книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdfГлава V I I I
ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА § 1. Некоторые задачи геометрии и статики
Площадь фигуры
2455. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,
уравнения которых у2 =2х + 1 и х - у - 1 = 0.
2456. Найти площадь фигуры, заключенной между парабо лой у = - х 2 + 4* - 3 и касательными к ней в точках (0, - 3) и
(3 ,0 ).
2457. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
у2 = 2рх и нормалью к ней, наклоненной к оси абсцисс под
углом 135°.
2458. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабола
ми у = х2 и у = 4х .
2459. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабола
ми у2 + &х = 16 и у2 —24* = 48.
2460. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабола-
ми г/ = Г |
2 |
г3 |
|
и 1/ = у . |
|
2461. |
|
Окружность х2+ у2 = 8 разделена параболой У ~ \ |
на две части. Найти площади обеих частей.
2462. Найти площади фигур, на которые парабола у2 = 6* делит окружность х2 + у2 = 16 .
2463. Из круга радиуса а вырезан эллипс, большая ось ко торого совпадает с одним из диаметров круга, а меньшая равна 2Ь, Доказать, что площадь оставшейся части равна площади эллипса с полуосями а и а - Ъ.
6 - 2 5 2 5
162 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
2464. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гипербо лы и ее хордой, проведенной из фокуса перпендикулярно к дей ствительной оси.
2465. Окружность х2 + у2 = а2 разбивается гиперболой
х 2 - 2у 2 = ~ - на три части. Определить площади этих частей.
2466. Вычислить площади криволинейных фигур, образо
ванных |
пересечением эллипса ~ + у2 = 1 и гиперболы |
|
2467. |
Вычислить площадь фигуры, заключенной между ли |
|
нией у = |
1 , и параболой у = |
. |
|
1 + д г |
^ |
2468. |
Вычислить площадь |
фигуры, ограниченной линией |
у = х(х —l)2 и осью абсцисс.
2469. Найти площадь фигуры, ограниченной осью ординат и
линией х = у2(у - 1).
2470. Найти площадь части фигуры, ограниченной линиями
ут = хп и уп - х т , где т и п - целые положительные числа,
расположенной в первом квадранте. Рассмотреть вопрос о пло щади всей фигуры в зависимости от характера четности чисел
т и п .
2471. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ог
раниченной осью абсцисс и линией у = х - x2*Jx .
б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвя
ми линии (у - x f = хб |
и прямой х; = 4. |
|
2472. |
Вычислить |
площадь фигуры, ограниченной линией |
( у - х - 2)2 = 9х и осями координат. |
||
2473. |
Найти площадь петли линии у2 = х (ж - 1)2. |
|
2474. |
Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой ли |
|
нией у 2 = | l- z 2J .
2475. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой ли нией у 2 = х 2 - х 4 .
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ |
163 |
|
2476. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой ли
нией х 4 - ах3 + а2у2 = 0.
2477. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной
линией х2у2 = 4 (я - 1) и прямой, проходящей через ее точки
перегиба.
2478. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = ех, у = е~х и прямой х = 1.
2479. Вычислить площадь криволинейной трапеции, огра
ниченной линией у = (*2 + 2х)е~х и осью абсцисс.
2480. Вычислить площадь криволинейной трапеции, огра
ниченной линией у = е~х\х2 +3jc + lj + е2, осью Ох и двумя
прямыми, параллельными оси Oyt проведенными через точки экстремума функции у.
2481. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной
линиями у = 2х2ех и у = -х 3ех.
2482. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции с ос
нованием [а, &], ограниченной линией у = In х.
б) |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией |
|
у = In я, |
осью ординат и прямыми у = In а и у = In 6. |
|
2483. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями |
|
у = In х |
и у = In2 х . |
|
2484. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями |
|
у = |
и у —xln x . |
|
2485. Вычислить площадь одного из криволинейных тре угольников, ограниченных осью абсцисс и линиями у = sin х и у = cos х.
2486. Вычислить площадь криволинейного треугольника,
ограниченного осью ординат и линиями у - tgx и у = J-cos*.
2487. Найти |
площадь фигуры, ограниченной линией |
у = sin8 х + cos8 х |
и отрезком оси абсцисс, соединяющей две |
последовательные точки пересечения линии с осью абсцисс. 2488. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абс
цисс и линиями у = arcsin х и у = arccos х.
б«
164 |
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |
2489. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой ли |
|
нией |
(z/ - arcsin x f - х - х2 . |
2490. Найти площадь фигуры, 'ограниченной одной аркой
циклоиды |
х = a {t - sin *), у = a (l - cos t) и осью абсцисс. |
|||
2491. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой |
|||
x = acos3 f , |
y = asins *. |
|
|
|
2492. |
Найти площадь фигуры, ограниченной |
кардиоидой |
||
х = 2a cos f - |
a cos 2 f, у = 2а sin t - a sin 21. |
|
||
2493. |
Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) эпициклои |
|||
дой х = (i? + r)cosf - rcos-^^-ty |
у = (R + r)sin f - r |
; |
||
2 ) гипоциклоидой |
|
|
||
x = (R - r)cost + r cos^ ^ -f, |
у = (R - r)sint - |
|
||
причем R = nr (n - целое число). Здесь R - радиус неподвиж ной, а г - радиус подвижной окружностей; центр неподвижной окружности совпадает с началом координат, а t означает угол поворота радиуса, проведенного из центра неподвижной окруж ности в точку касания.
2494. Найти площадь петли линии:
l ) * = 3f2 , у = S t-13; 2) х = t2 - 1 , у = t3 - t .
2495. а) Вычислить площадь, описываемую полярным ра диусом спирали Архимеда р = а<р при одном его обороте, если
началу движения соответствует <р = 0.
б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и
третьим витками спирали и отрезком полярной оси. |
|
||||
2496. |
'Найти |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линией |
р = a sin 2ф (двулепестковая роза). |
|
|
|||
2497. |
Найти |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линией |
р = acos5(p. |
|
|
|
|
|
2498. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Пас |
|||||
каля р = 2а (2 + cos ф). |
|
|
|
||
2499. |
Найти |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линией |
р = atgq> |
(a > О) и прямой |
Ф = j . |
|
|
|
2500. Найти площадь общей части фигур, ограниченных линиями р = 3 + сов4ф и р = 2 - сов4ф.
________________ § 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ |
165 |
|
2501. |
Найти площадь части фигуры, ограниченной линией |
|
р = 2 + cos 2ф, лежащей вне линии р = 2 + sin <р. |
|
|
2502. |
Найти площадь фигуры, ограниченной |
линией |
р2 = а2 cosmp (п - целое положительное число).
2503. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любы ми двумя полярными радиусами гиперболической спирали рср = а и ее дугой, пропорциональна разности этих радиусов.
2504. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любы
ми полярными радиусами логарифмической спирали р = ает и
еедугой, пропорциональна разности квадратов этих радиусов. 2505*. Найти площадь фигуры, заключенной между внеш
ней и внутренней частями линии р = a sin3 j .
2506. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
р = Vl - 12 , ф = arcsin* W l - * 2 .
В задачах 2507-2511 удобно перейти предварительно к по лярным координатам.
2507. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
Бернулли |*х2 + i/2j = а2(х2 - у2J.
2508. Найти площадь части фигуры, ограниченной лемни скатой Бернулли (см. задачу 2507), лежащей внутри окружно
сти х 2+ у 2 =^~.
2509. |
Найти |
площадь фигуры, |
ограниченной |
линией |
|
(*2 V |
) S' - « V - s |
V - o . |
|
|
|
2510. Найти площадь фигуры, ограниченной |
линией |
||||
(*2v |
) 3 = 4а2ху (х2 - у2). |
|
|
||
2511. |
Вычислить площадь фигуры, |
ограниченной |
линией |
||
х4 + у4 = х2 + у 2 .
2512. Вычислить площадь фигуры, заключенной между ли
нией у - —Ц - и ее асимптотой. 1+х2
2513. Найти площадь фигуры, заключенной между линией
у г= хе 2 и ее асимптотой.
1 6 6 |
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |
|
|
2514. |
Найти площадь фигуры, содержащейся между цис- |
„ 2 |
х3 |
соидои у |
= 2а-х И ее асимптотои* |
2515. Найти площадь фигуры, заключенной между линией
ху2 = 8 - 4х и ее асимптотой.
2516*. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
у = х 2е~х и ее асимптотой.
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
у2 = хе' 2х.
2517. Найти площадь фигуры, заключенной между трактри
сой х = a(cos£ - lntg-|), |
у = asin f и осью абсцисс. |
|
2518. Для линии р = |
соз2(0 |
„ |
—^ |
наити площадь петли и площадь |
|
фигуры, заключенной между линией и ее асимптотой. |
||
Длина линии*)
2519. |
Вычислить длину дуги цепной линии у = a ch j |
(от |
|||
хх = 0 до |
х2 = Ъ). |
|
|
|
|
2520. Найти длину дуги параболы |
у2 = 2рх |
от вершины до |
|||
ее точки |
М (г, у). (Взять у в качестве независимой переменной.) |
||||
2521. |
Найти длину дуги линии |
у = In х |
(от хг = V3 |
до |
|
х 2 = л1Е). |
|
|
|
|
|
2522. |
Найти длину дуги линии у = In ( l - х2) (от х1 = 0 |
до |
|||
2523. |
Найти длину дуги линии |
*от |
Хг = а |
до |
|
|
|
У = 1п1^л |
|
|
|
*2 =Ъ).
*) В задачах на вычисление длин дуг там, где это необходимо, в скобках указывается интервал изменения независимой переменной, соответствующий спрямляемой дуге.
|
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ |
|
167 |
|||
2524. |
Вычислить |
длину дуги |
полукубической |
параболы |
||
у2 = |
, заключенной внутри параболы у2 = |
|
||||
2525. |
Вычислить |
длину дуги |
полукубической |
параболы |
||
5у3 = х2, заключенной внутри окружности х2 + у2 = 6. |
||||||
2526. Вычислить длину петли линии 9ау2 = х (х - 3af. |
||||||
2527. Найти периметр одного из криволинейных треуголь |
||||||
ников, ограниченных |
осью абсцисс |
и линиями |
|
у = In cos х и |
||
у = In sin х . |
|
|
|
|
|
|
2528. |
Найти длину дуги линии у = |
, |
заключенной |
|||
между ее наинизшей точкой и вершиной (точка линии с экс тремальной кривизной).
2529. |
Найти длину линии |
у = J x - x 2 + arcsin л[х . |
2530. |
Найти длину линии |
(у - arcsin*)2 = 1- х2. |
2531. |
На циклоиде * = a (t - sin t), у = a (l - cos t) найти |
|
точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отно шении 1 :3 .
|
2532. |
Дана астроида х = R cos31, |
у = R sin31 и точки на |
|
ней |
А (Д , О), В(0, Д). Найти на дуге |
АВ такую точку М, что- |
||
|
|
w |
|
и |
бы длина дуги AM составляла четверть длины дуги А В . |
||||
|
|
д , |
. i |
|
|
2533*. Найти длину линии (f’)3 + [ ! Т |
= |
||
|
2534. Найти длину линии х = a cos51, |
у = a sin5 t . |
||
2535. |
Найти длину дуги трактрисы |
* = a (cos* + lntg|-), |
||
у = a sin t |
от ее точки (О, а) до ее точки (х, у). |
|||
2536. Найти длину дуги эвольвенты окружности |
||||
|
|
* = i?(cos* + *sin*), у = R(sint -tcost) |
||
(от |
= 0 |
до t2 = п ). |
|
|
2537. Вычислить длину дуги линии |
|
|
||
168 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
2538. Найти длину петли линии х = t2 , у = t - /3
2539. По окружности радиуса а, вне и внутри ее с одинако вой угловой скоростью катятся (без скольжения) две окружно сти с радиусами, равными Ъ. В момент f = О они касаются своими точками М 1 и М 2 точки М неподвижной окружности. Показать, что отношение путей, проходимых точками М i и М2
за произвольный промежуток времени f, постоянно и равно
(см. задачу 2493).
2540. Доказать, что длина дуги линии
|
х = f"(t) cos t + /'(f) sin f , у = -/'(f)sin t + f'(t)cos f, |
||||||
соответствующей интервалу (fx, f2), |
равна [/(f) + f"(t)] 2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
*i |
2541. Применить результат предыдущей задачи к вычисле |
|||||||
нию |
длины |
дуги |
линии |
х = el(cos f + sin f), у - |
e*(cos f - sin f) |
||
(от f! |
= 0 |
до |
f2 = f ). |
|
|
|
|
2542. Доказать, что дуги линий |
|
|
|||||
|
|
=f'(t)s |
X = |
J/=(p(t)+f({) и |
t' (, t t,) s i n |
||
|
x |
i n ( |
у- |
=f'(f)c oct s+o( sp |
|||
соответствующие одному и тому же интервалу изменения пара метра f, имеют равные длины.
2543. Найти длину дуги архимедовой спирали |
р = аср от на |
|||||
чала до конца первого завитка. |
|
|
|
|
||
2544. |
Доказать, |
что дуга |
параболы |
у = - ^ х 2, |
соответ- |
|
|
|
|
|
Zp |
|
|
ствующая интервалу |
0 < х < а , |
имеет ту же длину, что и дуга |
||||
спирали р = рср, соответствующая интервалу 0 < р < а. |
|
|||||
2545. |
Вычислить |
длину дуги гиперболической |
спирали |
|||
РФ = 1 (от |
= | до |
ф2 = | ). |
|
|
|
|
2546. Найти длину кардиоиды р = a (l + совф). |
|
|
||||
2547. Найти длину .линии р = asin3|- (см. задачу 2505). |
||||||
2548. Доказать, что длина линии р - |
a sinm |
(т |
- целое |
|||
число) соизмерима с а при т четном и соизмерима с длиной окружности радиуса а при т нечетном.
170 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
2557. Симметричный параболический сегмент, основание которого а, высота А, вращается вокруг основания. Вычислить объем тела вращения; которое при. этом получается («лимон»
Кавальери). |
|
|
|
2558. Фигура, ограниченная гиперболой |
х2 - у2 = а2 и пря |
||
мой x = a + h {h > О), вращается вокруг |
оси абсцисс. Найти |
||
объем тела вращения. |
|
|
|
2559. |
Криволинейная |
трапеция, огрдниченная линией |
|
у = хех |
и прямыми х = 1 |
и у = 0, вращается вокруг оси абс |
|
цисс. Найти объем тела, которое при этом получается.
2560. Цепная линия у = ch х вращается вокруг оси абсцисс.
При этом получается поверхность, называемая к атен ои дом . Найти объем тела, ограниченного катеноидом и двумя плоско стями, отстоящими от начала на а и Ь единиц и перпендику лярными к оси абсцисс.
2561. Фигура, ограниченная дугами парабол у = х 2 и у2 =
= Ху вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела, ко торое при этом получается.
2562. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс трапеции, лежащей над осью Ох и ограниченной лини
ей (х - 4)у2 = х (х - 3).
2563. Найти объем тела, полученного от вращения криволи нейной трапеции, ограниченной линией у = arcsin х , с основа
нием [0, l] вокруг оси Ох.
2564. Вычислить объем тела, полученного от вращения фи гуры, ограниченной параболой у = 2х - х 2 и осью абсцисс, во
круг оси ординат.
2565. Вычислить объем тела, которое получится от враще ния вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной дугой синусоиды у = sin х , соответствующей полупериоду.
2566. Лемниската + y 2J = а2^х 2 вращается вокруг
оси абсцисс. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, которая при этом получается.
2567. Вычислить объем тела, образованного вращением во круг оси абсцисс фигуры, ограниченной линией:
1) х 4 + у4 = а2х 2; 2) х4 + у4 = х 3 .