книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов
..pdfТ а б л и ц а 3.27. Способ построения насыщенных планов
Рехтшафнера
Номер |
|
|
Точки |
множества |
Число опытов множества |
||
множества |
|
|
|||||
I |
(— 1, |
..., — 1) |
для всех |
к |
1 |
||
II |
(— 1,1, |
1) |
для |
всех |
k |
к |
|
III |
(— 1, |
— 1,1) для |
k = 3 |
k > 3 |
(к — 1)6 |
||
|
(1,1, |
— 1, |
|
— 1) для |
2 |
||
IV |
(1,0, |
0) |
для всех к |
|
к |
|
|
Т а б л и ц а |
3.28. План Рехтшафнера для k = 5 |
|
|
|
|||
Номер |
|
*2 |
*3 |
*4 |
*5 |
Примечания |
|
||
опыта |
|
|
|||||||
1 |
— |
— |
— |
— |
— |
Множество I из табл. 3.27 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
_ |
+ |
+ |
+ |
+ |
Множество |
II |
из табл. |
|
3 |
+ |
— |
+ |
+ |
+ |
||||
4 |
+ |
+ |
— |
+ |
+ |
3.27 |
|
|
|
5 |
+ |
+ |
+ |
— |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
+ |
+ |
+ |
+ |
— |
|
|
|
|
7 |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
+ |
— |
+ |
— |
— |
|
|
|
|
9 |
Л- |
— |
— |
+ |
— |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
10 |
1 |
— |
— |
|
+ |
|
|
|
|
~г |
+ |
— |
Множество |
III |
из |
табл. |
|||
11 |
— |
+ |
— |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
— |
+ |
|
+ |
— |
3.27 |
|
|
|
13 |
— |
+ |
— |
— |
+ |
|
|
|
|
14 |
— |
— |
+ |
+ |
— |
|
|
|
|
15 |
— |
— |
+ |
— |
+ |
|
|
|
|
16 |
— |
— |
— |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
Множество |
IV |
из |
табл. |
18 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
||||
19 |
0 |
0 |
+ |
0 |
0 |
3.27 |
|
|
|
20 |
0 |
0 |
0 |
+ |
0 |
|
|
|
|
21 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
|
|
|
251
|
Т а б л и ц а |
3.29. Значения |
| М 1 1 для |
планов |
Хартли, |
|
|
|
Рехтшафнера и непрерывных D -оптимальных на кубе |
|
|||||
Число факторов |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Непрерывные D -опти- |
1,45 |
1,45 |
1,43 |
1,40 |
1,38 |
1,35 |
|
мальные планы |
1,81 |
1,87 |
|
1,53 |
|
|
|
Планы |
Хартли |
1,85 |
1,98 |
1,90 |
|||
Планы |
Рехтшафнера |
— |
1,58 |
1,60 |
1,49 |
1,53 |
1,61 |
в табл, 3.29 они сравниваются между собой по приведенной ве
личине определителя | М-11, минимум которого имеет место для идеальных D -оптимальных планов [28].
Хорошо видно, что во всех случаях |
D -оптимальность планов |
|
Рехтшафнера по сравнению с планами |
Хартли выше. |
|
Структура |
планов Рехтшафнера была использована Боксом |
|
и Дрейпером |
[128] для построения насыщенных D -оптимальных |
планов на кубе. Эти планы выбирают из множеств точек, указан ных в табл. 3.30.
Т а б л и ц а 3.30. Способ |
построения |
насыщенных |
||||
|
D -оптимальных планов Бокса и Дрейпера |
|||||
Номер множества |
Точки множества |
|
Число опытов множества |
|||
I |
( - 1 ........- 1 ) |
1 |
||||
II |
( + 1 , |
— 1, |
..., |
— 1) |
k |
|
III |
(К К |
- 1 |
........- 1 ) |
(k — \)k |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
IV |
(р, |
+ 1 , |
..., +1)* |
k |
Значения %и р для планов разных размерностей Бокс и Дрей
пер получили из критерия D -оптимальности, максимизируя опре делитель информационной матрицы | ХТХ |. Полученные величины
указаны |
в |
табл. |
3.31. |
|
|
|
Т а б л и ц а 3.31. Величины |
X и р, в планах |
Бокса и Дрейпера |
||||
Ч и с л о |
k |
% |
ц |
Ч и с л о |
X |
|
ф акто р о в |
ф акто р о в k |
|
||||
2 |
|
—0,1315 |
0,3944 |
9 |
0,7544 |
—0,9602 |
3 |
|
0,1925 |
— 0,2912 |
10 |
0,7808 |
—0,9693 |
4 |
|
0,4114 |
—0,6502 |
11 |
0,8022 |
—0,9757 |
5 |
|
0,5355 |
— 0,8108 |
12 |
0,8198 |
—0,9802 |
6 |
|
0,6183 |
— 0,8854 |
13 |
0,8346 |
—0,9836 |
7 |
|
0,6772 |
—0,9242 |
14 |
0,8471 |
— 0,9862 |
8 |
|
0,7208 |
—0,9464 |
15 |
0,8579 |
—0,9882 |
252
|
Т а б л и ц а |
|
3.32. План |
Бокса и Дрейпера для |
k = 5 |
|
|
|||||||
Номер |
|
xt |
х 2 |
|
х» |
Х4 |
|
|
П римечание |
|
||||
опыта |
|
|
Х Ь |
|
|
|||||||||
1 |
— 1 |
— 1 |
|
— 1 |
— 1 |
— 1 |
|
Множество |
I |
из |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
табл. |
3.30 |
|
|
2 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
|
|
|
|
|
||||
3 |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
|
Множество |
11 |
из |
||||
4 |
— 1 |
— 1 |
|
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
|
табл. |
3.30 |
|
|
||
5 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
|
|
|
|
|
||||
6 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
||||
7 |
0,5355 |
0,5355 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
|
|
|
|
|
||||
8 |
0,5355 |
— 1 |
|
0,5355 |
— 1 |
— 1 |
|
|
|
|
|
|||
9 |
0,5355 |
— 1 |
|
— 1 |
0,5355 |
— 1 |
|
|
|
|
|
|||
10 |
0,5355 |
— 1 |
|
— 1 |
— 1 |
0,5355 |
|
|
|
|
|
|||
11 |
— 1 |
0,5355 |
0,5355 |
— 1 |
— 1 |
|
Множество |
III |
из |
|||||
12 |
— 1 |
0,5355 |
— 1 |
0,5355 |
— 1 |
|
табл. |
3.30 |
|
|
||||
13 |
— 1 |
0,5355 |
— 1 |
— 1 |
0,5355 |
|
|
|
|
|
||||
14 |
— 1 |
— 1 |
|
0,5355 |
0,5355 |
— 1 |
|
|
|
|
|
|||
15 |
— 1 |
— 1 |
|
0,5355 |
— 1 |
0,5355 |
|
|
|
|
|
|||
16 |
— 1 |
— 1 |
|
— 1 |
0,5355 |
0,5355 |
|
|
|
|
|
|||
17 |
—0,8108 |
+ i |
|
+ i |
+ i |
+ i |
|
|
|
|
|
|||
18 |
+ |
1 |
—0,8108 |
+ i |
+ i |
+ i |
|
Множество |
IV |
из |
||||
19 |
+ |
1 |
+ |
1 |
—0,8108 |
+ 1 |
+ i |
|
табл. |
3.30 |
|
|
||
20 |
+ 1 |
+ 1 |
|
+ 1 |
—0,8108 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|||
21 |
+ |
1 |
+ 1 |
|
+ |
1 |
+ 1 |
—0,8108 |
|
|
|
|
|
|
Пример |
плана |
Бокса |
и |
Дрейпера |
для |
k |
— 5 |
приведен |
||||||
в табл. 3.32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отметим, |
что |
насыщенные |
£>-оптимальные планы на кубе |
|||||||||||
для двух, трех и четырех |
факторов построены |
и |
в работе |
[39] |
||||||||||
(там же и в каталоге |
[28] |
приведены для этих планов вспомога |
тельные матрицы для расчета коэффициентов). Планы для двух и трех факторов практически совпадают с планами Бокса и Дрей
пера. |
Однако план |
для |
6 = 4, полученный в [39], по мнению |
Бокса |
и Дрейпера, |
[128] |
хуже. |
Расчет коэффициентов моделей после реализации насыщенных D -оптимальных планов в общем случае ведут по формуле (2.16).
В заключение приведем пример применения плана Хартли. Изучали влияние режимов термомагнитной обработки на магнит ные свойства магнитомягкого никельмолибденового сплава 68НМП. Особенностью сплава является наличие у него прямо угольной петли гистерезиса. Прямоугольность петли связана с кристаллографической текстурой и обеспечивается специальной технологией прокатки и термической обработки ленты. После прокатки, проведенной во всех случаях по одинаковому режиму, ленту толщиной 0,10 мм подвергали термической обработке, вклю-
263
чающей два отжига. Первый отжиг проводили в атмосфере водо рода, второй — в магнитном поле. Факторами являлись темпе ратура первого отжига (Хх), напряженность магнитного поля во время второго отжига (Х2), температура (Х3) и время (Х4) второго отжига.
От сплава требовался комплекс магнитных свойств. Поэтому после каждого режима обработки измеряли разнообразные ма гнитные свойства, а затем по методике, описанной в п. 1.1.2, составляли комплексный показатель качества — обобщенную функ цию желательности, включающую коэффициент прямоугольности петли гистерезиса, магнитную проницаемость и индукцию насы щения. Эта функция желательности D и служила в данном слу чае зависимой переменной у . Напомним, комплекс свойств тем
выше, чем больше D. Выбранные факторы и уровни их варьирова ния указаны в табл. 3.33.
|
|
Т а б л и ц а |
3.33. Уровни варьирования факторов |
|
||||
|
|
|
|
Температура |
Напряжен |
Температура |
Время вто |
|
|
Факторы |
|
первого |
ность |
маг |
второго |
||
|
|
с-тжнга °С |
нитного |
отжига, |
рого отжига, |
|||
|
|
|
|
(X,) |
поля |
А/м |
°С <*,) |
« ( * 4 > |
|
|
|
|
|
О ) ( Х 2) |
|
|
|
Основной |
уровень |
(Х>0) |
1200 |
1591,5 |
(20) |
625 |
1 |
|
Интервалы варьирова |
50 |
397,9 |
(5) |
25 |
0,5 |
|||
ния (АХ/) |
|
|
|
|
|
|
||
Верхний |
уровень |
(дг/ = |
1250 |
1989,4 (25) |
650 |
1.5 |
||
= |
+ 1 ) |
уровень |
(дг/ == |
1150 |
1193,6 |
(15) |
600 |
0,5 |
Нижний |
||||||||
= |
- 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
Было решено провести эксперимент вблизи известного режима термической обработки сплава 68НМП. Именно этот режим, по данным [69], и выбрали в качестве основного уровня (табл. 3.33). В связи с этим следовало ожидать нелинейного характера функции отклика в изучаемой области факторного пространства. Поэтому решили строить сразу квадратичную модель (3.3) и воспользо ваться для этого почти насыщенным планом Хартли. Выбрали план Хартли на кубе (план 5, табл. 3.25) со звездным плечом а — ± 1 . В этом случае требовалось варьировать факторы на трех
уровнях (0; ^-1). План Хартли на сфере (например, план 3, табл. 3.25) имеет а = ZL2, а следовательно, требует пяти уровней
варьирования факторов (0; =£1; ^ 2).-В данной задаче иметь много уровней факторов с технологической точки зрения было не удобно. Этим, собственно, и объяснялся выбор плана на кубе.
Ядром выбранного плана Хартли является полуреплика 24-1 с определяющим контрастом 1 = хгх2х9. Поэтому оценки коэф фициентов Ьъ Ь2, b3f b12, Ь13, Ь23 модели (3.3) будут закоррелированы между собой. Оценки коэффициентов Ь4, Ь14, Ь%4 и Ьи будут
264
оцениваться независимо не только друг от друга, но и от осталь ных коэффициентов. Коэффициенты bQ и Ьи также коррелируют
между собой. Матрица выбранного плана приведена в табл. 3.34. Заданные планом опыты были выполнены. Кроме варьируемых факторов, все остальные поддерживали на постоянных уровнях. В частности, скорость охлаждения образцов после первого от жига всегда выдерживали 100—200°С/ч до температуры 600° С, а затем 400° С/ч; после второго отжига — до температуры 200° С
охлаждали |
|
не |
быстрее |
80° С/ч. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Опыты не дублировали. В качестве оценки дисперсии опыта |
||||||||||||||||
использовали известную ранее дисперсию |
~ |
1 -10-4 при |
числе |
||||||||||||||
степеней |
|
свободы |
|
= |
8. |
Результаты |
опытов |
приведены |
|||||||||
в табл. 3.34. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
3.34. План |
Хартли |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
*4 |
п |
ч |
* |
* |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
* |
н |
ч |
ч |
IN PH |
|
|
|
|
|||
* ч Ч ч |
|
ч |
ч |
н |
ч |
ч |
н |
ч |
ч |
ч |
ч |
т |
|
|
|||
1 |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
0,17 |
2 |
+ |
— |
+ |
|
— |
+ |
|
+ |
■— |
— |
+ |
|
|
+ |
+ |
+ |
0,27 |
3 |
+ |
+ |
— |
|
— |
+ |
— |
|
+ |
|
— |
— |
|
+ |
+ |
+ |
0,22 |
4 |
+ |
— |
— |
|
+ |
+ |
+ |
.— |
— |
— |
— |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
0,31 |
5 |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
|
+ |
+ |
— |
+ |
— |
|
|
+ |
+ |
+ |
0,21 |
6 |
+ |
— |
+ |
|
— |
— |
|
+ |
+ |
— |
— |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
0,34 |
7 |
|
+ |
— |
|
— |
— |
— |
— |
— |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
0,40 |
8 |
+ |
|
Т|------ |
+ |
|
+ |
— |
+ |
|
+ |
— |
|
+ |
+ |
+ |
0,43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
+ |
+ |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0,25 |
10 |
+ |
— |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- ь |
0 |
0 |
0 |
0,33 |
11 |
|
0 |
+ |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
0 |
0 |
0,23 |
12 |
|
0 |
— |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
0 |
0 |
0,34 |
13 |
+ |
0 |
0 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
0 |
0,31 |
14 |
+ |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
0 |
0,33 |
15 |
+ |
0 |
0 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
0,23 |
|
16 |
+ |
0 |
0 |
|
0 |
— |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
0,34 |
17 |
+ |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
: 0 |
0,29 |
По результатам опытов коэффициенты регрессии считали следующим образом. Оценки коэффициентов Ь0 и Ьи получили по
формулам (3.65):
Ь0 = 0,294; |
Ьп = |
—0,005; |
Ь22 = —0,010; |
Ь33 = |
0,025; |
Ьи = |
—0,010; |
оценки коэффициентов для фактора х4, не входящего в трех буквенный определяющий контраст, по формулам (3.66):
Ь4 = —0,041; Ьи = —0,004; Ь2А = 0,024; Ьи = 0,011;
265
оценки коэффициентов для факторов х ъ х 2, х 3, образующих трех буквенный определяющий контраст, по формулам (3.67):
= —0,040; Ь2 = |
—0,055; |
Ь3 = |
0; Ь12 = —0,014; |
Ь13 = |
0,009; |
Ь23 = |
—0,004. |
Дисперсии, среднеквадратичные ошибки и ковариации опре деляли также для разных групп коэффициентов по формулам (3.68):
S.* ьп
я |
- |
1,91 • 10+ |
я = ■4,37-10-3; |
Я ,= = 3,99-10+ |
|||||
|
|
= 6,32-10~:1.» ^>ЬЛ02 |
= |
1-10’5; |
Я = |
3,16-10+ |
|||
со |
4-1 ■ |
4 |
|
|
|
|
|
||
II |
1,25-10"5; |
я , - == 3,54 |
-10”3; |
для t = |
l, 2, 3: |
||||
|
S U |
= 5-10-5; |
|
7,07-10"3; |
S;» ==6,25-10+ |
||||
|
ьс |
|
|
|
|
|
6Л |
|
|
=7,91 • 10-3; covb ib ji |
- 5 - 1 |
0 '5; |
covV,.1 = |
-5,62-10 |
|||||
|
|
|
c o v b . . b . . = |
— |
1 * 1 0 3 . |
|
|
||
|
|
|
ии°11 |
|
|
|
|
|
Рассчитанные затем по формуле (2.90) доверительные интер
валы |
оценок |
коэффициентов при 5%-ном |
уровне значимости |
|||||
(а = |
0,05; f i = 8; fo,os:8 = 2,3) |
оказались |
|
|
||||
|
Д* |
=0,0101; |
Дй |
= |
0,0146; |
Д* |
= |
0,0073; |
|
U |
|
Ы |
|
|
4 |
|
|
|
|
= 0,0082; |
А„*( = |
0,0163; |
Дь;, = |
0,0183. |
||
Сравнение доверительных |
интервалов |
с |
абсолютными значе |
ниями коэффициентов регрессии показало, что многие из коэф фициентов статистически незначимы. Однако исключить из мо дели в данном случае можно только коэффициенты, связанные с фактором *4 (кроме Ь44). Только он не входит в определяющий контраст. Исключение остальных коэффициентов требует пере счета оставшихся. Поэтому из модели исключили только стати
стически |
незначимый коэффициент |
Ьи |
и, |
разумеется, |
Ь3 = 0. |
|||||||||
В результате было получено |
следующее |
уравнение |
регрессии: |
|||||||||||
|
у = |
0,294 — 0,040*! — 0,055*2 — 0,041*4 — 0,014*J*2 + |
||||||||||||
+ |
0,009*!*з - |
0,004*2*з + 0,024*2*4 +- 0,011*3*4 - 0,005*? - |
||||||||||||
|
|
|
|
-0 ,0 1 0 * ? + 0,025*?-0,010*?, |
|
|
|
(3.69) |
||||||
где *,• — в |
кодированном |
масштабе, |
связанные |
со |
значениями |
|||||||||
факторов |
в |
натуральном |
масштабе |
(X,) |
соотношениями |
(1.24): |
||||||||
„ __ X i — 1 2 0 0 . |
„ _ Х 2 - 2 0 . |
„ _ |
+ > - 6 2 5 . |
„ |
X t- \ |
|||||||||
1 ~~ |
|
5 0 |
’ |
2 |
5 |
|
3 |
|
|
2 5 |
’ |
Х * ------------' |
||
Для проверки адекватности модели (3.69) по формуле (2.96) |
||||||||||||||
определили дисперсию неадекватности 5неад = |
3,44 -10+ |
по фор |
||||||||||||
муле (2.97) — число степеней свободы f2 |
= |
17— 13 = |
4; |
по фор |
||||||||||
муле |
(2.95) — расчетное |
значение |
f -критерия |
Fpac4 = |
3,44 X |
256
X 10-4/ 1 *10 4 = 3,44. Оно оказалось меньше табличного при
5%-ном уровне значимости /?оГо5?4 ;8 = 3,84. Таким образом, ги
потеза об адекватности модели (3.69) не отвергается. Результаты оптимизации режима обработки сплава 6 8 НМП
приведены в разделе 3.8.
3.8. АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Планирование второго порядка заканчивается отысканием адекватного квадратичного уравнения типа (3.3):
у = Ьо~\~ bLXi + 2 J bijX[Xj "p \ j baxj.
Часть членов, признанных статистически незначимыми, может в этом уравнении отсутствовать. Естественно далее проанализи ровать полученную модель, т. е. представить себе характер из менения отклика в изученной области, а при решении экстремаль ной задачи — попытаться выяснить, существует ли экстремум, и если он есть, найти его координаты. Однако анализировать урав нение второй степени в форме (3.3) хотя и можно, но сложно. Обычно его преобразовывают к так называемому каноническому (стандартному) виду.
Каноническое преобразование заключается в выборе новой системы координат, в которой значительно облегчается геометри ческий анализ уравнения. Такого рода преобразование сводится к определению центра поверхности второго порядка (разумеется, если он существует), переносу начала координат в новый центр
[при этом в уравнении (3,3) исчезают линейные члены |
11 |
|
к повороту координатных осей |
[при этом в (3.3) исчезают члены |
|
bfjXjXj ]. |
канонической форме имеет вид |
|
Квадратичное уравнение в |
||
У - У , = ВиХ\ + В22Хаа+ " . - \ - В ккх 1 |
(3.70) |
где у5 — значение отклика в новом начале координат (свободный член канонического уравнения); X t — новые оси координат, по
вернутые в факторном пространстве на некоторый угол относи тельно старых осей (х;) и линейно связанные с ними; Ви — коэф
фициенты уравнения в канонической форме (их часто называют каноническими коэффициентами).
Удобство формы (3.70) для анализа и оптимизации определяется тем, что все Х ( входят в нее в квадратах. Следовательно,
изменение значений отклика зависит только от знака коэффици ента и не зависит от направления движения по оси X t от центра s.
В частности, у будет возрастать всегда, когда изменяется X h имеющий при себе коэффициент B it > 0, и уменьшаться в случае,
когда у Х ( стоит коэффициент В и < 0 .
9 Новик Ф. С., Арсов Я. Б. |
2 5 7 |
Рис. 3.1. Поверхности о т к л и к а , описываемые к в а д р а т и ч н о й |
моделью для & = 2 |
Если все коэффициенты В и отличны от нуля |
и центр поверх |
ности s лежит в области эксперимента, то возможны следующие
случаи: |
тогда движение в любую сторону от центра |
1) все В и < 0, |
|
только уменьшает |
отклик; |
2)все В п > 0, тогда движение в любую сторону от центра
увеличивает отклик;
3)часть Вн < 0, часть В п > 0, тогда для увеличения отклика
следует осуществлять движение из центра таким образом, чтобы
значения X t для коэффициентов с отрицательным знаком равня лись нулю, т. е. искать экстремум вдоль осей с В и > 0; наоборот,
для уменьшения параметра оптимизации следует двигаться только вдоль осей с В И < 0 .
Геометрический образ квадратичного уравнения в канониче ской форме можно представить себе в виде изолиний поверхности
отклика при числе факторов к |
2 или в виде изоповерхностей |
при числе факторов к — 3 . |
|
В случае к - 2 изолинии для |
уравнения у — ys — Вп Х * + |
+В22Х* могут представлять собой следующие фигуры:
Эл л и п с ы (рис. 3.1, а). Оба коэффициента В п и В22 имеют
одинаковые знаки. Центр эллипсов s является максимумом, если Вп и В22 отрицательны, и минимумом, если Вп и В22 положи тельны. Если В22 по абсолютной величине меньше В1Ъ то эллипсы
вытянуты по оси Х 2, и наоборот. Поверхность отклика является
эллиптическим параболоидом. В этом случае для поиска экстре мума достаточно поставить эксперименты в центре фигуры s и проверить, насколько хорошо значение отклика, предсказанное уравнением регрессии, совпадает с экспериментом.
Г и п е р б о л ы (рис. 3.1, б). Коэффициенты Вп и В22 имеют
разные знаки. Гиперболы вытянуты по той оси, которой соответ ствует меньшее по абсолютной величине значение коэффициента в каноническом уравнении. В этом случае значение отклика уве личивается при движении из центра фигуры по одной оси и умень
шается — при движении по другой. |
Если, например, |
Вп > 0, |
а В22 < 0 (у — уъ = В иХ\ — В22Х1), |
то отклик будет |
увеличи |
268
ваться при движении из центра s в направлении + Х г и — Хг
и уменьшаться при движении в направлении + Х 2 и —Х 2. Центр 5 фигуры называется седлом или минимаксом. Поверхность от
клика является гиперболическим параболоидом. Здесь направле ние движения выбирают в зависимости от того, чего необходимо достичь — максимума или минимума. Как и при крутом восхо ждении, можно наметить серию мысленных опытов, часть из ко торых можно реализовать.
П а р а л л е л ь н ы е п р я м ы е (рис. 3.1, в). Один из коэф
фициентов канонического уравнения равен нулю, при этом нет одного центра с экстремальным значением отклика. Под определе ние центра здесь подходит любая точка на оси, соответствующей незначимому коэффициенту канонического уравнения. Поверх ность отклика является стационарным возвышением.
П а р а б о л ы (рис. 3.1, г). Один из коэффициентов канони ческого уравнения равен нулю, при этом центр фигуры находится в бесконечности. Поверхность отклика является возрастающим возвышением (гребнем). В этом случае можно поместить начало координат в какую-либо точку (обычно вблизи центра экспери мента) на оси, соответствующей незначимому коэффициенту ка нонического уравнения, и ^получить таким образом уравнение параболы. Например, если равен нулю В22, то выбрав новый
центр s', можно получить уравнение параболы у — yS' = ВиХ* +
+ В2Х 2, где В2 — коэффициент, определяющий крутизну наклона
возвышения, т. е. скорость увеличения параметра оптимизации по оси Х 2. В практических задачах часто центр фигуры s удален за
пределы той области, где проводился эксперимент, и тогда один
из коэффициентов (Вп или |
В22) близок к нулю. В этом случае |
в зависимости от наклона, |
поверхность отклика будет аппрокси |
мироваться либо стационарным, либо возрастающим возвыше нием.
Аналогично можно проводить анализ канонических уравне-
ний типа у — ys = ВиХ{ + В22Х\ + ВгъХ\ при числе факторов к 3 (рис. 3.2). Например, если все коэффициенты имеют одина
ковые знаки, поверхность отклика представляет собой эллипсоид вращения (рис. 3.2, а) и имеет экстремум в центре эллипсоида.
Если знак одного из коэффициентов противоположен знаку двух других, имеет место одноили двухполостной гиперболоид (соот ветственно рис. 3,2, б и б). При близости одного из коэффициентов
канонического уравнения к нулю поверхность отклика может быть либо эллиптическим цилиндром (рис. 3 .2 , г), если остальные
два коэффициента имеют одинаковые знаки, либо гиперболиче ским цилиндром (рис..3.2, д), если знаки оставшихся коэффициен
тов разные. В случае эллиптического цилиндра ось, соответствую щая незначимому коэффициенту, является линией максимума, удаление от которой в любом направлении связано с уменьшением
9* |
2 6 9 |
k = 3
параметра оптимизации (стационарное возвышение). В этом же случае близости нулю одного из коэффициентов канонического уравнения поверхность отклика может также являться эллипти ческим или гиперболическим параболоидом (соответственно рис. 3.2, е и ж). В случае эллиптического параболоида (рис. 3.2, ё)
центр фигуры находится в бесконечности. Помещая начало коор динат в какую-либо новую точку s' на оси, соответствующей не значимому коэффициенту (например, если В22 — 0, то новый центр
выбирают на оси Х2), можно получить уравнение
У — Us' = В\\Х2\-f- 633X3 -f- 62X2,
коэффициент 6 2 которого является мерой наклона возрастающего
возвышения по оси Х2. Наконец, если два коэффициента канониче ского уравнения равны нулю, то поверхность отклика представ ляет собой либо серию параллельных плоскостей (рис. 3.2, з), причем одна из этих плоскостей отвечает наибольшей величине параметра оптимизации и с удалением от нее параметр снижается, либо имеет вид параболического цилиндра (рис. 3.2, и).
Итак, все многомерные поверхности отклика можно грубо раз бить на три класса:
1 ) поверхности, имеющие экстремум — максимум или мини мум (рис. 3.1, а\ 3,2, а)\ в этом случае все коэффициенты канони
ческого уравнения имеют одинаковые знаки, центр фигуры на ходится вблизи центра эксперимента;
2)поверхности типа минимакса (рис. 3.1, б, 3.2, б, в)\ коэф
фициенты канонического уравнения имеют разные знаки, центр фигуры находится вблизи центра эксперимента;
3)поверхности типа возрастающего возвышения или гребня (рис. 3.1, в, г; 3,2, г — и)\ часть коэффициентов канонического
уравнения близка к нулю, центр фигуры удален от центра экспе римента.
260