книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

Ввиду громоздкости приведенного выражения, конечная ап­ проксимация которого для любого *7р в аналитической форме за­ труднительна, рассмотрим два предельных случая:

Отметим, что при qv= 0 из приведенного соотношения получа­ ется нелинейная функция, СДУ с которой порождает процесс с распределением Рэлея.

2. При <7Р—»-оо

где

2mlmll

sin 2<р =

Основным недостатком излагаемого метода является необхо­ димость использования последовательной АФМ несущего колеба­ ния, что ухудшает точность воспроизведения статистических ха­ рактеристик выходного сигнала, усложняет настройку и ухудшает эксплуатационные качества имитатора [25].

6.2.4. Моделирование замирающей несущей

Этот метод реализован в имитаторе ИКРК, упрощенная струк­ турная схема которого приведена на рис. 6.5, а основные техни­ ческие характеристики — в приложении 4.

Информационный сигнал sH4 (£), занимающий полосу стандарт­

ного канала тональной частоты (0,3—3,4 кГц), поступает на ли­ нию задержки с отводами (20 отводов через 0,2 мс). К любым по выбору из этих отводов могут быть подключены перемножители (модуляторы), на вторые входы которых подаются сигналы не­ зависимых замирающих несущих, сформированные блоками за­ мираний. Структурная схема последних показана на рис. 6.6. Так имитируется дискретная многолучевость, соответствующая пред­ ставлению (6.2.1). Описание основных узлов ИКРК приведено в [11]. Поэтому ниже излагаются лишь принципы построения ана­ логовых моделей СДУ соответствующего вида.

Из § 2.8 известно, что случайный процесс с плотностью вероят­ ности (1.5.4) или (-1.5.6) в корреляционном приближении можно рассматривать как решение СДУ (2.8.4), причем искомая функ­ ция f(q) является решением (2.8.6), правая часть которого зави­ сит от w{q).

201

Известно, что если до(<р) = 1/2я (канал с равномерно распреде­ ленной фазой), то w(q) и о>(у) связаны интегральным преобра­ зованием Блан — Лапиерра [91]. В частности, если до (у) пред­ ставляет собой т-распределение Накагами (1.5.6), то w\q) при­ обретает весьма сложный функциональный вид. Очевидно, что при этом аналитически решить уравнение (2.8.6), а тем более реа­ лизовать потом СДУ (2.8.4) затруднительно.

Рис. 6.5. Упрощенная структурная схема имита­ тора радиоканала ИКРК

Поэтому целесообразно аппроксимировать w (q) более про­ стым выражением вида w (q)= Cexj> (pq2—Щк).

Для нахождения взаимной связи параметров т , а, р, х приме­ ним критерий Кульбака (2.4.1). Можно показать, что при доста­ точно малом значении IN критерий (2.4.1) совпадает с критерием

равенства вторых и четвертых моментов. Тогда из (2.8.6) и СДУ (2.8.4) соответственно имеем:

202

(/тг>1).

Структурная схема аналоговой модели СДУ (6.2.11) представ­ лена на рис. 6.7.

Для имитации медленных абсорбционных замираний может быть использовано СДУ (6.2.7).

X z

Рис. 6.7. Структурная схема аналоговой модели СДУ

В § 2.8 указывалось, что существует множество СДУ второго порядка, стохастически эквивалентных в корреляционном прибли­ жении. Это обстоятельство можно учесть при построении блока замираний, руководствуясь компромиссом между точностью моде­ лирования и простотой реализации. Например, если воспользо­ ваться СДУ (2.8.7) для до (у), то точность воспроизведения одно­ мерной плотности вероятности и корреляционной функции процес­

трудноразрешимой задачей. Поэтому в данном случае для построе­ ния блока моделирования замирающей несущей <7 ( 0 целесообраз­ но воспользоваться СДУ вида [203]:

Очевидно, что отличие (6.2.13) от (2.8.4) состоит в том, что

f'(<7, зависит от времени /, т. е. решение СДУ (6.2.13)'

<7(0 — процесс нестационарный и его фаза не является равномер­ но распределенной случайной величиной.

Введем далее квадратурные компоненты узкополосного сигна­ ла <7(0, основываясь на определении сопряженного сигнала по

203

Тихонову [140]:

тропный марковский процесс. Тогда распределения амплитуд и фаз процесса q(t) будут четырехпараметрическими [58, 141].

Выберем

f(q, dq/dt, t)=Vi(t)q(t) +

+ v 2(t)dq/dt-{-V3(t),

где

V\ (t) =<o2oPi cos (2мо^+ф1+фо)»

(0 = a p 2 cos (2 ©о^+ф1+ф о),

из(0 =002o«0p3 COS ((йо^~{“фо) » Рь р2 , рз, фо, фь фг, «о — константы.

С учетом подобной записи f(q, dqjdt, t) после простых, но гро­ моздких выкладок можно получить следующие соотношения для коэффициентов диффузионно-изотропного СДУ (6.2.4) и парамет­ ров четырехпараметрического распределения:

fIlf22

204

Рис. 6.8. Структурная схема моделирования зами­ рающей несущей с четырехпараметрическим распре­ делением амплитуд и фаз на основе линейного пара­ метрического СДУ

Структурная схема моделирования СДУ (6.2.13) представлена на рис. 6.8,

6.3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ИМИТАТОРОВ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ НА ОСНОВЕ АНАЛОГОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СДУ

В статистической теории связи аддитивные помехи принято подразделять, как уже отмечалось в гл. 1, на сосредоточенные по времени или спектру (импульсные помехи и сосредоточенные по частоте) и рассредоточенные по времени и спектру (гладкие по­ мехи), обычно аппроксимируемые нормальным флуктуационным шумом.

В настоящем параграфе будут рассмотрены только принципы моделирования помех первого типа, так как гладкие помехи, как легко понять, могут имитироваться с помощью устройств, анало­ гичных рассмотренным в § 6.2.

6.3.1. Имитатор импульсных помех

Импульсные помехи, как указывалось в гл. 1 и 3, относятся к разрывным случайным процессам с распределениями вероятно­ стей, существенно отличающимися от гауссовского, поэтому при их имитации метод СДУ оказывается особенно удобным [74]. Им­ пульсные помехи могут быть описаны СДУ вида (3.1.1). Если оно является одномерным, то форма импульсов близка к экспоненци­ альной, что приемлемо в качестве первого приближения при имитации многих индустриальных помех. Структурная схема ими­ татора импульсных помех, моделирующего СДУ (3.1.1), совпада­ ет со схемой рис. 6.3, с тем лишь отличием, что f(x) определяется

205

с помощью соотношений (3.2.26), (3.2.27), а входным воздейст­ вием является пуассоновская последовательность дельта-им­ пульсов с заданной плотностью вероятности амплитуд р(Л).

При имитации каналов связи возникает потребность в модели­ ровании как случайных, так и детерминированных последователь­ ностей импульсов. Форму импульсов в некоторых случаях, как указано выше, допустимо считать экспоненциальной, в других— по требованию разработчиков систем связи она может воспроиз­ водиться и иной.

Поскольку амплитуда каждого импульса помехи x ( t ), описы­ ваемой СДУ (3.1.1), равна сумме значений скачка и реализации x{t) к моменту скачка, то из (3.2.7)- для нелинейной функции в СДУ (3.1.1) получаем выражение

х + А х "I

[j w (a )d a — j w{a)da I,

где x^O; w(a) — плотность вероятности амплитуд импульсов на выходе модели. Обычно она близка к логарифмически-нормаль- ному распределению (1.5.10), при этом

/A W = v V S « [ * ( - i - l n i ± A ) -

ской последовательности импульсов прямоугольной формы с за­ коном распределения амплитуд (1.5.10) представлена на рис. 6.9. Это устройство является частью имитатора импульсных помех, общая структурная схема которого показана на рис. 6.10, и по­ мимо формирования указанных импульсов служит также для получения «потока заполнения» пачек импульсов. В состав устрой-

206

ства входит генератор пуассоновской последовательности дель­ та-импульсов ГППИ1, а в имитаторе в целом имеются два других аналогичных генератора: ГППИ2 и ГППИЗ. Вместе со спусковой схемой Т последние формируют поток пачек помех с требуемыми статистическими характеристиками.

ным, а при a<C 1 — близок к диффузионному.

Для того чтобы характер реализации моделируемой помехи не зависел от v, а также для получения импульсов прямоуголь­ ной формы, на выходах описанных схем установлены ключи К, стробируемые от ГППИ1. В случае моделирования импульсов экс­ поненциальной формы (при о ^ 1 ) необходимость в ключе Ki и элементе задержки на т в схеме рис. 6.10 отпадает.

Технические характеристики описанного имитатора импульс­ ных помех приведены в приложении 4.

6.3.2. Устройство моделирования сосредоточенных помех

Обычно в отведенной для данной системы связи полосе частот присутствует случайное число сосредоточенных по спектру помех, причем центральные частоты их спектров также случайны. К со­ жалению, статистические данные об указанных параметрах помех весьма ограничены, и в радиоканалах они существенно зависят от используемого диапазона волн, времени суток, года и т. п. Поэто­ му в дальнейшем изложении примем следующую упрощенную картину распределения сосредоточенных помех в канале связи.

Будем считать, что в полосе канала присутствует не более Nn помех, причем каждая из них представляет собой колебание со случайной частотой. Поскольку эти случайные частоты могут при­ нимать значения, лежащие и вне полосы канала, результирующее число частот, действующих в каждый момент времени в полосе канала, также оказывается случайным. В первом приближении процесс случайного изменения каждой из частот можно описать СДУ вида (3.1.1) при п = I:

Mati + af (0 = 4(0,

где a«Cl. Конкретное значение а определяется исходя из допусти­ мой относительной погрешности у/ в поддержании частоты поме­ хи в течение времени ее существования То по формуле а =

------(l/ro) In (1-т/).

Структурная схема устройства моделирования сосредоточен­ ных помех, реализующего описанный подход, приведена на рис. 6.11,а. Расчет устройства производится следующим образом. Если известно среднее время существования То одной помехи в

207

висимы, вероятность появления в полосе канала N помех опреде­ ляется равенством

Поскольку то w(f) можно аппроксимировать гиперэрланговским распределением [127], а в первом приближении— гамма-распределением (1.5.15). Таким образом, задаваясь значе-

а — замирающих; б — незапирающих

нием у/, можно найти а. Тогда с учетом результатов разд. 3.2.1 и

что позволяет определить параметр р плотности вероятности ам­ плитуд р(А) = (3ехр(—рЛ).

В сочетании с устройством моделирования замираний (рис. 6.11,6) описанный имитатор помех может быть эффективно использован при испытаниях различной аппаратуры передачи ди­ скретных и непрерывных сообщений по радиоканалам.

Хотя синтез математической модели канала в форме СДУ не всегда оказывается простой задачей, реализация полученного СДУ существенных трудностей обычно не вызывает. Как видно из рис. 6.2, 6.3, 6.6, для аналогового моделирования СДУ необ­ ходимы функциональные преобразователи различного вида, ин­ верторы, сумматоры, активные фильтры и другие элементы, реа­ лизация которых известна и хорошо практически отработана, до­ пускает широкое использование серийно выпускаемых интеграль­ ных операционных усилителей и других микросхем [38 и др.]. Вместо генераторов белого шума часто используют генераторы

208

псевдослучайных последовательностей (ГПП), выполненные на логических микросхемах. Методы реализации и расчета генерато­ ров освещены, например в [155].

6.4. АНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ

Поля, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производ­ ных, исследовались методом моделирования на аналоговых машинах еще задол­ го до появления цифровых ЭВМ. Аналоговое моделирование сохраняет свое зна­ чение и в настоящее время: разработка достаточно быстросходящихся алгорит­ мов решения на цифровой ЭВМ часто оказывается непростой задачей, а сам процесс решения нередко требует большого объема памяти и затрат машинного времени. Кроме того, бесспорным преимуществом аналоговых моделей является простота формирования поля, изменяющегося в реальном времени, что особенно важно при имитации каналов связи.

На основе аналоговых моделей СДУ в частных производных могут быть созданы достаточно простые имитаторы ПВ каналов, потребность в которых не менее велика, чем в имитаторах обычных пространственно-сосредоточенных ка­ налов. Ведь натурные эксперименты на

нениями Лапласа и Пуассона. Для других видов полей он технически трудно реализуем, поэтому при моделировании каналов связи, где основную роль играют изменения полей во времени, интереса не представляет.

Второй подход более универсален. В его основе лежит приближенная диск­ ретизация непрерывного моделируемого поля по пространственным координатам и замена уравнения в частных производных соответствующим уравнением в ко­ нечных разностях. Такие уравнения допускают моделирование с помощью раз­ ветвленных электрических цепей сеточной структуры, составленных из элементов

209

обычно не производится, так как реактивные элементы позволяют моделировать

(рис. 6.12), можно использовать сеточную цепь, показанную на рис. 6.13. Такая цепь при одинаковых сопротивлениях сетки, как нетрудно показать, моделирует

Рис. 6.13. Схема сеточной модели поля

позволит моделировать поля в неоднородных средах, описываемые более общи­

210