микроструктурных нарушений [89]. Большая часть ранних исследований сопротивления тонких пле нок относилась к изучению процессов старения и отжига в пленках [90].
Хотя для измерения размерных эффектов наиболее подходят эпитаксиальные пленки, условия, необходимые для обеспечения эпитаксии и для получения плоскопараллельных поверхностей, часто являются взаимоисключающими. Вообще говоря, плоскопараллельные поверхности легче всего получить при высокой скорости напыления и низкой температуре подложки, но при этом пленки оказываются сильно разупорядоченными, и, прежде чем использовать их для измерения размерных эффек тов, необходимо производить отжиг. Однако в результате от жига первоначально сплошная пленка может стать пористой. Пленки, получаемые путем эпитаксиального выращивания на нагретых подложках, проходят различные стадии (от образо вания островков до коалесценции и возникновения сетчатой структуры) и становятся сплошными только при толщине, изме ряемой многими сотнями ангстрем [91, 92]1).
Для определения длины свободного пробега электрона обычно требуется производить измерения с набором пленок возрастающей толщины, у которых одинакова степень чистоты и структура (одинакова объемная длина свободного пробега). Это условие трудно выполнить, поскольку с ростом толщины пленки происходят изменения в процессах напыления и струк тура пленки вблизи подложки скорее всего будет отличаться от ее структуры в средней части. Любое изменение структуры или степени чистоты пленки при изменении толщины приводит к за висимости сопротивления от толщины, не связанной с размер ным эффектом.
б. Тонкие фольги, пластинки, проволоки и усы. При комнат ной температуре длина свободного пробега электрона обычно измеряется сотнями ангстрем, поэтому для определения раз мерного эффекта требуются довольно тонкие пленки. В сверх чистых металлах при низких температурах длина свободного пробега может достигать многих миллиметров, и изучать раз мерные эффекты можно на гораздо более толстых образцах. Очень толстые пленки часто называют фольгами, а очень)*
*) Франкомб и Шлахтер [93] обнаружили, что путем распыления при вы соком давлении и малой скорости осаждения можно с хорошей воспроизводи мостью получать сплошные эпитаксиальные золотые пленки толщиной менее 100 А. При помощи эпитаксиального наращивания на металлическую основу можно создавать сплошные однослойные металлические пленки, но такие плен ки не используются для измерения электрических размерных эффектов.
толстые фольги — пластинками. В этой статье, однако, мы бу дем называть пленками образцы, получаемые в результате про цессов осаждения, а фольгами — образцы, утончение которых производится механическими или химическими способами.
Образцы, предназначенные для измерения размерных эффек тов, часто получают холодной прокаткой, которая позволяет уменьшать толщину многих металлов до 1 мкм. Этот метод обладает, однако, тем же недостатком, что и вакуумное напы ление: нет гарантии, что до и после отжига структура пленки не зависит от ее толщины. Для получения тонких образцов применяются также электролитическое и химическое травле ние. Эти методы могут использоваться для утончения монокристаллических образцов, что требуется для изучения анизотропии электропроводности в зависимости от размеров. При этом, однако, оказывается затруднительным получить образцы тоньше 50 мкм и совсем уж трудно обеспечить плоскопараллелыюсть граней у более тонких образцов. Для уменьшения толщины применялась также бомбардировка тяжелыми ионами [94] и тра вление путем высокочастотного распыления [95], но такие спо собы приводят к возникновению в образцах структурных изме нений.
В разд. II, 3 было отмечено, что в тонких проволоках раз мерные эффекты проявляются ярче, чем в тонких пленках сравнимой толщины. Однако и получать тонкие проволоки, к сожалению, труднее, чем пленки. Проволоки толщиной порядка 10 мкм изготовляются путем волочения или продавливания [82]; при этом, как и в случае прокатанных фольг, их структура и степень чистоты могут изменяться с толщиной. Эндрю [96] про водил измерения размерных эффектов на тонких ртутных про волоках диаметром всего 6 мкм, которые получал, пропуская жидкую ртуть через очень тонкие стеклянные капилляры. Монокристаллические проволоки приготовляют методом химической или электролитической полировки из массивных монокристаллических образцов. В результате получаются чистые образцы с оптимальной структурой, но толщину нельзя сделать меньше 200—300 мкм, не нарушая при этом постоянства сечения.
Для изучения размерных эффектов в электропроводности используются также нитевидные монокристаллы (усы) и монокристаллические ленты [97— 100]. Их минимальные размеры мо гут быть менее 1 мкм. Однако степень чистоты нитевидных кри сталлов и лент может изменяться с толщиной, в частности мо жет возрастать при уменьшении толщины [101]. Для приготов ления узких тонкопленочных лент или микрополосок можно использовать технику вакуумного напыления через специальные маски. Таким способом можно получить поперечное сечение всего 0,05 мкм2 [102]. Образцу с еще меньшей площадью се
чения можно приготовить при помощи электронного луча ска нирующего электронного микроскопа. Можно также наносить на металлическую пленку маску в виде полимеризованной пленки, которая затем служит защитным покрытием при после дующем химическом травлении или ионной бомбардировке не защищенной металлической пленки. Таким способом удается получать металлические полоски с площадью поперечного се чения менее 0,005 мкм2 [102а, 1026]. Эта методика позволяет изучать размерные эффекты на образцах прямоугольного сече ния, которые отличаются друг от друга не толщиной, а шири ной и у которых поэтому при изменении размеров структура и степень чистоты не меняются.
2. ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ТОНКИМИ ПЛЕНКАМИ
Самые первые эксперименты по изучению сопротивления тонких металлических пленок были проведены в конце прошло го—начале нынешнего века Мозером [103], Стоуном [39], Лонгденом [104] и Петтерсоном [105]. В этих исследованиях, а также в работах, проводившихся за последующие тридцать лет, основ ное внимание уделялось эффектам старения и эффектам, спе цифическим для того или иного типа процессов нанесения пле нок. В большинстве ранних работ изучались пленки, полученные химическим осаждением, а в последующих — металлические пленки, создаваемые катодным распылением или вакуумным на несением. Очень тонкие пленки обладали весьма высоким удель ным сопротивлением с отрицательным температурным коэф фициентом, более толстые пленки — гораздо более низким удельным сопротивлением с положительным температурным коэффициентом. Однако даже эти более низкие удельные сопро тивления относительно толстых пленок значительно превышали объемные удельные сопротивления. Тонкие пленки, используе мые в этих исследованиях, обычно имели разрывы, а более тол стые содержали большое количество дефектов. Обзор ранней литературы был сделан Бартлетом [106] и Майером [4].
а. Пленки щелочных металлов. Хорошим критерием совер шенства пленок является приближение их удельного сопротив ления к объемному значению по мере увеличения толщины. Ловелл и Эплярд [41, 107— 109] впервые получили металличе ские пленки, удовлетворяющие этому критерию. Используя метод вакуумного напыления, Ловелл [108] получал на охла жденных подложках из пирекса цезиевые пленки толщиной 1 мкм, удельное сопротивление которых лишь на 4% превышало объемное удельное сопротивление Cs; несколько более тонкие пленки К и Ru имели удельные сопротивления, в 2,5 раза боль шие объемных значений. Удельные сопротивления пленок щелоч-
Ф иг. 11. Сравнение экспе риментальной и теоретической зависимостей удельного сопро тивления от толщины при трех значениях параметра зеркаль ности р [10].
ных металлов при толщине более 40 А хорошо согласуются с теоретической формулой Ловелла [соотношение (6)]. Опираясь на экспериментальные результаты Ловелла, Фукс развил более точную теорию и сделал попытку согласовать ее с данными Ловелла для цезия, предполагая объемную длину свободного пробега равной 1450 А [42]. Эти данные не согласуются с какойлибо кривой для постоянного параметра зеркальности, но, повидимому, указывают на наличие зеркального отражения при толщине более 15 А. Более поздние эксперименты о пленками щелочных металлов свидетельствуют о диффузном рассеянии электронов поверхностью [110, 111], так что отклонение резуль татов Ловелла от кривой Фукса при р — 0, вероятно, связано
с зависимостью структуры пленки от толщины.
Вслед за ранней работой Ловелла появились работы Майера
идр. [112, 113], Носсека [114], Сирклера [115] и Уордена и Д а ниэльсона [ПО], посвященные изучению сопротивления пленок щелочных металлов. Во всех этих работах пленки щелочных металлов осаждались на холодных подложках и сопротивление измерялось при температурах от 60 до 100 К. Кривые зависи мости сопротивления от толщины хорошо воспроизводимы [115]
иудельное сопротивление более толстых пленок приближается
кобъемным значениям. Поскольку теория Фукса основана на приближении свободных электронов в металлах, ее применение для интерпретации результатов измерений сопротивления пле нок щелочных металлов является вполне естественным.