книги / Сферическая астрономия
..pdfПоверхности, определяемые уравнениями IV = сопз!, называют ся эквипотенциальными, или уровенными. Применительно к Земле, одна из них, соответствующая среднему уровню моря в отсутствии волн, течений и приливных возмущений из-за воздействия Луны и Солнца, является геоидом. Строгое определение геоида при учете приливных деформаций дается в §3.5. Понятие «средний уровень моря» — условное; поэтому в «Стандартах МСВЗ» геоид определен числовым значением потенциала IV.
Линии, которые ортогональны к уровенным поверхностям, назы ваются силовыми линиями. В общем случае они не являются пря мыми линиями, а слегка искривлены. Вектор силы тяжести направ лен по касательной к силовой линии и определяет направление от весной линии.
Введем единичный вектор п, так что
то есть вектор п направлен вверх (в зенит).
Тогда угол между направлением отвесной линии в точке Р, или вектором п, и плоскостью экватора Земли называется астрономи ческой широтой точки Р. Проведем теперь через точку Р линию, па раллельную оси вращения Земли. Эта линия и отвесная линия в точ ке Р определяют плоскость меридиана, которая проходит через Р. Двугранный угол между плоскостями меридианов Гринвича и точ ки Р называется астрономической долготой точки Р.
Если астрономическая широта точки Р равна (ру астрономиче ская долгота равна Л, то вектор п имеет компоненты:
П = (сО З р СОЗ Л, С 08 р 81П Л, 81П ф ) . |
(3.9) |
Тогда из выражений (3.7), (3.8), (3.9) получим:
= —д собесов А,
]Уу = —рсо8<^8тЛ, |
(3.10) |
И'* = -дзт<р,
где д = |&|. Эти уравнения связывают прямоугольные координаты х, у, г точки Р, от которых зависит потенциал IV (3.6), и астрономи ческие координаты <р, А.
Дифференцируя потенциал силы тяжести ТУ = ТУ(х, у, г), полу
чим
ЭТУ^ ЭТУ, ЭТУ,
ш= зГь + аГ'!'+"&‘'г
или в векторном виде:
(Л И = §гас! ТУ З г = % З г , |
(3.11) |
где Зг — (Зх, Зу, йг).
Предположим, что мы поднимаемся по силовой линии от уровенной поверхности ТУо, совпадающей с уровнем моря, до поверх ности ТУ, проходящей через точку Р, на высоту Н. Высота Н точки Р, измеряемая вдоль силовой линии, начиная от геоида, называется ортометрической высотой. Если вектор Зтнаправлен вдоль силовой линии в направлении увеличения высоты Н , то его длина
\3г\ = ЗН,
а направление противоположно §. Следовательно, § • Зг = —дЗН и уравнение (3.11) принимает вид:
ЛТУ = |
(3.12) |
Уравнение (3.12) связывает высоту Н и потенциал ТУ:
н _ _ с™ ЛГУ
Интеграл вычисляется вдоль силовой линии, начиная от геоида (Н = О, ТУ = ТУо), до точки Р, через которую проходит уровенная поверхность ТУ.
3.2. Уравнение геоида
По определению, в каждой точке геоида сила тяжести направле на по нормали к поверхности, то есть по касательной к силовой ли нии. Геоид не имеет простой геометрической формы, однако бли зок к эллипсоиду вращения. Поэтому для изучения фигуры Земли вводят референц-эллипсоиды, аппроксимирующие геоид в некото рой области ее поверхности с той или иной точностью, или средний
земной эллипсоиду геометрические параметры которого определяют ся физическими параметрами (массой, сжатием, моментами инер ции) реальной Земли (см. § 3.3). Топографические особенности (го ры, впадины физической поверхности Земли) рассматривают как отклонения от выбранного эллипсоида.
Для вычисления приближенного уравнения геоида используем формулу (3.6) и вычислим потенциал притяжения тела произволь ной формы. Полученные выражения будут также использоваться при вычислении прецессионного и нутационного движения осей Земли.
Используем выражение для потенциала точки (3.1) и найдем по тенциал притяжения элемента массы йМ = рвУ тела произвольной формы в точке Р (р — плотность, зависящая от координат элемента объема дУ). Для этого определим систему координат Охуг с нача лом в центре масс тела (рис. 3.1).
Р
Рис. 3.1. Вычисление гравитационного потенциала в точке Р.
Будем считать, что точка Р расположена вне тела. Расстояние от точки О до элемента массы ЛМУнаходящегося в точке А с координа тами Хуу , г уравно Д, а до точки Р равно г. Тогда потенциал притя жения элемента ЛМ в точке Р
сам
(3.13)
где г' —расстояние от точки А до точки Р, ф —угол между отрез ками ОА и ОР. Найдем разложение знаменателя по степеням 1 /г до членов третьего порядка, предполагая, что 5 = ( ^ ) 2 —2 (^)со зф:
(1 + в) - ^ 2 « 1 - | « + | * 2 - ^ * 3 + . . . = |
|
|
||||||
= |
, |
Я |
, |
1 / Я \ 2 |
3 / Я \ 2 |
2 |
3 / Я \ 3 |
созф + . . . = |
1 + |
_ |
С08^ _ |
_ ^ |
+ - ( - ) |
с о з ф - - ( ~ ) |
|||
= |
, |
Я |
, |
/ Я \ 2 |
3 / Я \ 2 . 2 |
|
. . . . . |
|
1 + - с о в ^ + ( - ) - |
2 ( 7 ) з т ф + ---. |
(3.14) |
Традиционное представление потенциала V имеет вид:
п=0
где Рп(со8 ^) —полиномы Лежандра (см. приложение С.6). Индекс п называется степенью полинома Лежандра, причем
3 1
Р о ( С 0 8 '0 ) = 1 , Р [ (С 08 '0 ) = 0 0 8 '0 , Р 2 (с О З /ф ) = — С 082 ф —
& Л»
Чтобы найти потенциал в точке Р от всех точек тела, проинте грируем (3.13) по всему объему тела, используя разложение (3.14):
и = 7 |
Ш |
ш + |
% Ш Я а " * ш + |
|
|
V |
|
V |
|
+ |
^ |
Д О К2Ш |
- ~ Д О Я2 ап 2 Н М + • • • . |
(3.15) |
Первый член соответствует потенциалу расположенной в начале координат О точки с массой М = ЛМ. Второй член равен нулю, так как начало координат совпадает с центром масс тела. Это легко доказать. В самом деле, центр масс тела — это точка О, радиус-вектор которой относительно некоторой системы координат равен:
г° = Ь Ш ы м ’
где г — радиус-вектор элемента массы <1М. Если центр масс тела совпадает с началом системы координат, то го = 0 , следовательно
10у = 0* Это доказывает утверждение, что второй член в (3.15) равен нулю.
Определим осевые моменты инерции Земли А , В, С относитель но осей ж, у , г, соответственно, следующим образом:
и =Щ (у2+ г2)Ш ,
V
1у = /1 1 (я2 + г2)Ш ,
V
1г = 111 { х 2 + У2) Ш .
V
Тогда третий член в (3.15) можно представить в виде:
V V
)йМ + ^ 0 (ж 2 + г2)(1М + ^0*(ж2 + у 2)йМ =
V V
Так как произведение равно перпендикуляру А В , опущенно му из точки А на прямую ОР, то четвертый интеграл в (3.15) равен моменту инерции I тела относительно оси ОР. Следовательно, гра витационный потенциал тела произвольной формы в точке Р, рас положенной вне тела, равен:
тт |
СМ |
С |
т т |
огч |
(3.16) |
|
и - |
|
|
+ 2^з |
+ ?у + Ъ ~ 3Л + •' • • |
||
Выразим теперь момент инерции I тела относительно оси ОР че |
||||||
рез направляющие косинусы I = со8(р\ , т |
= сов<р2,п = со8<р\ этой |
|||||
прямой относительно осей х, г/, г . Пусть 1г |
= г / | г |. Тогда |
|
||||
|
|
|
Кзт'ф = |1г X К|. |
|
|
|
Так как вектор К |
имеет компоненты (х, г/, г), то имеем соглас |
|||||
но (1.17): |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
к |
= (гтп — уп) 1 + (хп —г1)$ + (у1 — хт)\а. |
|||
1Г X К = |
т |
п |
х У *
Отсюда
К 2 81П2 ф = (хт — уп)2 -+- (хп — х1)2 + (у1 —хт )2.
Раскрывая скобки и подставляя в четвертый интеграл в (3.15), по лучим:
I — К281П2 фАМ =
V |
|
|
|
|
= 12 |
( у 2 + х 2 ) А М + т 2 |
( х 2 + х 2 ) А М + п 2 |
( х 2 + у 2 ) А М - |
|
V |
V |
|
V |
|
—21т |
ху АМ — 2тп ^^У уг АМ —21п ^ хг АМ. |
|
||
V |
V |
|
|
|
Интегралы |
|
|
|
|
|
1х у — 1 у х |
— |
зсу А М , |
|
|
|
V |
|
|
|
1 у г — 1 г у — |
у х А М , |
|
|
|
|
V |
|
|
|
1&х == ?х2 |
— § § § |
А М |
|
|
|
V |
|
|
называются центробежными моментами инерции твердого тела. Осе вые 1Х, / у, 1г и центробежные моменты инерции тела определяют его тензор инерции:
В системе главных осей недиагональные компоненты тензора рав ны нулю, а осевые (или главные) моменты относительно осей х, у, 2 обозначим как А , В, С, соответственно, т. е. тензор инерции в систе ме главных осей имеет вид
А 0 0 \
О В 0 1.
о о с )
Таким образом, если координатные оси системы Охуг совпадают с главными осями тензора инерции, то
I = А12 + В т 2 + Сп2.
Обозначим угол между ОР и осью Ог через О. Тогда
п2 = сов2 О= 1 —I2 — т 2.
Предположим, что А — В. В этом случае момент инерции
I = А(12 + ш 2) + Сп2 = А + (С — А)п2.
Подставляя I в (3.16), найдем окончательное выражение для грави тационного потенциала в точке Р :
С М |
С |
|
и = — |
~ 2г*(° ~ Л)(3с°з2 6 ~ !) + • •' ' |
(3.17) |
Для Земли главные моменты инерции:
С = (8,0365 ± 0,0002) • 1037кгм2, А = (8,0101 ± 0,0002) • 1037кгм2, В = (8,0ЮЗ±0,0002) 1037кг- м 2 , В - А = (1,765±0,001) 1033кг. м2. Относительная разность экваториальных моментов А и В равна (В — А )/А ~ 2 • 10”5. Поэтому часто считают, что А = В и тем са мым полагают, что Земля —двухосный эллипсоид или эллипсоид вращения. Гравитационный потенциал Земли называется геопотен циалом.
Перепишем (3.17) в следующем виде:
(3.18)
где ^ — {С — А )/(М а2) = 1,0826359 • 10-3 ± 1.0 • Ю-10 называется динамическим форм-фактором Земли, а — экваториальный радиус Земли (а = 6378136,6 м). Приведенные значения ^ и а взяты из «Стандартов МСВЗ».
Уравнение (3.18) в пределе должно выполняться на поверхности Земли. Если ограничиться разложением до (а/г)2, то полный геопо тенциал на поверхности Земли:
(3.19)
где 17с — центробежный потенциал. Запишем его в виде:
17с = - |
81П2 0. |
& |
|
Так как геоид определяется как поверхность постоянного потенци ала, приравняем потенциалы на полюсе и экваторе Земли, учиты
вая, что при 0 = |
О ° г |
= с (с |
— полярный радиус Земли), а при |
|||||
в = 90° г = а: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СМ |
1 СМ |
о |
|
см |
см т «2 |
||
|
а |
2 а |
а2= |
С |
с |
Л “о. |
||
|
|
|
с2 |
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
с - |
1 + ^ 2 |
|
С* |
1 |
1 О ео1 |
|
1 а2с02 |
|
|
1 |
|
||||||
а ( - , |
1 7 |
с2 + ас + а |
|
|
|
|||
а |
V |
|
с2 |
) |
|
2 Мс2 |
2 СМ |
Определяя геометрическое сжатие эллипсоида как / = (а - с)/а и замечая, что второй член в скобках имеет величину порядка 10_3,
получим |
|
|
а — с 3 |
_ 1 0 2а3 |
|
2 |
^ + 2~СМ' |
(320) |
Формула верна с точностью до 10_3. |
|
Чтобы найти уравнение поверхности геоида, перепишем форму
лу (3.19) в следующем виде: |
|
|
|
IV = СМ |
|
|
|
где |
|
|
|
П2а3 |
О,2а |
„„ о |
. см |
9 = Ш |
= 1 Г ™ ' |
|
9,79829м7с2, |
|
' |
д —отношение центростремительного ускорения к ускорению силы притяжения на экваторе д'е. Так как на поверхности геоида величи на потенциала IV постоянна, приравняем его потенциалу на эквато ре (г = а, в = 90°):
1+ |
+ I |
Тогда |
|
_ 1 - ^ 7 2 ( г ) ( З соз2 # - 1) + § (§ ) ап2 в |
|
1 + \^2 + 2 |
|
Так как величины ^ |
« 1СГ3, д « 10_3, то ошибка отбрасывания |
членов порядка |
и т. д. сравнима по величине с отброшен |
ными членами в разложении потенциала силы тяжести. Сохраняя лишь линейные члены при разложении знаменателя, получим
^0 2(Зш820 - 1 ) + ! 0 38т 20
Так как а /г « 1 с ошибкой 10_3, то перемножая скобки и прене брегая членами, содержащими произведения малых величин, запи шем уравнение геоида в виде
г = а(1 - есоз20), е — ^ 2 + |
(3.21) |
ы |
& |
В первом приближении уравнение геоида представляет фигуру, близкую к эллипсоиду с геометрическим сжатием е « / = (а —с)/а. С точностью до первого порядка е — 3,3546 • 10_3 « 1/298,10.
В самом деле, рассмотрим меридиональное сечение двухосного эллипсоида, которое является эллипсом с большой а и малой с по луосями:
х 2 |
*2 |
|
+ ? = |
(3-22> |
|
Так ка*к малая полуось с = |
а(1 —/) и х — г зт0 , г = |
гсоз0, то |
из (3.22) получим: |
|
|
г = а(1 - /)[1 + |
( / 2 - 2/) Я П 2 |
|
Это —точное уравнение эллипса. Если сжатие / мало, то, разлагая квадратный корень в ряд по / и сохраняя только члены первого по рядка, находим:
г= а(1 —/ сов2 0).
Внастоящее время коэффициент ^ определяется по наблюдени ям искусственных спутников Земли. Забегая вперед, скажем, что по скорости прецессии определяется динамическое сжатие Земли
гг С - \ { А + В)
Для теории 1АШ000 Я = О,0032737875 ± 5 • 1(Г10 = 1/305,4566. Используя определения параметров ^ и Я, найдем полярный момент инерции Земли:
С = ^яМ а 2 и 0,330698М а2.
Так как моменты инерции определяются плотностью вещества внут ри тела, то вычисленное на основе наблюдений значение полярного момента инерции Земли С представляет одно из основных условий, которым должно удовлетворять радиальное распределение плотно сти внутри Земли. Момент инерции Земли С меньше момента инер ции однородного шара, для которого численный множитель равен 0,4, и, следовательно, плотность вещества внутри Земли должна уве личиваться к центру Земли.
Найдем теперь ускорение силы тяжести д на геоиде. Для этого достаточно продифференцировать полный геопотенциал (3.19). Так как § = §гас! IV, то с учетом (3.3) найдем, что модуль § равен:
|
|
|
1 1/ 2 |
9 = |
\ |
дг ) |
\г дв ) |
|
Второй член имеет величину порядка е2 (3.21). Поэтому с точностью до е, получим:
!9т =д\Удг
На поверхности геоида выполняется равенство: г = а(1 —есоз2 в). Поэтому, сохраняя лишь члены порядка 10"“3, получим:
пл/г |
ч СМ |
(3.23) |
9 ~ ----- 2~(1 + 2есо82 в) + - —2“ -МЗсоз2 0 —1) + ^ 2азш 2 в. |
||
а |
ш (х* |
|
Отсюда ускорение силы тяжести на экваторе де равно: |
|
|
9е = - |
^ { 1+ Р 2- 9) - |
(324) |
Знак минус в формуле (3.24) подчеркивает тот факт, что радиаль ная компонента § направлена в сторону, противоположную направ лению единичного вектора 1г. В соответствии с принятыми значени ями постоянных (см. табл. 8.2) де = 9,7803278 ± 1 • 10”6 м • с~2.