книги / Метод конечных элементов. Основы
.pdfлении элементов высокого порядка (см. рис. 8.14) автоматически указывает место расположения узлов. Заметим далее, что изобра женные на этих рисунках массивы в точности соответствуют раз личным уровням в треугольнике Паскаля. Поэтому каждому по рядку интерполяции в треугольных координатах отвечает полное полиномиальное представление соответствующего порядка. Ранее отмечалось значение понятия полноты и, по-видимому, по этой при чине треугольные элементы занимают особое место в конечно-эле ментном анализе. Другая причина их распространенности состоит в возможности гибкого их использования при представлении гео метрических объектов сложной формы.
8.6. Тетраэдральные элементы
Изображенный на рис. 8.15 тетраэдр есть трехмерный аналог пло ского треугольного элемента. Подобно случаю плоского треуголь ного элемента определение функций формы и интегрирование энер гии деформации осуществляются здесь в тетраэдральных коор динатах, которые являются аналогом треугольных координат из разд. 8.5.
Рис. 8.15. Базисный тетраэдр.
Местоположение точки внутри тетраэдра, полный объем кото рого обозначен через (vol), можно определить при помощи следую щего набора отношений:
, |
_ (vol)x |
Г _ (vol)2 |
Г _ |
(vol)3 |
J _ |
(vol)4 |
/Q о 7ч |
1 |
(vol) ’ |
(vol) * |
Ь з ~ |
(vol) ’ |
b 4 ““ |
(vol) ’ |
{° ^ /} |
где (vol)* ( /= 1 , .,4) обозначает объем, заключенный между линиями, соединяющими точку с вершинами тетраэдра, противо лежащими вершине i. На рис. 8.15 изображен (vol)i. Величины Lu . ., L4 представляют собой тетраэдральные координаты. С уче том (8.27) имеем
(8.28)
и, дополняя это уравнение соотношениями между декартовыми коор динатами точки ху у у z и тетраэдральными координатами, получим
Обращая матрицу, заключаем, что
где (VOL)i— объем, заключенный между стороной тетраэдра 1 и лучами, проходящими через ее вершины и начало координат; (vol) равен одной шестой значения детерминанта выписанной выше (4х4)-матрицы, a Ci., С2. и С3.— детерминанты возникающих при обращении (Зх 3)-подматриц.
Имеющаяся аналогия между тетраэдральными и треугольными координатами позволяет применить изображенный на рис. 8.16 тетраэдр Паскаля при определении совокупности членов разло-
Рис. 8.16. Обобщение на трехмерный случай треугольника Паскаля.
жения для полных полиномов любого порядка, задаваемых в узло вых точках элемента, а также функций формы, соответствующих
указанным |
полиномам. Типичная тетраэдральная функция формы |
|
помечается |
четырьмя нижними |
индексами в виде Npqrs и следую |
щим образом зависит от Lu |
., L4: |
т. е. представляется в виде произведения функций от соответствую щих объемных координат. Введение соответствующих нижних ин дексов аналогично случаю треугольных координат и иллюстриру ется для тетраэдрального элемента, построенного на базе квадра-
Рис. 8.17. Нумерация узлов для тетраэдрального элемента о квадратичным поли номиальным представлением.
тичных функций на рис. 8.17. Заметим, что сумма четырех индек сов должна равняться т = 2 в этом случае и порядку т выбранной функции в общем случае. Соответствующая формула для N h i= p , q или г дается опять выражением (8.11).
При интегрировании в объемных координатах будем иметь сле дующую формулу для типичного интеграла:
3{L V Lv L3, L4)= |
$ (^)-(L,)*(L,)e(L4)*d(vol)= |
|
|
vol |
|
|
6 (vol) al 6! cl d\ |
,0 |
~ |
( a + b + c + d + 3)Г |
|
Вследствие (8.28) только три из координат независимы, и поэтому можно упростить выписанное выражение. Предположим, что ис ключение (Lt)d приводит к следующему преобразованию интеграла
3( ):
3(Lt, L3, |
L ,)= |
J |
|
(vol), |
|
|
|
|
vol |
|
|
тогда имеем |
|
|
|
|
|
ci / r |
T |
T |
\ _ |
6 (vol) el f l g l |
(8.31a) |
J (L V |
L3, |
L3) ~ |
(e + H .£ +3)( |
Подробное исследование тетраэдральных координат приводится в 18.91.
8.7. Внутренние моды и редукция к простым формам
Ранее отмечалось, что желательно выписывать уравнения элемента, отвечающие узлам, расположенным лишь в вершинах и на сторонах элемента. С внутренними степенями свободы трудно оперировать. Также было показано, что внутренние степени свободы естественным образом вводятся при построении функций формы для элементов высокого порядка. Аналогичная ситуация возникает, если соотно шения выводятся на основе обобщенных координат, причем число указанных координат превышает число степеней свободы, отвечаю щих сторонам и вершинам элемента. Эти «дополнительные» обоб щенные координаты можно рассматривать как «внутренние» степе ни свободы. В этом разделе излагается два способа, с помощью ко торых можно исключить внутренние степени свободы. Кроме того, изучается вспомогательная задача построения функций формы для элементов с различным числом узлов на соответствующих сторонах элемента.
Рассмотрим сначала случай, когда внутренние степени свободы естественно возникают при построении функций формы для эле мента высокого порядка. В этом случае матрица жесткости эле мента может быть построена с использованием всех степеней, представленных в функции формы. Предположим, что внутренние степени свободы обозначены нижним индексом Ь, а степени свобо ды, отвечающие сторонам и вершинам элемента,— нижним индек сом с. Тогда построенная матрица жесткости может быть записана в виде
(8.32)
Во внутренних точках элемента силы {F&} будут известными вели чинами, полученными в результате рассмотрения энергетически эквивалентных нагрузок, приложенных сосредоточенных нагрузок и т. д., либо эти силы равны нулю, так как указанные точки не соприкасаются с другими элементами конструкции. Следовательно, исключение внутренних мод проводится в точности по схеме кон денсации из разд. 2 .8.
Здесь уместно отметить, что «внутренние моды» более точно наз вать как «дутые моды», т. е. моды, имеющие отличные от нуля амп литуды внутри элемента и обращающиеся в нуль на его сторонах. Это происходит в силу того, что амплитуда функции формы равна единице для рассматриваемой степени свободы и нулю для осталь ных степеней свободы.
Второй способ исключения нежелательных степеней свободы состоит в непосредственной модификации функции формы таким образом, чтобы она выражала только требуемое число параметров. По видимому, простейшей схемой исключения степеней свободы из
рассматриваемых выражений является введение соотношений, свя зывающих исключаемые степени свободы с оставшимися степенями. Рассмотрим, например, изображенный на рис. 8.14(a) треугольный элемент, построенный при помощи квадратичного поля перемеще ний, функция формы для которого подробно изучалась в разд. 8.5. Предположим, что необходимо исключить узел ПО. Можно потре бовать, чтобы перемещение вдоль данной стороны было линейно;
тогда А ц 0 = ( Д 2о о + |
А |
о 2о) / 2 , |
и , подставляя в полное выражение для |
|||
поля |
перемещений, |
получим |
|
|||
|
л = |
л г * „ „ д 200 |
I М()20 A |
020 + N 0 0 2 A 002 I |
N 0 1 1 ^ 0 1 1 + N 101^101» |
|
ГДе |
А/эдо |
(М 200- 1~ |
2^11о)» |
М^20==(М о20- Ь 1/2 М ц о). |
||
Предложенный |
|
подход |
может быть |
успешно применен и для |
прямоугольных областей. Например, выше была указана необхо димость исключения внутреннего узла изображенного на рис. 8.7(b) прямоугольного элемента с биквадратным полем перемещений. Пе ремещение в этой точке можно задать в виде среднего значения от перемещений на серединах сторон: A6=V 4(A2+ A 4+ A e+ A 8). Можно также включить при усреднении и узлы в вершинах прямоуголь ника с помощью взвешенного учета соответствующих степеней свободы. Таким образом, можно выписать набор различных выра жений в терминах заданной сокращенной системы степеней свободы.
Более элегантный подход [8.10] к построению специальных функ ций перемещений можно осуществить с помощью процедуры, вклю чающей суперпозицию отдельных функций перемещений. Прежде чем приступить к реализации данного подхода, который здесь будет использован только для прямоугольных элементов, удобно выра зить функции формы в терминах безразмерных координат (£, ri) с началом в центре прямоугольника. В этой связи функции формы для прямоугольников задаются в физической системе координат (х, у), начало которой расположено в вершине прямоугольника.
Чтобы осуществить это преобразование (см. рис. 8.18(a)), ис пользуем соотношения 1=(х—х5)/(хъ—хг) и г] = (у—у ъ)1{уъ—#0 , где хъ и уъ— координаты центра прямоугольника, а ^ и у г— коор динаты нижней левой вершины. Тогда безразмерные координаты четырех угловых точек всегда равны + 1 или —1 .
Рассмотрим теперь построение функции формы для прямоуголь ного элемента с биквадратным полем перемещений, в котором не обходимо исключить внутреннюю точку (см. рис. 8.18(a)). Функцию формы для лежащего на стороне элемента узла 2 можно получить в виде произведения квадратичной функции (1—£2), соответствую щей направлению вдоль рассматриваемой стороны, и линейной функ ции V2(l—rj) для перпендикулярного направления. Поэтому пол ная функция формы для этой точки равна N 2=1/2(1—Е2) 0 —л)- Построение функции формы для угловой точки приводит к более сложной задаче. Во-первых, как показано на рис. 8.18(b) для точки
1 , билинейная функция дает ненулевые смещения в точках 2 и 4 . Задать нулевые смещения в этих точках можно, вычитая из данной функции 1/2 функции формыМ2(см. рис. 8.18(c)) и 1/2 функции формы М4. [Согласно предыдущим рассуждениям, Л^4= 1/ 2(1—I) (1—г]а).]. Следовательно,
Wi=V4(l - l ) (l-r|)-V4( l- £ 2) (1-л) - V4(l-g) (1-л2).
Можно показать, что полиномиальные коэффициенты, входящие в рассмотренные функции, лежат в отмеченных на рис. 8.18(c) областях, т. е. они отвечают квадратичным функциям, соответству-
Рис. 8.18. Непосредственное построение поля перемещений для восьмиузлового прямоугольного элемента.
ющим разложениям вдоль сторон, умноженным на линейные функ ции в перпендикулярном направлении. С помощью изложенной методики схема легко распространяется на построение выражений любого порядка вдоль сторон элемента для двух- и трехмерного случаев.
9 № 2 5 4 7
8.8. Изопараметрическое представление [3.11]
Изопараметрические элементы — это элементы, в которых функции, используемые для представления поведения при деформировании, используются также и для описания геометрических характеристик элемента. Построение изопараметрического элемента представляет собой «преобразование» безразмерного прямоугольного элемента с заданным числом узлов в реальный криволинейный элемент с тем же числом узлов. Так, если функции, задающие поле переме щений в формулировке, основанной на принципе минимума потен-
Рис. 8.19. Изопараметрические элементы.
циальной энергии, суть кубические полиномы, стороны элемента описываются теми же кубическими функциями. Если межэлементно совместные поля перемещений выбираются для описания геоме трических характеристик элемента, то в объединенной аналитиче ской модели деформированный элемент состыковывается с любым подобным ему соседним элементом без разрывов геометрических характеристик.
В двумерном анализе простейшим четырехсторонним изопараметрическим элементом является изображенный на рис. 8.19(a) элемент, в котором для обобщения прямоугольника на случай про извольного четырехугольника используется линейное поле. Луч шее задание криволинейных сторон достигается для элементов более высокого порядка, например изображенных на рис. 8.19(b) и (с),
где квадратичные и кубические функции, используемые для пред ставления перемещений, применяются также для задания границ. Представляют, кроме того, практический интерес изображенные на рис. 8.19(d) и (е) элементы смешанного типа с различным числом узлов на каждой стороне и при наличии или отсутствии внутренних узлов.
Несущественно, что те же самые функциональные представления для перемещений используются и для задания геометрических ха рактеристик элемента. Если порядок функций, представляющих геометрические характеристики, ниже порядка функциональных представлений для перемещений, то рассматриваемые элементы называются субпараметрическими; если же порядок функций, за дающих геометрию, выше, то элементы называются суперпараметри ческими. Изопараметрические, суб- и суперпараметрические конеч но-элементные представления являются, пожалуй, наиболее важ ными при анализе трехмерных упругих тел. Соответствующие вопросы рассматриваются в гл. 10. Трехмерный анализ обычно тре бует чрезвычайно большой памяти ЭВМ. Если конструкция имеет криволинейную поверхность, то при регулярном конечно-элемент ном представлении обычно требуется большое число элементов для воспроизведения геометрических характеристик конструкции без существенного улучшения в представлениях полей напряжений или перемещений. Поэтому представление с помощью изопараметрических элементов уменьшает затраты на описание геометрии.
Для описания операций, выполняемых при построении изопараметрических элементов, достаточно рассмотреть двумерный слу чай. На первом шаге требуется задать систему безразмерных коор динат (£, у\) с началом в центре элемента. Эти операции рассмотре ны в разд. 8.7 для плоского прямоугольного элемента. Заметим
еще раз, что для |
любого прямоугольника |
%=(х—хс)/(хс—хг) и |
у\= (у—У с ) / ( У с —Hi)> |
где *с и У с — координаты |
центра прямоуголь |
ника, а ^ и ух— координаты нижней левой угловой точки. Вспом ним также, что безразмерные координаты четырех угловых точек
всегда равны +1 |
или —1 (см. рис. 8.19(a)). |
На втором шаге необходимо выразить функции формы |_ N J = |
|
= |_ Ni . . Mt |
Nn J в терминах безразмерных координат. При |
билинейной интерполяции, например, имеем (для узлов, опреде ленных на рис. 8.19(a))
L N j =V 4L (1—Ю(1—'п) (1+ 0 (1- 11) (1 + 0 (1+л) (1 0(1+ч) J •
Определим функции формы, которые в силу сказанного записы ваются в виде |_ N (I, л) J . и зададим координаты х н у элемента в виде
* = l _ N ( ! , n ) J { x } . |
У= L N (I, л ) J ( У >* |
( 8 . 3 3 ) |
где {х} и {у} включают координаты х и у узловых точек элемента,
{х }=l_*i- .*<• .*п _|т, |
{y}=|_«/i- -Уь -УпА1- (8.34) |
||
Таким образом, x = x t, y= yi |
в точке i. Соответственно имеем |
|
|
“ =LN(£,Tl)_M u}, |
t>= L N (I, n) J {V}, |
(8.35) |
|
где {u }= L «i «г «з «4 J T, |
{v )= |
L yi v 2 v3 J T. |
|
Чтобы построить матрицу жесткости элемента, необходимо най ти деформации, которые в свою очередь являются производными по х и у от перемещений. Однако теперь перемещения являются функ циями от координат £ и г]. Следовательно, необходимо найти связь между производными по х и у и производными по £ и т]. Это можно осу ществить, применяя правило дифференцирования сложных функций. Получим
dN, |
_ |
дх |
d N i |
|
ду |
d N t |
d l |
~ |
dt |
дх |
+ |
дЪ |
ду ’ |
dNt- |
= |
дх |
d N { |
I |
^ |
0N j |
дц |
|
drj |
дх |
' |
dr] |
ду |
Используя (8.33), определим |
|
дх/д\— [_<9N/d|J {х} и |
аналогичным |
|
образом дх/дг\ и т. д. Поэтому (8.36) |
можно записать в виде |
|||
dNi . |
|
dNt \ |
|
|
д1 |
|
= [J] |
дх |
(8.37) |
dNi |
[ |
dNi |
||
. dl) |
/ |
|
1 ду |
|
где |
|
|
|
|
[*1]гХ2 — |
|
|
[W M W |
(8.38) |
|
|
2 |
хп |
|
Как принято в матричной алгебре, матрица первых производных,
т. е. (2 х 2)-матрица IJ ], называется |
матрицей 0коби. |
|||||
Для |
иллюстративного |
случая |
билинейного |
элемента (см. |
||
рис. 8.19(a)) |
имеем |
|
|
|
||
|
[ w |
\ = Т L —С1 —Л ) (1—'Л) 0 -И) —0 + |
Л ) - 1 . |
|||
|
|
j = 4 L —0 - I ) - (1 - I ) (1 + 1) О + 6) J • |
||||
Поэтому |
верхний |
левый элемент в [J] равен |
|
|||
|
|
j 11 = |
1/41(1—Т]) |
(Хг— *i)+ (l+Tl) (Jfs—Х4)1. |
Аналогично находятся выражения для Лг, J и и J 22.
Левая часть соотношения (8.37) задана, а вектор в правой части следует найти. Поэтому для получения требуемой информации, необходимо обратить [J]. Может случиться, что проектировщик задает систему реальных узлов (т. е. координаты узлов х\, и т. д.), которая недопустима, т. е. возникает ситуация, когда матри ца [J] вырождена. Операция обращения матрицы [J] чувствительна к определенным отклонениям от основной прямоугольной формы и, кроме того, к местоположению узлов на сторонах элемента [8.13I. Для биквадратных элементов, например, лучше всего располагать узлы в средней точке между соседними узлами, лежащими в вер шинах.
Теперь можно изучить вопросы использования изопараметрических элементов при построении матрицы жесткости элемента. Соот ношения между деформациями и перемещениями имеют обычный вид 8 = [D] {Л}, где деформации е относятся к декартовой системе координат (х, у). Поэтому [D] содержит производные функций фор мы по декартовым координатам. Для плоского состояния имеем, согласно (5.22),
(8.39)
Поэтому для определения [D] необходимо использовать преобра зование (8.37).
Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид <т=[Е]е, а элементарная площадь dx dy при интегрировании заме
няется на |
(8.40) |
dxdy= IJI d\dx\, |
где | J | — детерминант матрицы [J ]. Кроме того, интегрирование выполняется в пределах от —1 до +1. Теперь можно записать обыч ную формулу для матрицы жесткости элемента (6 .12а), выбирая в направлении z единичную толщину:
Т 1 I 1
п о - $ [D]T [Е] [D] dA = 5 $ [D]T [Е] [D] det | J | сЩdy\ . (8.41)
Очевидно, что выражение для [J] является весьма сложным даже в простейшем случае билинейного элемента. Поэтому задание яв ных выражений для [к] невозможно, и коэффициенты матрицы долж ны определяться путем численного интегрирования [8 .121.
В связи с вопросами выбора функций формы для изопараметрического представления интересно отметить, что, если моды движе