стэкингового взаимодействия между последовательными парами осно­ ваний. Раскрытие может исследоваться также методами ЯМР [143,144] и водородно-тритиевого обмена [145-147].

2.6.2. Поперечные смещения нуклеотидов

Другую группу движений, играющих важную роль в процессах раздвижения, составляют поперечные смещения нуклеотидов. Чтобы опи­ сать эти движения, удобно рассмотреть упрощенную модель молекулы, каждая нить которой представлена совокупностью точечных масс, соот­ ветствующих нуклеотидам. Продольными смещениями этих масс можно пренебречь, поскольку они не являются доминантными в,процессе раз­ деления нитей. В рамках такой модели основной вклад будут вносить поперечные смещения, приводящие к растяжению связей, соединяющих основания внутри пар (рис. 2.4 6).

2.7. Моделирование динамики ДНК

При изучении динамических механизмов биологических процессов, включающих ДНК, обычно появляется необходимость в привлечении каких-нибудь динамических моделей ДНК. Такие модели могут быть сконструированы самим исследователем, или он может воспользовать­ ся подходящими моделями, предложенными ранее другими авторами. В первом случае при построении новой модели важно знать основные принципы моделирования динамики ДНК. Во втором случае, при выбо­ ре одной из известных моделей, важно знать ограничения возможностей этих моделей и соотношения между моделями. В этом разделе мы обсу­ дим оба этих вопроса.

2.7.1. Основные принципы моделирования

Из-за сложности общей картины внутренней динамики ДНК мате­ матическое моделирование этой динамики довольно затруднено. В об­ щем случае оно требует детальной информации о физических парамет­ рах, таких как координаты, массы и моменты инерции структурных эле­ ментов, составляющих ДНК, а также о взаимодействиях между этими элементами. Кроме того, для моделирования всех возможных внутрен­ них движений необходимы очень мощные компьютеры. Задачу, однако, можно упростить, если конструировать приближенные модели, имитиру­ ющие только такие внутренние движения, которые дают основной вклад

в рассматриваемый процесс. Такой подход широко применяется в ис­ следованиях внутренней динамики ДНК. Опишем основные принципы конструирования моделей этим способом [148].

Чтобы сконструировать приближенную модель, прежде всего необ­ ходимо упростить общую картину внутренней подвижности молекулы ДНК. Это можно сделать путем отбора ограниченного количества вну­ тренних движений, которые являются доминирующими. Такой отбор можно выполнить различными способами, и это обстоятельство объ­ ясняет наличие большого количества предлагаемых моделей. Во-вторых, нам необходимо описать отобранные движения при помощи математи­ ческих уравнений. Это можно сделать прямо или через промежуточную стадию, заключающуюся в нахождении некоторого физического анало­ га (очень часто механического аналога) с тем же набором внутренних движений и взаимодействий. В-третьих, необходимо решить эти урав­ нения и дать интерпретацию найденным решениям в терминах пара­ метров, характеризующих внутреннюю динамику ДНК. Эти три стадии моделирования динамики ДНК будут многократно проиллюстрированы в последующих главах при конструировании разнообразных нелинейных моделей внутренней динамики ДНК.

2.7.2.Иерархия динамических моделей

Втом случае, если исследователь не планирует строить новую мо­ дель, а предпочитает воспользоваться подходящей моделью из числа тех, которые предлагались ранее другими авторами, лучше всего восполь­ зоваться специальным подходом, в котором каждая из этих моделей рассматривается как элемент некоторой иерархии. Такой подход авто­ матически дает нам информацию о возможных ограничениях моделей и о соотношениях между ними.

Эта иерархия может быть легко построена следующим образом. Предположим, что структурные модели, описанные в разделе 1.6.2, яв­ ляются не статическими, а динамическими. То есть все структурные элементы этих моделей подвижны. А поскольку эти модели уже были организованы в порядке возрастания их сложности, мы получаем автома­ тически иерархию динамических моделей (таблица 2.2). Опишем кратко эту иерархию.

Первый уровень иерархии включает модель упругого стержня, ко­ торая обладает тремя видами внутренних движений: продольные и вра­ щательные движения небольших элементов стержня, ограниченных при

помощи соседних поперечных сечений, и изгибные движения. К этому уровню относят также и дискретный аналог этой модели.

Второй уровень иерархии образован моделью двух эластичных стержней, слабо взаимодействующих друг с другом. В спиральной вер­ сии модели предполагается, что эластистичные стержни закручены друг относительно друга таким образом, что образуют двойную спираль. В прямой (неспиральной) версии модели спиральным характером ДНК пренебрегают. В обоих случаях модели обладают шестью видами вну­ тренних движений: продольными, поперечными и вращательными дви­ жениями в каждом из стержней. К этому уровню относят также дис­ кретные аналоги обеих версий.

Модели третьего уровня принимают во внимание тот факт, что каж­ дая из нитей ДНК состоит из трех атомных групп: сахаров, фосфатов и оснований, и имитируют движения этих групп как движения твердых тел, слабо взаимодействующих друг с другом. Чтобы рассчитать, сколь­ ко видов внутренних движений описываются этой моделью, необходимо учесть, что (1) в экстремальном случае, когда связи, соединяющие эти группы, отсутствуют, каждая группа имеет шесть степеней свободы и (2) каждая нить имеет три вида атомных групп. Таким образом, мы получа­ ем .36) степеней свободы (вместо трех в случае моделей первого уровня иерархии или вместо шести в случае моделей второго уровня). Однако если принять во внимание связи, соединяющие эти атомные группы, то число степеней свободы уменьшится.

Модели четвертого уровня описывают внутренние движения в «ре­ шетке» с ячейкой, образованной ограниченной группой атомов (парой нуклеотидов), которая периодически повторяется вдоль молекулы ДНК. В этом приближении учитываются все смещения атомов нуклеотидов, но при этом мы фактически ограничиваем себя рассмотрением только однородных полимерных цепей.

Наконец, пятый уровень иерархии образован наиболее точными мо­ делями молекулы ДНК, учитывающими все движения всех атомов.

Поскольку все внутренние движения, упомянутые выше, могут быть описаны дифференциальными уравнениями, мы можем получить ряд ма­ тематических моделей, состоящих из трех (для моделей первого уров­ ня), шести (для моделей второго уровня) и более (для моделей третьего и более высокого уровней) дифференциальных уравнений, причем они будут выстроены в порядке увеличения сложности, то есть тоже будут образовывать иерархию.

В заключение, рассмотрим пример, иллюстрирующий применение иерархии динамических моделей. Предположим, что мы изучаем ди­