книги / Синтез транзисторных усилителей и фильтров

Задача состоит в определении коэффициентов полинома т-й сте­ пени, который на интервале [— 1; 1] аппроксимирует постоянную по Чебышеву (при нормировании частот границами полосы служат

максимумах и минимумах производная h равна нулю, и все нули производных простые. Кроме того, полином имеет двукратные нули на внутренних экстремальных точках, так как производная 1 — h2 составляет — 2hhf и также равна нулю в этих точках. В граничных

где К — постоянная. В результате интегрирования имеем

arccos h — + — arccos ш. “ К

Известно, что при изменении ш от — 1 до -J- 1 значение h ко­ леблется на интервале [— 1; 1 ] т раз. Отсюда К = 1[ту так что

То что выражение для h представляет собой полином относи­ тельно со, можно показать, выразив cos ту в виде полинома отно­ сительно cos у. Такие полиномы обозначаются Тт (со) и называются полиномами Чебышева:

где т — порядок полинома.

Полиномы Чебышева приведены в табл. 2-1. Кроме того, сущест­

Полином Чебышева рассмотрен в пределах | со | < 1, однако полиномы в таблице определены для всех значений со. Обобщение

41

Таблица 2-]

22а>2 — 1

34to3 — Зсо

понятия полинома позволяет включить также и комплексные зна­ чения. Так, при со = х -f* jy с учетом разложения гиперболических косинусов можно записать

ш—-/о = chjtcos# — jshxslny,

(2-24)

Тт = ch тх cos ту — j sh mx sin my.

Было показано, что если отклонения квадрата модуля реализуе­

С учетом формулы cos 2пу — 2 cos2пу — 1 полином Чебышева порядка 2п в последнем выражении можно заменить квадратом полинома порядка п:

42

Так как Т\ (ю) получает значения от нуля до единицы, то зна­ чение G определяется пределами

Разность между этими двумя значениями представляет собой расстояние между максимумами и минимумами и равна

Значение, около которого колеблется аппроксимирующая кри­

Таким образом, кривая, аппроксимирующая G (/со), колеблется около значения, несколько большего единицы. При использовании данной аппроксимации вместо функции (2-25) принимают функцию

где пренебрегают значением Даа/2 по сравнению с единицей в зна-

1 + - ^

о

менателе. Полученная функция колеблется около значения

свойств полиномов Чебышева (2-23) кривые нечетного порядка начинаются с максимального значения, кривые четного порядка — с минимального. На границе полосы (со = 1) все кривые проходят через минимум (рис. 2-7).

Найдем расположение полюсов функции G (р), которая является

43

Первое из этих уравнений удовлетворяется только при условии cos пу = 0, т. е. если пу содержит я/2 нечетное число раз. При этом значении у можно решить второе уравнение относительно х. Ре­ шение дает

р и со, находим соответствующее расположение р—z в плоскости р:

Эти выражения вычисляются при помощи таблиц гиперболиче­ ских функций при данных величинах п и Аа. Разделив каждое из этих выражений на гиперболическую функцию, возведя в квадрат

исложив, получим уравнение эллипса, осями которого в плоскости

рявляются а и ш:

Так как гиперболический косинус всегда больше гиперболиче­ ского синуса, то главная ось эллипса расположена на оси усо. По­ люсы G (р) расположены в плоскости р (рис. 2-8, где п — 4) по эллипсу..

Если сравнить выражения (2-30) с соответствующими выраже­ ниями вещественной и мнимой частей полюсов максимально-пло;

44

ской кривой (2-16), то наблюдается следующее. Вещественная часть ак имеет то же самое значение, как и при максимально-пло­ ской аппроксимации, за исключением того, что радиус окружности равен не единице, а малой полуоси эллипса. Аналогично ©Аимеет то же значение, что и при расположении полюсов по окружности с радиусом, равном большой полуоси эллипса.

Когда найдены полюсы G (р), просто определить полюсы иско­ мой функции F (р) как полюсы G (р) в левой полуплоскости. Таблицы полиномов знаменателя F (р) для различных п составлены при частных значениях параметра Да (см., например, [8]).

Заметим, что коэффициент слагаемого высшего порядка в зна­

менателе уравнения (2-27) равен не 1, а 22("-1)Да2 (см. табл. 2-1). Однако, если перемножить множители, соответствующие полюсам F (р), то коэффициент при р высшего порядка составит 1. Следо­ вательно, чтобы получить требуемую F (р), нужно умножить про­

изведение указанных множителей на 2,1-1Да.

Сравним ход кривых при равиоволновой и максимально-плоской аппроксимациях. Для больших значений ш определяющим будет слагаемое высшего порядка Тп (ю). Из табл. 2-1 следует, что сла­

гаемое высшего порядка равно 2п“ 1шл , Если Да2Г2 (ю) значи­ тельно больше единицы, что имеет место при больших о), то выра­ жение (2-27) принимает вид:

или окончательно

— а = 20пи + 6 (п — 1) + 20 lg Да.

Значения Да, удовлетворяющие условиям полосы пропуска­ ния, находятся обычно в пределах от 0,5 до 3 дб.

Оптимальное свойство чебышевской аппроксимации заключается в том, что из всех полиномов степени п полином Чебышева при рав­ ном отклонении в заданном интервале имеет наибольшую скорость увеличения отклонения вне этого интервала.

Проиллюстрируем аппроксимацию по Чебышеву на числовом примере, для которого аппроксимация по Баттерворту уже получена. Итак, требуется аппроксимировать передаточную функцию низкочастотного фильтра с поло­ сой пропускания до / 0 — 500 гц (3140 рад/сек), включаемого между источни­ ком тока и активным сопротивлением нагрузки R tt — 36 ком. В этой полосе величина передаточного сопротивления не должна отклоняться от номиналь­ ного значения более чем на е = 7%. При со > 2со0 модуль [ Zal |должен со­ ставлять менее 10% номинального значения в полосе пропускания.

Нормируем частоту относительно ш0 (используя выражение для о) = 1). Требование к полосе пропускания означает, что модуль Z Vi (/©) должен быть

46

в ней не менее 93%. Следовательно, допустимое расстояние между экстре мумами по высоте для квадрата модуля функции составляет

отсюда Т 2п (2) > 25,96.

Обращаясь к таблице с полиномами Чебышева (табл. 2-1), находим

Промежуточное положение между аппроксимациями по Баттерворту и Чебышеву занимает аппроксимация, предложенная Папулисом [9] и названная им характеристикой класса L. Ампли­ тудная характеристика класса L не имеет колебаний, а переход ее от полосы пропускания к полосе заграждения в большей сте­ пени напоминает ступенчатую функцию, чем переход максимально­ плоской кривой (при равном п). На частоте среза со0 = 1 затуха­

46

ние составляет 3 дб. Амплитудная и фазовая характеристики этой функции для п = 3 приведены на рис. 2-9.

Если необходимо увеличить скорость нарастания затухания в переходн©й области между заданной полосой пропускания и за­ данной полосой заграждения и допустимо отказаться от монотон­ ного характера изменения затухания в полосе заграждения, то представляется целесообразным аппроксимировать модуль функ­

кривой [7, 8]. В этом случае квадрат модуля сопротивления пере­ дачи имеет вид:

где h — постоянный множитель; Rz (со) — дробь Золотарева.

Дробь Золотарева обладает следующим свойством: из всех дро­ бей заданного порядка, которые в интервале от —1 до +1 по абсо­

Функция Rz (со) выражается двумя способами. Если Rz — чет­

47

если нечетная, то

Rz (ш)

(1 —O)2to2) (1 —<*У) ... (l —w2/jtt)2)

Можно заметить, что полюсы и нули каждого из этих выраже­ ний взаимно обратны. Число 2п определяет степень этой функции, т. е. число ее полюсов и нулей. При р — 0 и четном п функция имеет минимум, а при нечетном п — максимум, равный 1. В полосе про­ пускания, ограниченной частотой 9 р, должно уложиться п перио­ дов дроби Золотарева четного порядка и (п + 1/2) периодов не­ четной функции. Неравномерность функции передачи в полосе

пропускания определяется ма­ ксимальным отклонением значе­ ния дроби Rz (со) от нуля.

Благодаря взаимообратимому соотношению между полюсами и нулями дробь Золотарева имеет следующее свойство:

•V-

Рис. 2-10. т. е. значение функции при ча­ стоте со, лежащей в полосе про­ пускания 0 со < 1, обратно ее значению при частоте 1/со, ле­

жащей в полосе заграждения 1 < со < с» .

Частота, принятая за единицу, равна среднему геометрическому граничных частот полосы пропускания и заграждения, если счи­ тать граничными те частоты 2 р и Qs, где величина функции пере­ дачи равна соответственно минимальному значению в полосе про­ пускания и максимальному в полосе заграждения, как это пока­ зано на рис. 2-10 при п = 3. Увеличение порядка функции ведет к сужению переходной области. Но при конечном значении п ши­ рина ее не может быть равна нулю.

Так же, как полиномы Чебышева подстановкой со = cos ср мо­ гут быть выражены в компактной форме с помощью периодических функций, дробь Золотарева с помощью подстановки

со = Йр sin ® = Qp sn и

может быть представлена через эллиптические функции.

В связи с тем, что нахождение корней с помощью эллиптиче­ ских функций сравнительно сложно, удобно пользоваться специ­ альными таблицами Гловатцкого [101 для степени п от 2 до 12.

2-4. Аппроксимация функции по заданному групповому времени

В § 2-2 и 2-3 было показано, что по данной рациональной функ­ ции, удовлетворяющей необходимым условиям, при которых она может быть квадратом модуля некоторой функции цепи, можно

определить рациональную функцию F (/?), так что квадрат модуля F (р) по оси j будет равен данной функции. Функция F (р) будет единственной, если она должна быть функцией минимальной фазы.

Исследуем возможность аналогичного определения рациональ­ ной функции по данной функции частоты, рассматриваемой как фазовая функция. Аргумент передаточной функции дается выра­ жением (1-21), которое удобно представить в виде так называемой А-функции:

Идеальная фазовая характеристика является линейной функ­ цией частоты (о. Часто оказывается удобным вместо фазовой ха­ рактеристики использовать время задержки D (групповое время замедления), определяемое производной угла с обратным знаком:

(2-35) сводится к (2-34) при р — /о.

Идеальная задержка получается дифференцированием идеаль­

где Р (р) — полином Гурвица. Для получения функции времени задержки, соответствующей искомой передаточной функции, сна­ чала запишем функцию <рх (р) через F (р), используя логарифм А-функции согласно выражению (2-33), т. е.

Так как cpx — нечетная функция р , то время задержки будет четной функцией. Следовательно, его можно трактовать аналогично функции квадрата модуля.

Идеальная функция фх (р), соответствующая идеальной пере­ даточной функции (2-1), составляет фх = —р. Следовательно, идеальная функция времени задержки Dt = 1. Поэтому задача заключается в выборе коэффициентов F (р) так, чтобы правая часть уравнения (2-38) аппроксимировала единицу.

Рассмотрим аппроксимацию функции времени задержки по Тейлору. Согласно § 2-2, для максимально-плоской аппроксимации требуется, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях числи­ теля и знаменателя правой части уравнения (2-38) были равны. В результате получается система нелинейных уравнений, содер­ жащая коэффициенты а. При высоком порядке функции F (р) сов­ местное решение такой системы является сложным.

Рассмотрим относительно простой пример аппроксимации этого

Р (— Р) = 1— aLp -f а2р2 — а3р3\ Р' (р) = аг + 2а2р -f 3а3р2;

Р' (— р) = — ахН- 2а2р — За3р2;

На рис. 2-11 показано относительное расположение полюсов полученной функции и максимально-плоской аппроксимации мо­ дуля третьего порядка. Масштаб времени задержки здесь сокращен в отношении 2,32 для того, чтобы совпали вещественные полюсы функций.

50