книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

лицу парных сравнений, в каждой //-клетке которой записывают число предпочтений /-го фактора /-му (назовем его также рангом ац)у полученное от всех т специалистов. Итоговые результаты

парных сравнений факторов для рассматриваемого примера при­ ведены в табл. 1.13.

Как и в рассмотренных случаях, прежде чем делать выводы о результатах ранжирования, необходимо проверить наличие согласия в мнениях специалистов.

В случае парных сравнений предложено [40] рассчитывать следующий коэффициент согласия V:

где суммирование производится только по тем клеткам таблицы, которые лежат выше (или ниже) главной диагонали.

51

При полном согласии мнений специалистов V — 1 , при мини-

строкам или по столбцам (табл. 1.13). Полученные суммы рангов и определяют итоговую ранжировку. Если сравнивать суммы по строкам, то 1 -е место получает фактор с наибольшей суммой

рангов, если сравнивать суммы по столбцам — с наименьшей (табл. 1.13).

Анализ полученных данных показывает, что уменьшение числа предложенных для ранжировки факторов и указание на то, что они самые важные, позволило специалистам достаточно четко разделить факторы по ожидаемому влиянию на жаропрочность группы никелевых литейных сплавов. По коллективному мнению

52

специалистов, факторы группы t располагаются в следующий ряд по степени важности:

Сг (х4), А1 (л^), Мо (х2) и Nb (х3).

Таким образом, в отличие от ранжировки после предыдущих этапов, в данной, во-первых, уже можно сказать, какой фактор влияет сильней (ранее все они были отнесены в одну группу п в ней по средним рангам не различались), во-вторых, молибден и ниобий поменялись местами.

На этом процедура априорного ранжирования факторов закан­ чивается.

Рассмотренная последовательность обработки данных априор­ ного ранжирования является не единственно возможной. Другие

когда некоторые специалисты не могут присвоить ранг одному или нескольким факторам и пропускают их в ранжировках. Типичный пример показан в табл. 1.14, где приведен фрагмент ранжировки семью специалистами десяти факторов, наиболее сильно влияющих на свариваемость одного медного сплава. Пока­

i=l каждого фактора (см. табл. 1.13). Затем отмечают число специали­

стов rtij, проранжировавших данный фактор, и рассчитывают

исходный средний ранг для фактора

т

(1.39)

Кроме того, подсчитывают общий средний ранг

Е т / — * /= I

5 3

2 ) дисперсию для средних рангов всех факторов

(* — 1 ) Ё mi

/ = 1

4) среднюю надежность единичного ранжирования

Для рассматриваемого примера все необходимые величины

В двух последних строках табл. 1.14 приведены итоговые ранжировки по исходным а.; и уточненным а/угочн средним ран­

гам. В данном случае оказалось, что ранжировки совпадают. Таким образом, пропуск специалистами рангов для некоторых факторов на окончательные результаты ранжирования не повлиял.

До сих пор рассматривалась задача выбора факторов, наибо­ лее сильно влияющих на параметр оптимизации. Вместе с тем методы априорного ранжирования можно применять и для выбора параметра оптимизации из ряда параметров. Для этого вполне

m

подходят все описанные процедуры (см., например, [81, 141, 101, 119 ]). Особенно удобно использовать метод парных сравнений.

Проиллюстрируем его применение для выбора параметра опти­ мизации следующим примером.

Литейные свойства чугунов достаточно разнообразны. Как правило, требуется определять их жидкотекучесть, линейную усадку, предусадочное расширение, отбеливаемость, горячеломкость. Каждое из этих свойств оценивается по технологиче­ ским пробам, причем имеется довольно большое разнообразие проб и не все пробы могут быть в распоряжении экспериментатора. Вместе с тем ясно, что различные литейные свойства чугунов (как, впрочем, и любых сплавов) связаны между собой. К сожалению, связи эти не всегда просто установить. Возникает вопрос: нельзя ли из литейных свойств чугуна выбрать какое-либо одно, наиболее связанное с остальными? Тогда, определяя экспериментально только это свойство, можно было бы ориентировочно получать представления и о других свойствах чугуна. В п. 1.1.1 эту задачу решали с помощью корреляционного анализа. Теперь решили выяснить мнение специалистов по этому вопросу методом априор­ ного ранжирования путем парных сравнений 1141].

Опрос проводили следующим образом. Специалистов просили последовательно сравнить указанные выше свойства чугуна по­ парно между собой и указать на предпочтительную связь в каждой

4)горячеломкость — со всеми, кроме жидкотекучести и отбеливаемости;

5)отбеливаемость — со всеми остальными.

Другой специалист имел свою точку зрения, третий — свою и т. д.

Было опрошено пять специалистов. Результаты опроса све­ дены в табл. 1.15. Цифры в клетках указывают мнение каждого из опрошенных о том, связано (1 ) или не связано (0 ) свойство,

являющееся названием строки таблицы, со свойством, являю­ щимся названием столбца. Так, оценивая связь горячеломкости с предусадочным расширением, первые два специалиста выска­ зали мнение, что эта связь существует, а остальные три считают, что этой связи нет: (1 1 0 0 0 ) и т. д.

Отметим некоторую особенность опроса. Здесь выясняется связь между свойствами. Поэтому каждая пара свойств предъяв­ ляется специалисту дважды. И ответы могут быть разными, в за­ висимости от того, какое свойство стоит на первом месте. Напри­ мер, специалист может считать, что горячеломкость сплава за­ висит от его линейной усадки, но линейная усадка не зависит

66

от горячеломкости. Эти обстоятельства учтены в итоговой таблице опроса.

Обработка данных опроса заключается в расчете средних значений коэффициентов корреляции для каждого свойства по строкам таблицы относительно свойств столбцов и усреднения этих средних коэффициентов для каждого свойства — строки по числу оцениваемых свойств:

k — число оцениваемых свойств.

Далее вычисляют дисперсии в определении коэффициентов корреляции Sf.. и доверительные интервалы для этих коэффи­ циентов Аг..:

57

Поскольку г35=^0,40 < 0,49 = Дг8В, коэффициент следует признать статистически незначимым.

В табл. 1.16 в каждой клетке приведены в числителе Тц ±

и в знаменателе — статистически значимые коэффициенты кор- • реляции (незначимые *заменены нулями). Последний столбец табл. 1.16 представляет собой усредненное значение средних коэффициентов корреляции для /-й строки (гу).

58

на значимые {k* — /) эффектов, незначимые I эффектов и слу­

чайную составляющую е. Естественно, что остаточная дисперсия, в оценку которой войдут значимые, но еще не выделенные эффекты, на первых порах велика:

Однако при снятии шаг за шагом значимых эффектов эта остаточная дисперсия непрерывно уменьшается до тех пор, пока не станет соизмеримой с дисперсией опыта. В результате этого отсеивания и получается количественная оценка вкладов и ма­ тематическая модель процесса, связывающая параметр оптими­ зации со значимыми эффектами.

В данной ситуации для отсеивания небольшого числа зна­ чимых эффектов на шумовом поле был предложен так называемый метод случайного баланса [80, 30, 145]. Цель метода — в ре­ зультате небольшого числа экспериментов построить диаграмму рангов и выделить наиболее сильно влияющие факторы и их взаимодействия. Идея метода крайне проста. Варьируя факторы на нескольких уровнях, вместо регулярных дробных планов пред­ лагается брать планы, уровни факторов в которых распределены случайным образом. При этом совместные оценки эффектов ока­ зываются смешанными случайно, что и позволяет выделить не­ которое число наиболее сильно влияющих факторов и их взаимо­ действий. Поскольку часть эффектов будет отнесена к шумовому полю, дисперсия, характеризующая ошибку опыта, естественно, возрастает. В результате количественная оценка выделенных эффектов будет производиться с большой ошибкой. Следовательно, метод случайного баланса имеет малую чувствительность (т. е. способность выделять коэффициенты регрессии, значимо отли­ чающиеся от нуля), но большую разрешающую способность (т. е. способность выделять сильно влияющие эффекты среди большого числа эффектов, взятых под подозрение).

Проиллюстрируем идею метода случайного баланса следу­ ющими рассуждениями. Предположим, что при создании жаро­ прочного сплава изучается влияние десяти легирующих элемен­ тов. Можно пытаться каким-либо систематическим способом вы­ явить влияние вначале одной из добавок, затем другой, далее их взаимодействий и т. д. Но можно ввести в некоторые сплавы сразу все добавки. Естественно, что*при этом одни элементы (или их взаимодействия) будут повышать жаропрочность, дру­ гие — снижать, третьи — окажутся нейтральными. Оказалось, что если введение добавок будет осуществляться случайным образом (причем случайность будет гарантирована), то можно в результате последующей обработки полученных данных выде­ лить добавки (или их взаимодействия), наиболее сильно влия­ ющие на жаропрочность (повышающие или снижающие ее), а затем уже обычными методами планирования экстремальных

60