5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня

Давайте рассмотрим теперь модель, состоящую из двух упругих стержней, слабо взаимодействующих друг с другом (рис. 1.9 а). Дис­ кретный аналог этой модели показан на рис. 1.9 Ь. Он состоит из двух прямых цепочек дисков, связанных друг с другом продольными и по­ перечными пружинками. Предполагается, что каждый диск может (i) двигаться вдоль своей цепочки (продольные движения), (и) двигаться перпендикулярно этой цепочке (поперечные движения) и (iii) вращаться (крутильные движения).

5.3.1. Общий случай: гамильтониан

Как и следовало ожидать, общая форма гамильтониана, состоящего из нескольких слагаемых,

совпадает с формулой (4.27) за исключением только одного: каждое из слагаемых содержит, кроме гармонических (квадратичных относитель­ но амплитуды смещений) слагаемых, слагаемые более высокого порядка (ангармонические слагаемые). Так же как и в случае уравнения (4.27),

слагаемые н [%\ н [г^ и уравнения (5.36) описывают вклад про­ дольных, вращательных и поперечных движений дисков в i-й цепочке

(г = 1,2); слагаемые H [%V Н\г} Ьти н [г\ г описывают взаимодействия меж­ ду движениями дисков в той же самой (г-й) цепочке; слагаемое Н ^~ 2^ описывает взаимодействие между цепочками через поперечные пружин­ ки, и его форма очень похожа на формулу (4.28)

5.3.2. Общий случай: динамические уравнения

Запишем уравнения, отвечающие гамильтониану (5.36). Это легко сделать, если принять во внимание вид соответствующих уравнений, по­ лученных в линейном приближении (см. уравнения (4.34)-(4.36)). Тогда общий вид нелинейных уравнений, имитирующих продольные движения,

можно записать как

М йп<1 = К[ (un+i,! - 2«„д - Ип-хд) + нелин. слаг. + взаимод.;

(5.38)

Miin,2 = К 21(«„+1,2 - 2«п>2 - «„_ 1,2) + слаг. + взаимод.

Уравнения, описывающие крутильные колебания, можно представить как

w К ь — жесткость поперечных пружинок.

Точная форма нелинейных слагаемых и слагаемых, описывающих взаимодействия, в уравнениях (5.38)-(5.40) пока еще не найдена, и, бо­ лее того, никто пока не пытался сконструировать ее и рассмотреть нели­ нейную задачу в общем случае. Однако известно о нескольких упрощен­ ных подходах к решению общей задачи. Один их них был представлен в работе Йомосы [16,17], Такено и Хомма [18,19], Федянина и соав­ торов [23,24], Жанга [28] и Якушевич [26].. Мы будем называть со­ ответствующую приближенную модель У-моделью. Другой подход был развит в работах Пейарда и Бишопа [34,262]. Еще один подход был предложен Муто и соавторами [32]. Другие версии были предложены Христиансеном и соавторами [258] и Жангом [47], Ксиао и соавтора­ ми [263], Жангом и Коллинсом [264], Барби и соавторами [265,266] и [267]. Ниже мы опишем детально основные из этих моделей.

5.3.3. Y-модель

У-модель можно рассматривать, с одной стороны, как улучшенную модель Инглэндера, подробно описанную в разделе 5.1, и, с другой сто­ рона, как частный случай общей задачи (5.38)-(5.40). Улучшение мо­ дели связано с принятием во внимание вращательных движений осно­ ваний в обеих полинуклеотидных цепочках молекулы ДНК, в то время

как в модели Инглэндера учитывались лишь вращательные движения оснований в одной из двух полинуклеотидных цепочек. Вторая цепоч­ ка играла роль источника потенциального поля, которое было аналогом гравитационного поля в механической модели Скотта. Это улучшение привело к двум связанным нелинейным уравнениям [26]

1ф>2 = К1а212ср2Х1 + К Ь12 [2sin 992 —sin (ip2 + фi)]

вместо одного уравнения вида (5.2). Чтобы проиллюстрировать, как можно получить уравнения (5.41), удобно начать с дискретной версии модели двойного стержня, показанной на рис. 1.9 Ь, а затем перейти к континуальному пределу.

5.3.ЗЛ. Дискретный случай

Дискретный аналог У-модели состоит из двух цепочек дисков, свя­ занных между собой продольными и поперечными пружинками. Гамиль­ тониан такой модели имеет вид

Здесь г и п — номера цепочек и дисков соответственно (г = 1,2; п =

где К } — жесткость продольных пружинок г-й цепи, а Д7*;п,п+1 — удли­

Рис. 5.4. Поперечное сечение пары дисков

5.3.3.2. Непрерывный случай

Перейдем к континуальному пределу (i) заменив при этом в фор­ мулах (5.49) и (5.50) ipi'n (t) на <Pi(z,t) и (и) разложив у?*|П±i(t) в ряд Тейлора

до слагаемого, пропорционального <Pizz. В результате уравнения (5.47)- (5.50) примут вид

1\ф\ —к[12а2<р1ая —К^ (Д7/7) [(2Z2 + /70) sin cpi —l2sin (ср\ -\- <^>2)] \

12ф 2 = K b2l 2a 2^ 2zz - К ь (Д7/7) [(2/2 + По) sin - 12 sin (у>2 + ^)] ,

(5.52) где a — расстояние между ближайшими дисками в цепочках. Для ДНК

в В-конформации а приблизительно равно 3.4 А.

Н_елинейные уравнения (5.52) довольно сложны, так как коэффици­ ент А1/1

Al/l = 1 — IQ |^(21+ /о —Icosepi —lcosip2)2 Н- (/sin^?i —Zsin<£>2)2

(5.53) является функцией переменных <pi и ср2. Эти уравнения могут быть, од­ нако, упрощены, если мы предположим, что расстояние между дисками в парах пренебрежимо мало (lo < 1). Положив /о = 0, мы получим, нако­ нец, уравнения (5.41). Приближенный гамильтониан, соответствующий динамическим уравнениям (5.41), имеет вид

Н = J dz{I1<pl/2 + h<pl/2+ K[a2l2v \zj 2 + K^a2l2<plzj 2 -

(5.54)

—К ь12 [2cosy>i + 2cosy>2 —cos (<pi + <Pi)\}-