книги / Метод конечных элементов. Основы
.pdfдля изопараметрического представления шестигранника с линей ным распределением перемещений. Поле перемещений для прямо угольной формы этого элемента, задаваемого формулой (10.16), записывается непосредственно через безразмерные координаты (£, Л* О* изображенные на рис. 10.9. Таким образом, выполняя опе рации, описанные в разд. 8 .8, можно непосредственно построить изопараметрическую форму этого элемента. Однако алгебраические
Рис. 10.10. Шестигранный элемент, используемый в качестве искривленного обо лочечного элемента.
сложности таковы, что явное выражение для результирующих коэф фициентов жесткости получить затруднительно даже для этого элемента, являющегося самым простым из шестигранников. В об щем случае является существенным численное определение соот ветствующих энергетических интегралов. Читателю рекомендуется обратиться к работам [10.13—10.15] для ознакомления со многими аспектами формулировок изопараметрических трехмерных эле ментов.
Изопараметрические трехмерные элементы полезны также для представления оболочечных конструкций. На рис. 10.10 изображен двадцатиузловой изопараметрический элемент, построенный в виде, удобном для анализа подобных задач. Применение этих элементов при анализе толстых оболочек дает прекрасные результаты, однако при уменьшении толщины элемента получаемое решение не стре мится к решению для тонких оболочек. Как указывалось в п. 9.3.2, это происходит потому, что возникают члены, характеризующие избыточную жесткость в представлении энергии деформации сдвига. В работах [10.16] и [10.17] показано, что можно получить хорошие
Stress Analysis.—Ргос. of Symp. on High Speed Computing of Elastic Stru ctures, Univ. of Liege, Belgium, 1970, 1, p. 413—432.
10.14. Ergatoudis J., Irons В. M., Zienkiewicz О. C. Three-Dimensional Analysis of Arch Dams and Their Foundations.—Symp. on Dams at the Institution of Civil Engs , London., Mar. 1968.
10.15.Irons В. M. Quadrature Rules for Brick Based Finite Elements.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1971, 3, No. 2, p. 293—294.
10.16.Pawsey S. F., Clough R. W. Improved Numerical Integration of Thick Shell Finite Elements.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1971, 3, p. 575—586.
10.17.Zienkiewicz О. C., Taylor R. L., Too J. M. Reduced Integration Technique
in General Analysis of Plates and Shells.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1971, 3,
p.275—290.
10.18.Wilson E. et al. Incompatible Displacement Models.— In: Numerical and Com puter Methods in Structural Mechanics, S. J. Fenves et al. (eds.).—New York, N. Y.: Academic Press, 1973, p. 43—57.
10.19.Gallagher R. H., Padlog J., Bijlaard P. P. Stress Analysis of Heated Comp lex Shapes.—ARS J., May 1962, 32, No. 5, p. 700—707.
СПЛОШНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ: ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
На практике при проектировании конструкций существуют две ситуации, когда напряженное состояние в теле трехмерно, но его можно исследовать с помощью двумерных пред ставлений; это — соответственно плоское деформированное и осесим метричное состояния. В данной главе рассматриваются указанные ситуации, а также особый случай несжимаемых материалов, ха рактерный для всех классов упругих конструкций.
Плоское деформированное состояние возникает тогда, когда раз мер конструкции в одном из направлений, скажем в направлении оси г, велик по сравнению с размерами в других направлениях (в направлении осей х и у), а прикладываемые нагрузки действуют в плоскости х — у и не меняются в направлении г. Пожалуй, наибо лее важные практические приложения — это представления, свя занные с расчетом плотин, туннелей и других геотехнических со оружений, хотя в плоском деформированном состоянии при опре деленных нагрузках находятся и такие небольшие по размеру кон струкции, как стержни и ролики. Основные аспекты конечно-эле ментного представления для анализа плоской деформации описаны в разд. 1 1 .1 .
Еще один частный класс трехмерных задач порождается осесим метричными конструкциями. Многочисленные инженерные объек ты в области машиностроения, ядерной и аэрокосмической промыш ленности, включая бетонные и стальные резервуары, ядерные реак торы, роторы, поршни, оболочки и ракетные двигатели попадают в класс осесимметричных конструкций. В отличие от общих трех мерных задач здесь для задания соотношений используются цилин дрические, а не прямоугольные координаты. В некоторых случаях получающиеся упрощения выражений компенсируются за счет усложнения процесса интегрирования энергии деформации при получении матрицы жесткости.
Осесимметричные конструкции часто нагружаются осесимметрич но, что позволяет еще больше упростить процесс формулировки
элементов. Этот случай рассмотрен в разд. 11.2. Однако в некоторых задачах проектирования нагрузки несимметричны. В таких слу чаях исследователь должен решить, будет ли он разлагать рассмат риваемые представления по гармоникам в окружном направлении или использовать аппарат общего трехмерного анализа. С точки зрения экономичности вычислений целесообразно использовать первый подход, который подробно описывается в разд. 11.3.
Для несжимаемых материалов, таких, как резина, с коэффициен том Пуассона ц=0.5, характерные трудности связаны с построе нием выражений для потенциальной энергии, так как члены матри цы преобразований от деформаций к напряжениям делятся на ве личину (1— 2 р). Однако, чтобы обойти эти трудности, можно легко модифицировать традиционный подход, основанный на рассмотре нии потенциальной энергии. В этом случае также выгодно исполь зовать подходы, базирующиеся на рассмотрении дополнительной энергии или функционала рейсснеровского типа. В разд. 11.4 изу чаются оба класса операций при исследовании несжимаемых ма териалов.
11.1. Плоско-деформированное состояние
Условия плоского деформированного состояния изображены на рис. 11.1. Прямоугольный стержень, размер которого в направле нии оси z больше, чем в направлениях х и у, закреплен так, чтобы
исключить смещения вдоль оси г. Нагрузки Т зависят лишь от ко
те*. >0 |
i i l L L L i i i i
ТТТТТТТПТ
Рис. 11.1. Условия при анализе плоского деформированного состояния.
ординат х н у . Заметим, что при указанных условиях продольная деформация е2 и касательные напряжения тхг и i yz равны нулю. Полагая в соотношениях между деформациями и напряжениями
нии ничто не препятствует, поэтому предположение, что ez= 0, не выполняется. В этих случаях обычно полагают ez=const (случай
обобщенного плоского деформированного состояния). Чтобы постро ить конечно-элементное представление для этого случая, можно использовать соотношения трехмерной теории упругости (10.3), связывающие напряжения с деформациями, полагая уЖ1= у у1= 0 и ez=const. Деформации гх, е„ и уху выражаются через предполагае мые поля перемещений и и о обычным образом. Результирующие гло бальные уравнения жесткости формулируются затем в терминах узловых значений величин и и о и одной константы в*.
11.2. Осесимметричные тела
11.2.1. Основные соотношения
Осесимметричный конечный элемент имеет форму кольца постоян ного поперечного сечения. Элемент задается в цилиндрической сис теме координат, ось симметрии которой г, а радиальное расстояние определяется координатой г. Бесконечно малая площадка попереч ного сечения такого элемента, включая участок внешней поверх
Рис. 11.2. Элементарная площадка попе речного сечения для осесимметричного спло шного элемента.
ности ds, лежит в плоскости г — г, как показано на рис. 1 1 .2 . Ок ружная координата, не участвующая в данном рассмотрении, зада ется углом 0. Узлы элемента, по сути, представляют собой узловые окружности. Поэтому расчет осесимметричных тел при осесиммет ричных нагрузках сводится к расчету двумерной задачи, так как поле перемещений может описываться только двумя компонентами в плоскости поперечного сечения, а именно радиальным перемеще нием и и осевым смещением w.
Соответствующими компонентами деформации в цилиндрических координатах являются радиальная ег, окружная е0, осевая е2 и сдвиговая yrz деформации; соответствующими компонентами на пряжений — компоненты аг, ае, ах и %гг. Окружные напряжения и деформации существуют благодаря тому, что равномерное радиаль ное смещение увеличивает длину окружности. Приведем линейные
соотношения между деформациями и перемещениями [1 1 .1]
ди |
и |
dw |
ди , дш |
(11.4) |
|
Яг ~ дг ’ 8в — 7 • |
е* — дг ’ |
^ Г2~ д г ^ " д г |
|||
|
|||||
и уравнения состояния |
|
|
|
|
|
|
о=[Е]е—[Е] einit, |
|
(4.15) |
||
где |
|
|
|
(11.5) |
|
о = 1 о , о в о 2 хг г _\\ |
|
||||
г = |
L ег ®е е , Yr* J т > |
|
(1 1 .6) |
||
glnii _ |
^ glnit emlt gHiit у nit JT |
(H.7) |
|||
|
|
|
|
Вчастности, для изотропного материала при изменении температуры
Гпо сравнению с температурой свободного от напряжений тела
имеем e^nit= e 0nlt=e^nit= aT , у^и=0. Матрица упругих констант совпадает с матрицей для плоско-деформированного состояния лишь с тем отличием, что здесь для учета третьей компоненты напряже
ний необходимо добавить строку и столбец. Для |
изотропного мате |
||||
риала имеем |
|
|
|
|
|
|
|
'(1 - ц ) |
|
|
1 |
[Е] |
|
р |
О — М-) |
(Симметрично) |
|
О + ц Н ! ^ ) |
р |
р |
(1 —р) |
» (1 1 -8) |
|
|
|
|
О |
О |
( 1 - 2 р ) |
|
|
|
|
где строки и столбцы записаны так, чтобы соответствовать векторам напряжений и деформаций (11.5) и (11.6).
Благодаря осевой симметрии в выражении для потенциальной энергии интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по площади. Бесконечно малый элемент объема, отвечающий беско
нечно малой |
площади, изображенной |
на рис. 1 1 .2 , равен d (vol)=* |
= 2ял2Л, а |
площадь поверхности, |
соответствующая длине ds, |
равна dS=2nrds. Поэтому выражение для потенциальной энергии примет вид
Ц р = я J е [Е]ъг dА — 2я J е [Е] einitr dА—
А |
А |
|
—2я J (и • T r + w T z) rds, (11.9) |
|
s |
где е, 8,nit и [El определяются согласно (11.6)—(11.8), а Тг и Т%— заданные усилия на единицу площади поверхности.