книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

жеиие, тогда N — 4 и

4

Лапласа по переменным х и t и путем разложения решения w(x, t) по полной системе функций. Эти методы применимы только для линейных СДУ [104, 142, 157] и поэтому здесь не рассматрива­ ются.

3.2.1. Метод вырожденных ядер

Пусть плотность вероятности «амплитуд» р(А) определена на полуоси [0, оо). Представим в УКФ (1.4.18) интегральный член

в виде

ОО

J = v $ p ( x - z ) w ( z , t)dz

Подставляя (3.2.1) в (1.4.18) и дифференцируя уравнение по х при /=&, получаем систему уравнений

JV

1= 1

(3.2.3)

где

101

При решении уравнения (3.2.3) постоянные интегрирования могут быть найдены из условия нормировки и интегрального тож ­ дества

любая точка интервала, на котором определен процесс * (/) . В ча­ стности, в (3.2.6) можно принять xi= 0 . В общем случае, как пра­ вило, можно положить Х\-*— оо.

Если р(Л) =|р2ЛеРА, то аналогично предыдущему получаем

102

что представить решение уравнения (3.2.3) аналитически удается далеко не всегда. Поэтому рассмотрим пример.

критерия расхождения распределений выбираем, как и ранее, меру Кульбака

3.2.3.

Сказанное выше не следует понимать так, что возможен пол­

В основе материала этого раздела лежит идея метода последо­ вательных приближений, который использовался в гл. 2 для реше­ ния УФПК. Будем искать решение УКФ (1.4.18) в одной из сле­ дующих форм [16, 17]:

103

где уЦх, t) и pj(x, ^ — неизвестные функции, подлежащие опреде­ лению.

Можно показать, что при использовании начальных условий в УКФ и условия нормировки, для представления (3.2.8) полу­ чаем

a pj(x, t)—условные плотности вероятности перехода. Необходимое число членов ряда (3.2.9) можно определить по

критерию

00

J \w(x, t)~w,-(x, t)\dx< в

-—00

при известном vt. Легко показать, что (vt)^lj\^e или

Из соотношений (3.2.8) — (3.2.10) и (3.2.12) следует, что пере­ ходная плотность вероятности (решение УКФ) всегда содержит дельта-функцию, которая исчезает только при £->сю, т. е. в wCi{x).

Рассмотрим примеры определения переходной плотности веро­ ятности я(х, t |хо, к) с использованием представлений (3.2.8) и (3.2.9).

104

Вначале используем ряд (3.2.8). Пусть f(x) = 0. Заметим, что стационарное распределение в этом случае отсутствует. Из (3.2.10) и (3.2.11) получаем

Pi(x,t)

Рис. 3.3. Эволюция Pi(xf t) при различных t для

/=0, 1, 2

Пусть теперь используется представление п(х, t |хо, U) в виде (3.2.9). Ра«- смотрим случай, когда f(x) = —ах, р(Л )=5(Л —Л0). Тогда У7-1f/7(дг) =» =хехр (at), и из (3.2.12) получаем:

и т. д. Графики ро(х, t), р\(х, t) и р2(х, t) показаны на рис. 3.3, где обозначено:

105

Пусть v /= l, а е=0,1, тогда необходимое число членов ряда (3.2.9) равно четырем. При vf<l это число еще меньше. Таким образом, метод последователь­ ных приближений эффективен при малых vt.

В заключение этого раздела рассмотрим простой приближенный метод определения п(х, t\xo, U) или w (x , t) при л’тСист<1 С1 , что представляет интерес при исследованиях редких импульсных по­ мех. Здесь и далее под тСпст понимается постоянная времени си­

стемы, определяемая как min [142]. Ее отыскание не

всегда является простой задачей, поэтому указанное условие ино­ гда заменяется эквивалентным неравенством для интервала корре­ ляции ткор решения СДУ (3.1.1) в стационарном режиме 'VTKOp<Cl. Последнюю величину, как правило, удается оценить, хотя бы в ус­ ловиях статистической линеаризации СДУ [3].

Из физических соображений ясно, что при VTKOP<C1 плотность вероятности скачков не зависит от времени и начальных условий Хо, так как скачки происходят редко и все переходные процессы в системе за интервал между ними заканчиваются. Тогда с учётом

решения однородного уравнения и частного решения неоднородно­

106

ся точным. Оценим погрешность, которую оно дает при других значениях t.

^ 1 (0 ===^'0б—at-}-XicT (1— е-сс<), Кп (0 ^Кпст (1 6 na*),

где Хпст— кумулянты распределения W CT(X). Непосредственным вы­ числением из (3.2.17) получаем:

щ (/) =Ar0e_a^l+v/a^+xicT (1— e-at(,+v/a)) ,

Кх (т) =% 2ст ехр [— ат (1+ v /а) ].

Таким образом, при v./a<Cl точные и приближенные значения первых кумулянтов практически совпадают, а при v//za<Cl совпа­ дают и высшие кумулянты. Можно показать, что если допустима погрешность 10% в определении Кх (х) при т/тКОр^1» то v/a^0,l, т. е. л>тсист^0,1. Из физических соображений ясно, что для нели­ нейных СДУ (3.1.1) допустимая величина V T CH C T имеет тот же по­ рядок.

П р и м е р . Пусть задано СДУ

2 C 'S <*[*-']. К,{х)) = 0,

1 = 1

используя правила раскрытия кумулянтных скобок [90], получаем систему урав­ нений для х« в эксцессном приблюкенни:

( Xj — Xj 0,

II *4 + Зх22 = -^ -,

I п

^2хах4 + х32 = — ,

107

Рис. 3.4. Аппроксимация адСт(*) при f(x) = —ах3

для значений у4—0 и —0,62 соответст­

венно, кривая 3 — с помощью ряда Эдж­ ворта для 74= —0,62.

Из рисунка следует, что приближе­ ние с помощью ряда Эджворта

■ к * » —

вполне приемлемо.

Выражение для плотности вероятности п{х, /|х0, t0) вычисляем с использо­ ванием функций

f - [ " W + 4 - y = = - •

Подставляя F(x) и (х)-|^] в (3.2.16), с учетом представления в виде ряда Эджворта получаем при VTCHCT^ 0,1 выражение

жения по степеням малого параметра v целесообразно использо­ вать при v t < \ в существенно нестационарном режиме.

3.2.3. Корреляционная функция разрывного марковского процесса

Вид корреляционной функции случайного процесса, порождае­ мого СДУ (3.1.1), при п— 1 в стационарном режиме может быть оценен без получения выражений для wcт (х) и п(х, £|хо, ?0). Вы­ веденные в [90] формулы для гауссовского и эксцессного прибли­ жений корреляционной функции справедливы и для СДУ (3.1.1), однако их точность не определена.

В гауссовском приближении механизм воздействия любого дель­ та-коррелированного процесса на линейную систему одинаков. Поэтому указанная в разд. 2.3.2 20-процентиая погрешность этого приближения сохранится и в случае разрывных процессов. Эксцес-

108

сное приближение предполагает удержание трех членов в разло­ жении корреляционной функции, т. е. [90]

Здесь Ki(x)—локальные характеристики процесса x(t), опреде­ ленные в § 3.2, a B2q находятся из системы уравнений

Целесообразность дальнейшего использования эксцессного при­ ближения можно оценить путем определения верхней границы кор­ реляционной функции и сравнения ее с результатом гауссовского приближения.

Рассмотрим модель, для которой Случай VTCHCT> 1 практически соответствует диффузионному процессу, и для него справедливо все, что говорилось в гл. 2, поэтому здесь его рас­ сматривать не будем.

При указанном условии можно считать, что процесс * (/), по­ рождаемый СДУ (3.1.1), есть пуассоновский поток импульсов со средней частотой у. Для корреляционной функции используем фор­ мулу (11.6) из [118]:

109

где ^н=^/тспст. Полностью аналогично § 2.3 можно доказать, что при t ^ \ в сумме (3.2.19) для приближения с точностью 10% до­ статочно удержать три члена, т. е.

Для сравнения (3.2.23) и (3.2.24) на рис. 3.5 приведены соот­ ветствующие графики, из которых видно, что интервал корреляции Ткор изменяется при отклонениях f(x) от линейной не более чем в 1,2 раза. Из рисунка также следует, что # (т н) допускает доста­ точно точную аппроксимацию экспоненциальной функцией с «ис­ правленным» интервалом корреляции (тКор.н=1,2 вместо тКОр = 1 ).

Рис. 3.5. Возможные изменения г(тп) при различных аппроксимациях

110