книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

априори знает, что функция отклика в изучаемой области заве­ домо нелинейная. Отказ от композиционности позволяет построить

внекоторых отношениях более эффективные планы. Примером таких планов могут служить симметричные квази-

D -оптимальные планы, предложенные Л. Л. Песочинским [91 ]. Экспериментальные точки этих планов выбирают из множеств,

указанных в табл. 3.16. Факторы здесь варьируют на трех уров­ нях: — 1; 0; + 1 . Если в множестве какой-либо фактор не указан, значит он во всех опытах данного множества находится на уровне 0. Остальные факторы в данном множестве имеют уровни в соответ­ ствии с полным или дробным факторным экспериментом. Напри­ мер, план для четырех факторов (k = 4) включает 42 опыта:

1)8 опытов дробного факторного эксперимента для всех

4)8 опытов, в которых фактор х3 имеет уровень 0, а факторы хъ х2 и х4 образуют полный факторный эксперимент 23;

5)8 опытов, в которых фактор х4 имеет уровень 0, а факторы х1у

х2 и х3 образуют дважды повторенную дробную реплику 23"1

сопределяющим контрастом 1 = — хгх2х3\

6)2 опыта в центре плана.

В табл. 3.16 по данным работы [76] даны для сравнения ве­

личины «приведенных» определителей |М_1| для идеальных и квази-£-оптимальных планов. Близость их значений очевидна.

Поскольку данные планы симметричны, расчет коэффициентов модели (3.3) можно проводить по формулам (3.19) или (3.20), а дисперсии коэффициентов и их ковариации оценить по форму­ лам (3.21). Однако и в этом случае заранее подсчитаны вспомога­ тельные константы ch позволяющие проводить соответствующие

расчеты по формулам (3.56) и (3.57). Значения этих констант ука­ заны в табл. 3.17.

Как и в случае описанных выше ротатабельных планов и пла­ нов типа В ь квази-£-оптимальные планы Песочинского неорто­

гональны. Поэтому порядок действия при оценке статистической значимости коэффициентов регрессии тот же, что и для упомяну­ тых планов. Проверку адекватности полученной модели проводят по методике, указанной в разделе 2.4.

Рассмотрим пример применения симметричного некомпози­ ционного квази-£-оптимального плана Песочинского.

Детали пресс-форм для многих видов стеклоизделий быстро изнашиваются из-за разгара рабочей поверхности. Известно, что наибольшей разгаростойкостью обладают пресс-формы из феррит­ ного чугуна с шаровидным графитом. Поэтому для этих чугунов искали оптимальное содержание углерода (Хх), кремния (Х 2)

и фосфора (Х3), обеспечивающее возможно более высокую разга-

232

23 3

235

Т а б л и ц а 3.17. Вспомогательные константы для квази-D- оптимальных планов

ростойкость (у). Последнюю характеризовало количество стекло-

изделий, отпрессованных пуансоном из чугуна данного состава до момента, когда поверхность стеклоизделия приобретает вид эталона с отпечатками трещин.

Выбранные факторы, их основные уровни и интервалы варьи­ рования указаны в табл. 3.18.

Т а б л и ц а 3.18. Уровни варьирования факторов

Поскольку (согласно литературным данным) предполагалось нелинейное влияние факторов на разгаростойкость, было решено строить квадратичную модель типа (3.3).

Вкачестве плана эксперимента выбрали симметричный квази- D -оптимальный план Песочинского для k = 3. Матрица плани­

рования приведена в табл. 3.19.

Всоответствии с выбранным планом эксперимента были при­ готовлены пуансоны из тринадцати чугунов. Чугуны выплавляли

вэлектрической индукционной печи МГП-50 и модифицировали

236

13 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 850 Центр плана

никельмагниевой лигатурой. Плавку чугунов, заливку в формы и графитизирующий отжиг проводили в одинаковых условиях. Содержание серы в чугунах, наиболее вредного для разгаростойкости элемента, поддерживали на уровне тысячных долей про­ цента. Содержание марганца было примерно постоянным (около 0,30 %). Легирование чугунов никелем осуществляли для уплот­ нения и гомогенизации структуры, так как неодинаковая плот­ ность отливок могла стать дополнительным фактором, влияющим на разгаросгойкость. После термической обработки все чугуны имели ферритную структуру одинаковой зернистости с включе­ ниями шаровидного графита и с небольшими полями перлита вокруг фосфидной эвтектики.

Результаты испытаний на разгаростойкость пуансонов из вы­ бранных чугунов представлены в табл. 3.19. Опыты не дублиро­

с учетом констант, приведенных в табл. 3.17, оказались следу­ ющими:

237

По формулам (3.57) определили дисперсии и средневадратичные ошибки оценок коэффициентов, а также их ковариации:

[ Подформуле (2.90) подсчитали доверительные интервалы для оценок коэффициентов. При 5 %-ном уровне значимости (а — 0,05

Поскольку абсолютные значения коэффициентов Ь12 и Ь13

меньше их доверительных интервалов, эти коэффициенты следует признать статистически незначимыми. Остальные коэффициенты значимы.

Коэффициенты Ь12 и bls исключили из модели, причем это не

где х £— в кодированном масштабе, связанные со значениями

факторов в натуральном масштабе (X,) соотношениями (1.24):

муле (2.95) — расчетное значение ^-критерия Ррйсч = 625,01/625 =

ПЛАНЫ БОКСА—БЕНКЕНА

Еще одним примером симметричных некомпозиционных пла­ нов являются планы, предложенные Боксом и Бенкеным [127]. Факторы в этом случае варьируются на трех уровнях 0; =tl. Планы представляют собой комбинации двухуровневых (— 1, +1) полных факторных экспериментов с неполноблочными сбалан­ сированными планами. Каталог последних (так называемых урав­ новешенных блок-схем) имеется в работе [65] (см. также [133]).

238

Покажем построение планов Бокса—Бенкена на примере. Ниже приведена сбалансированная блок-схема для четырех факторов с шестью блоками, с числом единиц в блоке, равным двум. Каждую строку блок-схемы заменяют полным факторным экспериментом 22 для факторов, отмеченных звездочками. Факторы, не отмеченные звездочками, в этих опытах имеют уровень 0. Кроме того, план дополняют тремя опытами в центре (на основном уровне). Построенный таким образом план Бокса—Бенкена для k = 4 см. ниже в примере (табл. 3.23).

**

В работе [127] показано, что эти планы для четырех и семи фак­ торов являются ротатабельными, для остальных размерностей — очень близки к ротатабельным. Количественной мерой близости плана к ротатабельному является так называемый фактор несферичности, представляющий собой отношение максимального раз­ маха дисперсии предсказания к ее среднему значению на сфере единичного радиуса. Для ротатабельных планов этот фактор ра­ вен нулю. В табл. 3.20, по данным [127], приведены значения фактора несферичности для разных планов Бокса—Бенкена. Графики изменения дисперсии предсказанного значения отклика в зависимости от расстояния от центра эксперимента, приведен­ ные в [127 ], свидетельствуют о том, что эти планы, кроме того, почти униформны. Интересно, что план Бокса—Бенкена для k — 3

можно сделать точно ротатабельным, заменив-в нем уровни (—1)

циентов модели (3.3) можно вести по формулам (3.19) или (3.20), а дисперсии коэффициентов и их ковариации оценивать по фор­ мулам (3.21). Для планов, указанных в табл. 3.21, заранее под­ считаны вспомогательные константы ch позволяющие проводить

соответствующие расчеты по этим формулам (табл. 3.21). Наличие в матрицах планов Бокса—Бенкена большого числа нулей за­ метно упрощает расчеты.

Поскольку планы Бокса—Бенкена не ортогональны, после расчета по формуле (2.90) доверительных интервалов оценок коэффициентов и проверки по (2.91) их статистической значимости

239

2 4 0