книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

262

ю

Рис. 4.35. Количество отравленной жидкости, закачанной в скважину в Скали­ стых горах

Рис. 4,36. Число зарегистрированных в течение месяца землетрясений, эпи­ центр которых был расположен вблизи Денвера (штат Колорадо)

Эти два ряда записей представлены в графической форме на рисунках 4.35 и 4.36. Взаимная коррелограмма этих двух вре­ менных рядов показана на рис. 4.37. Так как в этом примере оба ряда имеют общее начало и временную шкалу, то позиции спаривания можно охарактеризовать как «положительные» и «отрицательные» лаги, начиная с положения начального совпа­ дения. Положение наибольшего соответствия между двумя ря-

2 6 3

И г

Рис. 4.37. Взаимная коррелограмма, характеризующая связь числа землетря­ сений в течение месяца и объемов отравленной жидкости, введенной в течение месяца в скважину.

Максимальная корреляция имеет место при лаге +1 (явно высокие корреляции при очень больших лагах статистически незначимы из-за низкого числа наблюдений)

дами случается при лаге +1, когда число землетрясений в дан­ ном месяце сравнимо с объемом грязной воды, закачанной ме­ сяцем раньше. Корреляция в этой позиции спаривания есть г= = 0,60. Вторая наивысшая кросс-корреляция г=0,57 получается при лаге 0. Это указывает на то, что тектонический отклик на операцию закачки возникает очень быстро и распространяется на период около месяца.

Иногда бывает необходимо сравнить два периодических вре­ менных ряда с одинаковыми периодами. Использовав преимуще­ ство периодичности, вычислим взаимную коррелограмму в «круговой» форме. Действительно, каждый временной ряд вкла­ дывается в окружность и начало ряда таким образом связывает­ ся с его концом. Вместо того чтобы представлять себе два ряда цепями, движущимися друг относительно друга, их можно пред­ ставить себе в форме колес. Каждое колесо имеет одно и то же число делений вокруг его обода, каждое из которых соответству­ ет одному из последовательных наблюдений. Если одно колесо вращается по отношению к другому, то можно провести кросс­ сравнение между ними в п различных положениях до начала повторений.

В Шизапик Бей, как и во многих устьях рек, в течение днев­ ного приливно-отливного цикла наблюдается комплексное изме-

261

Таблица 4.25

Соленость воды в Шизапик Бей. Место отбора проб — Аннаполис (штат Мэриленд) вдали от побережья, 1927 г. [58]

Соленость, мкг'г

нение солености из-за перемешивания пресной воды с морской. Чистая вода Шизапик Ривер течет сквозь плотную морскую во­ ду в бассейн; во время отлива эта вода движется дальше вниз по устью. Однако имеется встречный поток вдоль дна, который во время малой воды переносит плотную морскую воду вверх по бассейну. В табл. 4.25 приведены результаты измерения солено­ сти проб воды, взятых с интервалом в 1,5 ч в течение суток (средняя глубина 11 м). В графической форме данные представ­ лены на рис. 4.38.

Корреляционная функция представлена на рис. 4.39 и, оче­ видно, указывает на лаг 2, представляющий разницу в 3 ч меж­ ду пиком появления соленой воды вблизи дна и максимумом со­ держания соли в поверхностных водах. Так как записи пред­ ставляют 24-часовой дневной повторяющийся цикл, то взаимная корреляция может быть представлена в круговой форме. По­ этому коэффициенты взаимной корреляции можно найти для любых лагов вплоть до 24 ч.

Взаимная корреляция и геологическая корреляция

Геологи постоянно делают попытки применить методы взаим­ ной корреляции для сравнения стратиграфических последова­ тельностей, однако, сталкиваясь с трудностями, обращаются к автоматической геологической корреляции. Несмотря на то что литература по этим вопросам очень обширна, их усилия дости-

265

Прилив _-_г_

О т л и в

Рис. 4,38. Содержания соли в придонных водах и поверхностных водах и Шизапик Бей вблизи Аннаполиса (штат Мэриленд)

Рис. 4.39. Взаимная коррелограмма между содержаниями соли в придонных и поверхностных водах в Шизапик Бей.

Максимум соответствия наблюдается при лаге 2, представляющем 3-часовое расхождение

гают успеха лишь при исключительных обстоятельствах. При­ чины этого легко понять. Метод взаимной корреляции основан на предположении, что две сравниваемые последовательности на­ блюдались в дискретном множестве точек, равномерно распре­ деленных в пространстве, и что интервалы сбора данных в обе­ их последовательностях были одинаковы. К сожалению, трудно собрать стратиграфические данные так, чтобы удовлетворить

266

Т а б л и ц а 4.26

Мощность слоев в разрезе нефтеносных сланцев свиты Грин Ривер. (Разрез расположен в 10 милях севернее разреза, приведенного в табл. 4.22)

этим требованиям. Вообще невозможно разместить точки опро­ бования так, чтобы они располагались равномерно в геологиче­ ском времени, и если точки расположены на равных расстояни­ ях, то мы можем допустить, что скорость осадконакопления бы­ ла постоянной в течение всего времени образования двух после­ довательностей. Если вообразить себе, что стратиграфические разрезы аналогичны записям, производимым регистрирующими устройствами, то они будут выглядеть так, как если бы эти устройства работали с различными и неизвестными скоростями в различные времена и даже большую часть времени работали

слоев, полученные из некоторой последовательности эоценовых озерных отложений в Скалистых горах. Эти отложения, являю­ щиеся частью свиты Грин-Ривер, состоят из тонких слоистых доломитовых нефтяных сланцев мощностью в десятки метров. Аналогичный разрез представлен на рис. 4.22. Этот разрез уда­ лен от первого лишь на 16 км, и, по-видимому, короткая после­ довательность эквивалентна некоторой части более длинной. Какие-либо маркирующие слои или отличительные свойства в этой монотонной части отсутствуют, и поэтому мы должны про­ водить вычисления корреляций при попарном сравнении мощ­ ности индивидуальных пластов в двух разрезах. Вычислите вза­ имную коррелограмму и определите положение наилучшей кор­ реляции между двумя разрезами. Как вы объясните другие по­ зиции с меньшим, но значимым попарным сравнением?

26?

Взаимная ассоциация

Рассмотренные выше методы предназначены для сравнения двух последовательностей, образованных значениями некоторых измеряемых переменных. К сожалению, многие стратиграфиче­ ские исследования приводят к последовательностям, которые со­ держат только номинальные данные, и не позволяют применить методы взаимной корреляции. Задача состоит в том, чтобы най­ ти меру сходства, которая, в отличие от коэффициента корре­ ляции, не основывалась бы на результатах измерения изучаемых переменных. Одним из наиболее часто используемых геологами методов является метод взаимной связи. Исходные данные пред­ ставляют собой ряд состояний (например, таких, как литоло­ гический тип породы, т. е. известняк, песчаник, сланец и т. д.), наблюдаемых в стратиграфическом разрезе. Эти состояния взаимно исключают друг друга и не могут быть ранжированы никаким осмысленным образом. В методе взаимосвязей две та­ кие последовательности передвигаются одна относительно дру­ гой, и для перекрывающихся отрезков оценивается степень соот­ ветствия. Для каждого положения подсчитывается общее число сравнений и число совпадающих состояний, а затем вычисляется отношение числа совпадений к общему числу сравнений. Это от­ ношение можно использовать в качестве коэффициента сходства двух цепей в положении перекрытия.

Предположим, что мы при изучении разреза закодировали литологические типы пород по схеме: песчаник— 1, сланец — 2,

тиграфических разреза можно представить следующим образом:

268

Третье положение:

5 1 2 1 2 5 2 3 2 4 2 5

3 2 1 5 2 5 1 2 1 2 3 2

Число сравнений равно 3, число совпадений — 1, отноше­ ние— 0,33.

Если на графике каждому положению сравнения поставить соответствующее отношение, то мы получим линию, аналогич­ ную коррелограмме. Такой график для двух сечений изображен на рис. 4.40.

Значимость отношения сходства можно установить с помо­ щью х2-критерия. Чтобы выполнить эту проверку, мы должны определить число совпадений и число несовпадений в перекры­ вающихся участках. Для этого достаточно вычислить вероят­ ность появления заданного числа совпадений в двух совершенно случайных последовательностях. Эти случайные последователь­ ности должны содержать такое же число наблюдений каждого типа, как и две данные выборки.

Эти две последовательности будем называть соответственно цепью 1 и цепью 2. Предположим, что имеется т категорий, на которые классифицируются наблюдения. Если мы обозначим число наблюдений, попадающих в класс с номером (а), для це-

к=1

определить вероятность совпадения данного числа наблюдений в двух последовательностях, мы должны разделить сумму про-

269

В нашем примере число категорий равно 5. Первая цепь содер­ жит два песчаника, пять сланцев и т. д. Числа наблюдений для каждой категории в двух цепях приведены в табл. 4.27. Послед­ ний столбец таблицы содержит произведение числа наблюдений в каждой категории, а последняя строка — соответствующие суммы по столбцам. Вероятность появления хотя бы одного со­ впадения в любом положении двух случайных последовательно­ стей при их сравнении применительно к нашим разрезам равна 39/(12-12) =0,27. Вероятность отсутствия совпадений 1,00— 0,27 = 0,73.

Мы вычислили вероятность получения хотя бы одного совпа­ дения в двух цепях со случайно расположенными элементами, соответствующими одному и тому же распределению наблюде­ ний, как и в рассмотренных нами двух последовательностях. Среднее значение числа совпадений для интервала перекрытия определяется как произведение величины Р на число сравнений. Аналогично среднее число несовпадений равно произведению ве­ личины (1—Р) на число сравнений. Предположим, что две по­ следовательности в нашем примере полностью перекрываются, в результате чего получается 12 позиций для сравнения. Сред­ нее число совпадений в последовательности равно 12x0,27=3,2,

270

эти величины, построим / 2-статистику:

ЕЕ ' '

где О — наблюдаемое число совпадений; О' — наблюдаемое чис­ ло несовпадений; £ — среднее число совпадений; £ '— среднее число несовпадений.

Если гипотеза о случайности совпадений верна, то эта ста­ тистика имеет /^-распределение с одной степенью свободы. Ес­ ли среднее число совпадений мало, как в случае совпадений вблизи концов цепей, то критерий можно улучшить, используя поправку Йейтса см. [18J. Она сводится к вычитанию !/2 из аб­

Число степеней свободы при этом остается неизменным, v = l.

и является незначимым. Можно сделать вывод, что наблюдаемое число совпадений между двумя последовательностями в данной позннии сравнения не больше, чем среднее значение для двух случайных последовательностей с аналогичной структурой. По­ правка Йейтса для малых выборок не изменяет этого вывода.

Так как мы имели дело с дискретным рядом событий (совпа­ дение пли несовпадение), то распределение частот совпадений в условиях нулевой гипотезы подчиняется биномиальному закону. Среднее число возможных совпадений для двух случайных по­ следовательностей, которые сравниваются при п* спаренных по­ зициях, равно

Расстояние наблюдаемого числа совпадений от этого среднего в единицах стандартного отклонения выражается по формуле

О— £

(4.73)

£( 1 - Р )

Ксожалению, мы не можем вычислить вероятность получе­ ния наблюдения, имеющего столь большое отклонение от сред­ него значения биномиального распределения, если не будем иметь и распоряжении его подробных таблиц. Последние не вполне пригодны при больших значениях п, которые как раз и нужны в задачах изучения взаимосвязей. Однако мы можем ис­

271