- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
Таблица 4.1. Скорости крутильных (vt) и продольных (vi) волн в ДНК
щ (cm/s) |
|
v\ (cm/s) |
|
1.3 |
[47] |
3.19 -г- 3.60 |
[219] |
|
|
2.11 ч- 2.2 |
[220] |
|
|
1.7 -г 4 |
[221] |
После дифференцирования уравнений (4.18) находим скорости про |
|||
дольных и крутильных акустических волн |
|
||
v i = d w i (q)/dq=(Y/p)l/2 |
|||
|
|
,,, |
(4-20) |
vt = dwt (q )/d q = (C /i )1/2 |
|||
Таким образом, в линейном |
приближении |
скорости крутильных |
|
и продольных волн являются константами и не зависят от волнового вектора q. Экспериментальные данные о скоростях акустических волн в ДНК собраны в таблице 4.1. Эти данные были использованы для на хождения взаимного расположения ветвей в спектре ДНК на рис. 4.2.
4.1.1.3. Изгибные движения
Чтобы получить уравнения для изгибных движений упругого стерж ня, предположим, что диски, показанные на рис. 4.1, могут совершать поперечные смещения уп в плоскостях, перпендикулярных оси цепочки. В континуальном приближении (а —>0) мы получим
Уп ( t ) -> у (па, t ) - * y (z, t) |
(4.21) |
Здесь y(z,t) — поперечное смещение эластичного стержня из положе ния равновесия. Сила, которая действует на единицу длины упругого стержня вследствие этого смещения, равна
F(z) = - B y ZZZZj |
(4.22) |
где В = I Y — изгибная жесткость стержня; I — момент инерции попе речного сечения стержня относительно оси стержня; Y — модуль Юнга.
Динамическое уравнение, описывающее изгибные движения, может быть записано тогда в виде
Рис. 4.3. Схематическое изображение акустической ветви (3), соответствующей изгибным колебаниям с частотой Wb
где S — площадь сечения стержня; р — линейная плотность (т. е. масса на единицу длины).
Предполагая решение уравнения (4.23) в виде плоской волны |
|
У = Уоехр {г (qz - wbt)} |
(4.24) |
и подставляя (4.24) в уравнение (4.23), найдем частоту изгибных коле баний ДНК
wb = (B/pS)1/2q2 |
(4.25) |
Соответствующая ветвь в спектре ДНК показана схематически на рис. 4.3. А для скорости распространения изгибных волн мы находим
vb = 2(B/pS)1/2q |
(4.26) |
В противоположность результатам, полученным в предыдущем раз деле для продольных и поперечных волн, скорость изгибных волн зави сит от волнового вектора q.
4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
Рассмотрим теперь более сложную математическую модель ДНК, которая принадлежит второму уровню иерархии, описанной в разде лах 1.6.2 и 2.7.2. В общем случае такая модель состоит из двух упру гих стержней, свернутых в двойную спираль. Однако в этой главе мы ограничимся рассмотрением более простого случая, когда спиральный характер структуры не принимается во внимание. Влияние эффектов
спиральности мы обсудим позднее в главе 6. Как и в предыдущем раз деле, рассмотрим сначала дискретную версию модели, а затем перейдем к континуальному пределу.
4.1.2.1. Дискретный случай
Дискретный аналог модели показан на рис. 1.10 b. Он состоит из двух цепочек дисков, связанных друг с другом продольными и попереч ными пружинками. Удобно обозначить буквой г номер цепи (i = 1, 2) и буквой п номер диска в цепочке. Каждый диск в цепочке (например, гс-й диск в г-й цепочке) обладает тремя степенями свободы. Он может двигаться вдоль цепи (продольное движение), он может двигаться пер пендикулярно цепи (поперечное движение), и он может вращаться во круг цепи (крутильное движение). Таким образом, в общем случае мы можем записать гамильтониан Н системы в следующем виде
Я = £ |
{ я « + |
+ я « + |
+ Я « г} , |
(4.27) |
<=1 |
k |
|
|
|
где слагаемые н[г\ Н^ и |
описывают вклад продольных, крутиль |
|||
ных и поперечных движений |
дисков в г-й цепи |
(г = 1, 2); |
слагаемые |
|
н[г} 1У н[г\ г |
и н[г} Ьг описывают взаимодействия между движениями |
|||
дисков в той же (г-й) цепи; слагаемое Н^г~2^ описывает взаимодействие между цепями посредством поперечных пружинок
Я и-2) = Я (1-2) + Я (1-2)
Если мы предположим, что в первом приближении внутренние
движения различных видов независимы, то |
слагаемыми н[г1ь, н[г11г |
И Я « г в гамильтониане Н можно пренебречь. |
|
Что касается слагаемых H ^ \ Н ^ и н £ \ |
то они имеют стандартный |
вид |
|
= £ {М й < $/2 + Я (* « м |
- «<*>)2/2} ; |
n,i |
|
Я « = £ { / 2 + к ( ^ +и - ^ ) 2/ 2 } ;
п,г
я£> = £ {М у% /2 + Ь (» й м - 2/S)2/ 2}
|
|
|
|
(4.30) |
где |
|
|
|
|
Я ^ 2) |
= Е - |
( ^ |
- п,2)2 / 2, |
|
|
п |
|
|
|
Я ^ 7 2) |
= Е /? (¥ Ч 1 -¥ > п,2)2/2, |
(4.31) |
||
|
п |
|
|
|
H t r - t r |
— 5 ^ 7 |
(Уп,1 ~ |
Уп,2) /2 . |
|
|
п |
|
|
|
Здесь М и / — масса и моменты инерции дисков; К, к и 6 — коэффици енты продольной, торсионной и поперечной жесткостей; а, (3 и 7 — ко эффициенты гармонических потенциалов, описывающих взаимодействия между дисками, принадлежащими различным цепочкам, но имеющими тот же самый индекс п.
Таким образом, в линейном приближении первоначальный сложный
гамильтониан Н разделяется на три независимые части |
|
н = нг + нп + Н 1П, |
(4.32) |
где
(4.33)
Таким образом, в рассматриваемом приближении мы можем иссле довать независимо три различные задачи. Первая из них касается про дольных внутренних движений в ДНК, вторая — крутильных движений, а третья — поперечных движений.
Давайте запишем динамические уравнения, соответствующие этим трем задачам. Уравнения, имитирующие продольные движения, будут иметь вид
-^/^71,1 — -К" (^71-1-1,1 2 Т" У>п —l,l) *Т & (^n,2 Un 11) }
Мйп%2 = К (un+1?2 —2иПу2 + ип- 1,2) + OL(иПу1—гхп>2)