книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

Сказанное выше тем более верно при решении задачи совмест­ ного оценивания параметров а и р . Для непрерывной модели (5.2.1) в некоторых случаях можно записать логарифм функцио­ нала ОП по указанным параметрам в интегральной форме анало­ гично тому, как это, например, делается при оценке параметров «временных» сигналов на фоне шума с неизвестной корреляцион­ ной функцией [80]. Если, однако, шум |(£, г) в (5.2.1) белый, как это принято выше, а также если параметры р входят в G(f, г; р) мультипликативно (Например, матрица G постоянна и неизвестны­ ми параметрами являются сами ее элементы) и в некоторых дру­ гих случаях, такое ОП теряет смысл, так как входящие в него меры оказываются взаимно сингулярными (см. разд. 5.1.1). Это указывает на принципиальную возможность определения искомых параметров с вероятностью 1 по наблюдению одной реализации х(£, г) на конечном интервале [152, дополнения редактора]. Тем не менее практическое получение такой оценки также оказывается достаточно сложным и требует дискретизации поля.

Обратимся поэтому сразу к дискретной модели (5.2.29). Для

нее

N М

S(f. k; Р) = [Г(1, k\ Р)Гг (1, k; P)]-';

где у—величина, не зависящая от а и р. Дифференцируя (5.2.8) по а и р, получаем систему уравнений правдоподобия:

N м

ствующее унитарное преобразование [60].

Если в наблюдениях поля у(/, г) согласно (5.1.1) присутствует шум, то точно определить вектор состояния уже невозможно, мож­ но получить и затем использовать в рассмотренных алгоритмах лишь его оценку. Такие методы идентификации параметров СДУ с учетом шума наблюдений описаны в § 5.3, а в § 5.4 показано,

151

как формируются необходимые для их реализации наилучшие среднеквадратические оценки состояния поля. Можно использо­ вать и какие-либо субоптимальные методы фильтрации поля у (*, г) из смеси с шумом с последующим определением по нему вектора состояния, как это описано в разд. 5.2.2. Тогда оценка па­ раметров (5.2.5), конечно, уже не является оптимальной оценкой МП, однако может служить начальным приближением в различ­ ных итерационных алгоритмах оценивания [121].

Рассмотрим применение описанного метода идентификации к конкретным видам СДУ, характерным для каналов связи.

5.2.2.Идентификация параметрической модели

Кэтому типу в разд. 1.4.3 отнесены уравнения состояния, в ко­ торых в качестве простейшего частного случая оператора 2Г рас­

сматривается обычная векторная функция, т. е. в (5.2.1)

Такая модель описывает частный класс случайных полей, но для случайного процесса, наблюдаемого в каждой точке г, пред­ ставляет собой общую марковскую модель и потому заслуживает отдельного изучения.

В отличие от известных задач оценивания параметров сигнала на фоне шума в данном случае функция f(x, t, г; а), играющая роль сигнала, зависит от наблюдаемого поля, а не только от па­ раметров а.

Если вид этой функции априорно неизвестен, то в качестве ис­ комых параметров можно принять векторы коэффициентов разло­ жения ее по некоторому базису1 {ф3-(х, t, г )}:

Q

Такое представление является достаточно общим и охватыва­ ет в качестве частного случая модели с одним векторным пара­

1 Здесь используется базис в пространстве скалярных функций, который вы­ бран одним и тем же для всех компонент векторной функции f(x, t, г). Конечно, можно рассмотреть и более общее разложение — по векторному базису, однако в данном случае оно менее удобно.

152

которую можно представить в виде

Q

i=i

где

т

9 О

т

9 0

V— объем области Й.

Таким образом, задача идентификации сводится к решению си­ стемы линейных (относительно неизвестных параметров) алгебра­ ических уравнений с блочной матрицей коэффициентов

Оценки МП параметров сноса многомерных марковских про­ цессов и некоторых полей диффузионного типа на плоскости ис­ следованы в [137, 187]. Применительно к рассматриваемой здесь задаче и обозначениям из этих работ следует: если в асимптотике при Т-*~оо матрица (5.2.14) и ее среднее сходятся по вероятности к невырожденной матрице Р«>, то уравнение правдоподобия типа

(5.2.12) имеет единственное решение а, являющееся состоятельной

оценкой а, а распределение погрешности оценки У~Т{а—аг) — асимптотически-нормальное с нулевым средним и ковариационной

матрицей Р " 1. Если же матрица G(^) не зависит от х, то обеспе­

чивается и эффективность оценки.

В случае, когда базисные функции ортонормированы, а в урав­ нении (5.2.1) матрица G не зависит от t и г, матрица Р имеет квазидиагональную структуру:

На рис. 5.1 показана структурная схема устройства идентифи­ кации* реализующего описанный алгоритм при выборе перемен­ ных состояния

(5.2.18)

На схеме Я —блок перемножителей, ГФ—генератор базисных функций.

153

Операция решения системы уравнений, условно обозначенная на схеме как Р-1, практически осуществляется по известным алго­ ритмам, непосредственно не включающим в себя обращение мат­ риц. В аналоговых устройствах для этого можно использовать не­ сложные резистивные цепи с операционными усилителями [87, 129].

Наиболее сложной в описанном алгоритме является реализа­ ция блоков корреляционной обработки поля (перемножителей и пространственно-временных интеграторов).

Описанный алгоритм имеет очевидный дискретный вариант, со­ ответствующий уравнениям (5.2.7).

dx,(t,r)

Рис. 5.1. Структурная схема устройства идентификации параметри­ ческой модели поля по наблюдениям первой компоненты состояния

Заметим, что, хотя в идентифицируемой модели поля и отсут­ ствует «пространственная динамика», т. е. поле представляет со­ бой совокупность некоррелированных между собой случайных про­ цессов в разных точках наблюдаемой области пространства, обра­ ботка поля согласно описанному алгоритму включает в себя ин­ тегрирование по пространству. Если поле наблюдается только в дискретных точках, интегрирование заменяется соответствующим суммированием. Реализация алгоритма при этом существенно упрощается.

Недостатком рассмотренного пути реализации алгоритма оце­ нивания является необходимость дифференцирования наблюдаемо­ го поля. Как уже отмечалось в § 1.4, в математическом плане про­ изводные от случайных процессов требуют особого определения. Конечно, реальные процессы всегда гладкие (белый шум является недостижимой идеализацией) и рассмотренные выше производные существуют. Тем не менее указанная математическая некоррект­ ность проявляется и для реальных процессов и полей: если исход­ ное допущение об отсутствии шума наблюдений не выполнено и на y {t , г) при идентификации накладывается широкополосный шум, то дифференцирование наблюдаемого поля, особенно многократ­ ное, приводит к резкому падению отношения сигнал-шум. В этом случае можно обратиться к оптимальным методам идентификации СДУ с учетом шума наблюдений, в которых используются калмановские оценки состояния и которые рассмотрены в § 5.3. Однако

154

их практическая реализация достаточно сложна. В качестве более простой меры борьбы с указанным явлением можно установить в канале наблюдения какой-либо несложный субоптимальный (на­ пример, полосовой) фильтр, выделяющий y{t, г) на фоне шума.

С точки зрения помехоустойчивости предпочтительнее вместо производных выбирать в качестве переменных состояния интегра­ лы от наблюдаемого поля:

Тогда наблюдаемой является последняя компонента вектора состояния. Соответствующая структурная схема устройства иден­ тификации приведена на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Структурная схема устройства идентификации пара­ метрической модели поля по наблюдениям последней компо­ ненты состояния

Обратимся теперь к синтезу дискретного алгоритма совместно­ го оценивания параметров а и р . Если матрица Г(*, k) в (5.2.8) зависит от параметров Э» то от них будет зависеть и матрица

ния. Таким образом, здесь в качестве неизвестного многомерного параметра 0 выступает блочный вектор:

составленный из указанных матриц и имеющий общую размер­ ность t i L X L . В параметрической дискретной модели в качестве ча­ стного случая оператора Фал выступает некоторая векторная функ­ ция ф(х, i, k; а), аналогичная f(x, t, г, а) в непрерывной модели

155

i.k) .

Сучетом описанных представлений уравнения правдоподобия

(5.2.9) для совместной оценки параметров а и р приобретают вид:

( N М Q

нии записан с учетом (5.2.21) и известной формулы дифференци­ рования определителей, приведенной в [2]. В отличие от (5.2.14) полученные уравнения нелинейны относительно искомых парамет­ ров, поэтому алгоритм оценивания оказывается довольно слож­ ным в реализации. Это объясняется главным образом тем, что структура функций <р(х, t, k) и r (i, k) принята выше произволь­ ной, а это потребовало использования общих представлений (5.2.11) и (5.2.21). Если она более определенна, алгоритм, как правило, удается существенно упростить.

Рассмотрим в качестве примера типичный для практики слу­ чай, когда заранее известно, что наблюдаемое поле скалярное, стационарное и однородное, и ставится задача идентифицировать его модель в классе параметрических разностных уравнений пер­ вого порядка:

где w(i, k) — дискретный белый шум с единичным энергетическим спектром. Поскольку поле предполагается стационарным и одно­ родным, функция <р(лг, а) не зависит явно от i и k.

В качестве ее неизвестных параметров удобно принять коэффи­ циенты представления степенным рядом или каким-либо другим простым выражением. Примем <p(x, a )= a o + a i* -}-a 2* 2. В качест­ ве параметра р можно выбрать сам коэффициент у в (5.2.24) или,

156

что более естественно, энергетический спектр всего возбуждаю­ щего воздействия:

P = Y*. У (Р) = V f -

В рассматриваемом случае уравнения правдоподобия (5.2.23) приобретают вид:

Первые три уравнения образуют линейную систему, которую можно записать в виде P a = b , где матрица Р и вектор b опре­ деляются на основе наблюдаемых отсчетов поля по формулам:

z=I А=1

Рис. 5.3. Структурная схема устройства для совместной оценки параметров а и

15Т

i=i *=1

На рис. 5.3 показана структурная схема устройства иденти­ фикации, реализующего описанный алгоритм оценивания парамет­ ров, где СП — степенной преобразователь: Кв — квадратор; X — перемножители скалярных сигналов.

-5.2.3. Идентификация моделей полей с пространственной динамикой

При наличии у поля пространственной динамики в правой ча­ сти уравнений (5.2.1) присутствуют операции дифференцирования или (и) интегрирования по координатам г. Соответствующий опе­ ратор можно аналогично предыдущему случаю рассматривать как некоторую функцию, в качестве аргументов которой теперь вы­ ступает не только вектор состояния x(t, г), но и его производные, а иногда и интегралы:

;г*

При условии такой модификации функции f(x, t, г; а) все соотношения разд. 5.2.2 формально сохраняют силу. Ясно, одна­ ко, что при этом представление типа (5.2.11) и основанный на нем алгоритм существенно усложняются. Говорить о его практи­ ческой реализации можно лишь в том случае, если конкретизован вид указанного оператора в (5.2.9). Рассмотрим несколько типич­

оценить. Вектор неизвестных параметров в этом случае является блочным, состоящим из двух указанных матриц: a = [F i, F2].

Выражение (5.2.28), несмотря на его простоту, охватывает до­ вольно широкий класс операторов, в том числе, как показано в разд. 1.3.2, и со смешанными производными. Конкретный вид СДУ относительно наблюдаемого поля зависит от выбора переменных состояния.

Пусть, например, в качестве состояния наблюдаемого скаляр­ ного поля y(t, г) выбран вектор

x(f, r) = [y(l, г), д у (f, r)(d t]T.

158

Тогда СДУ (5.2.1) с оператором (5.2.28) относительно наблю­ даемого поля запишется в виде системы уравнений:

Уравнение правдоподобия (5.2.6) с учетсш (5.2.28) преобразу­ ется в систему из двух матричных уравнений:

Поскольку матрица S = [G G r] - 1 невырождена, (5.2.29) можно записать в эквивалентном виде:

Полученную линейную систему матричных уравнений (5.2.30) нетрудно решить, применяя обычные приемы исключения одной из переменных или готовые формулы Фробеннуса для обращения блочных матриц [27]. В предположении, что Ап невырождена,

159

тех случаях, когда необходимо иметь явные выражения для оце­ нок (например, при исследовании их статистических характери­ стик). При реализации описанного алгоритма оценивания на прак­

ных) линейных алгебраических уравнений с 2п2 неизвестными элементами п Х п -матриц Fi и F2. Для такого рода систем, как уже упоминалось, известны многочисленные сравнительно простые ме­ тоды решения на базе как цифровой, так и аналоговой техники, не требующие обращения матриц [87, 129].

блоки дифференцирования и интегрирования, определяющие по наблюдаемому полю z(t> г) вектор состояния и его производные по / и г, комплекс блоков ПВ обработки (перемножители и инте­

2. Рассмотрим идентификацию модели затухающего волнового поля. Уравнения такого поля (1.3.17) применительно к рассматри­ ваемому случайному полю y (t , г), порождаемому стохастическим

.источником |(t, г), можно записать в виде

160