книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

Наконец, умножая а13 на bзь получаем 35:

Значение элемента си представляет собой сумму трех вы­ численных значений 1 + 12+ 35=48. Последовательность этих операций изображена на приведенной ниже диаграмме. Отме­ тим, что каждый элемент сц произведения матриц получается в результате сложения произведений элементов i-й строки мат­ рицы [Л] на элементы /-го столбца матрицы [3].

В итоге результат умножения будет иметь следующий вид: Г1 2 31 3 4 5

.5 6 7.

1 4 7" 48 60 72-

2 5 8 57 72 87

.3 6 9_ _66 84 102.

Если порядок перемножаемых матриц изменить на обратный ГВ].[Л]=[С], то получим другой результат:

Операцию [Л]*[3] = [С] называют умножением матрицы [В] на матрицу [Л] слева. Аналогично, о матрице [А] говорят, что она умножена на матрицу [3] справа. Это простейший способ оп­ ределения умножения матриц.

132

Если перемножаются две квадратные матрицы, то их произ­ ведение также будет квадратной матрицей того же порядка. Однако если перемножить матрицы порядков тХп и пХг, то в результате получим матрицу порядка тХг, т. е. произведение матриц имеет число строк, равное числу строк первой матрицы, и число столбцов, равное числу столбцов второй матрицы. На­ пример, умножая матрицу порядка 5x 3 на матрицу порядка 3X2, получим матрицу порядка 5x2:

Необходимо отметить, что матрицу порядка 3X2 нельзя ум­ ножать на матрицу порядка 5x3, так как число столбцов пер­

вой матрицы (два) не равно числу строк второй матрицы (пять).

В результате умножения матрицы порядка тХп на матрицу порядка пХт получается квадратная матрица, причем порядок перемножаемых матриц определяет порядок результирующей матрицы:

Однако, поменяв перемножаемые матрицы местами, получим

Общая формула элемента матрицы [С], являющейся произ­ ведением двух матриц, имеет следующий! вид:

Отметим, что при последовательном перемножении более чем двух матриц действует ассоциативный закон, т. е. порядок выполнения несуществен. Так,

[Л], [б]. [С] = ([Л]. [В]). [С] = [Л]. ([В]-[С]).

133

Матрицу можно возвести в степень, так как возведение в степень состоит попросту в выполнении ряда умножений. Так,

[Л]2 = [А] • [А],

№ = [А У - [ А ] = [ А ] - [ А ] - [ А ] .

Матряды также можно возводить в дробную степень, чаще все­ го в степень '/г- Эта операция эквивалентна извлечению квад­ ратней :> корня из матрицы. [Л]l/j есть матрица [X], квадрат ко­ торой равен [А]:

К счастью, нам ниже понадобятся лишь дробные степени диа­ гональных матриц. Это матрица, все элементы которой, исклю­ чая элементы, стоянию на главной диагонали, равны нулю. Их специальные свойства позволяют легко осуществлять возведе­ ние з дробную степень. Если возвести диагональную матрицу [Л] в лолуцелую степень, то в результате получится диагональ­ ная матрица с ненулевыми элементами на главной диагонали, равными корням квадратным из соответствующих элементов исходной матрицы [Л]. Например, если [Л]— матрица порядка 3x3, -то

Единичная матрица — это диагональная матрица специаль­ ного вида с очень полезными свойствами. Если некоторая мат­ рица умножается на единичную матрицу, то в результате полу­ чается та же исходная матрица:

Таким образом, единичная матрица соответствует единице в обычном умножении. Это свойство особенно важно в операциях, рассматриваемых в следующем разделе.

свертка

Свертка — векторная операция, широко используемая в ана­ лизе временных рядов, особенно при обработке сейсмических данных. В физическом смысле свертка описывает способ вза­ имодействия комплексов двух энергетических волн. Рассмотрим

134

и есть строка, если идти слева вверх, т. е.

_аг6о ,-'а ьЪ\ ^ 'а гЪ_

Элементы вектора [С] состоят из сумм элементов полоски, на­ чиная с верхнего левого угла. Например,

Это в точности тот член, который находится с помощью приве­ денного выше уравнения. Заметим, что, как и ожидалось, чис­ ло членов в [С] есть 3+ 3—1 = 5.

Мы снова рассмотрим численный пример, продемонстриро­ вав одновременно, как один вектор может быть свернут с дру­ гим иной размерности. Пусть заданы два вектора:

[A] = [1 3 5 7 2],

[B] = [6 2 4].

Свертка [С] будет иметь семь членов. Используя графический метод, их можно найти по схеме

136

Свертка не очень широко используется в большинстве статисти­ ческих операций, исключение составляет лишь анализ времен­ ных рядов. Мы еще встретимся с этой процедурой, когда будем рассматривать фильтрацию (см. гл. 4).

ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

В данном разделе мы определим операцию над матрицами, обратную операции умножения, зная при этом, что прямое де­ ление одной матрицы на другую невыполнимо. Однако, исполь­ зуя правила матричного умножения, можно ввести соответст­ вующее понятие, для чего необходимо решить матричное урав­ нение [Л] • [X] = [В] относительно неизвестной матрицы [X]. Необходимо подчеркнуть, что это одна из наиболее важных операций матричной алгебры, которая будет неоднократно ис­ пользоваться в дальнейшем, в частности для решения систем уравнений в дискриминантном и тренд-анализах.

Приведенное выше уравнение решается с помощью нахож­ дения матрицы [А]~\ обратной матрице [Л], которая удовлет­ воряет соотношению [Л]-[Л]~‘ = [1]. Так как умножение матри­ цы на единичную матрицу (1] ее не изменяет, мы можем умно­ жить обе части уравнения на [Л]-1, в результате чего матрица [Л] в левой части уравнения исчезнет. В то же время мы нахо­ дим выражение неизвестной матрицы [X] через матрицы [В] и

Таким образом, задача, обратная умножению матриц, сво­ дится к нахождению матрицы [X], определенной соотношением (3.3). В некоторых случаях обратную матрицу найти нельзя, так как в процессе обращения иногда приходится выполнять деление на нуль. Необратимая матрица называется вырожден­ ной, но такие матрицы в этой главе мы рассматривать не будем.

Процедуру обращения матриц можно проиллюстрировать, решая систему уравнений в матричной форме. Значения неиз­ вестных в этом случае Х]= 2 и х2 = 3. Попытаемся найти их, ис­ пользуя умножение и обращение матриц:

4xi + 10x2 = 38, 10Х] + 30x2 =110.

Эту систему уравнений можно записать в матричной форме:

[Л] • [X] = [В],

137

где [Л] — матрица коэффициентов, [X] — вектор-столбец неиз­ вестных, [S] — вектор-столбец правых частей уравнений.

В нашем частном случае

Чтобы решить это уравнение, необходимо обратить матрицу [А], тогда произведение матриц [Л]-1 и [В] даст нам вектор решения [X].

Возможно, читателю не понятно, почему систему уравнений можно представить в указанной матричной форме. Чтобы убе­ диться в этом, порекомендуем перемножить матрицу [А] и век­ тор-столбец [X]. В результате должен получиться вектор-стол­ бец левых частей уравнений:

Г 4 101 ГдгЛ I 4х1 + 10*/

[ ю a o J ' L 10xх хJ4 - 30х 2 [

Выполнив это умножение, вы убедитесь, что система запи­ сана правильно. Действительно, по правилам умножения мат­ риц получаем

’ Чх, + 10*z

Затем, умножая нижнюю строку, получаем

10*1 +30х2

Теперь решим систему уравнений с помощью обращения матрицы [Л]. Поместим матрицу [Л] слева от единичной матри­ цы т и выполним все необходимые операции одновременно на обеих матрицах. Цель этих операций — свести диагональные элементы матрицы [Л] к единицам, а все остальные — к нулям. Это выполняется с помощью деления строк матрицы [Л] на кон­ станты, а также их сложения или вычитания. Последователь­ ность операции следующая:

138

Мы получили обратную матрицу. Для проверки правильно­ сти обращения достаточно умножить исходную матрицу [Л] на полученную матрицу [Л]-1, п в результате должна получиться единичная матрица

Так как [Л]-1 - [Л] = [/], то выполняются следующие равен­ ства:

[А]~'.[А].[Х] = [ Л ] ~ Ч Б ] ,

[1].{Х] = [Л ]-‘-[В], [X] = [Л ]-'-[Б ].

Умножив матрицу [Л]-1 на матрицу [Б], найдем неизвест­ ную матрицу 1X1:

Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений с помощью обращения матрицы. Запишем приведенные ниже уравнения в матричной форме и найдем лу и лг2, обращая мат­ рицу системы:

2xi + Хг = 4, ЗлЦ -р Ахг ~ 1.

Кратко запишем операции, выполняемые при обращении мат­ рицы: .

139

Следовательно, значения неизвестных будут Xi=3 и х2=* = —2.

Заметим, что описанная процедура очень напоминает клас­ сический алгебраический метод решения системы двух уравне­ ний. В самом деле, решение системы уравнений — наиболее важное применение процедуры обращения матриц. В данном случае преимущество матричных методов по сравнению с ме­ тодами обычной алгебры заключается в том, что они более систематизированы и лучше поддаются программированию. Большинство процедур, описанных в следующих главах, при­ водит к решению систем уравнений. Эти системы обычно запи­ сываются в матричном виде и решаются описанным выше ме­ тодом. Операцию обращения матриц можно применить к квад­ ратным матрицам любого порядка, а не только к матрицам порядка 2x2, рассмотренным в примерах. Убедитесь в этом, обратив приведенную ниже матрицу порядка 3X3:

'1 2 3" 2 6 5 -3 5 6_

Если мы захотим обратить диагональную матрицу, то зада­ ча окажется значительно проще. Обратная матрица — это про­ сто диагональная матрица, ненулевые элементы которой — об­ ратные величины соответствующих элементов обращаемой мат­ рицы. Рассмотрим матрицу [А] порядка 3x3:

Некоторые комбинации довольно сложных операций стано­ вятся очень простыми, если входящие в них матрицы диаго­ нальные. Например, рассмотрим умножение [А]-1-[Л],/,=[Л]~'/'. Если [А] — матрица порядка 3x3, то произведение равно

14.0

В некоторых случаях не обязательно обращать матрицу, ес­ ли требуется только решить систему уравнений. В рассмотрен­ ном примере мы искали значения элементов матрицы [X], удов­ летворяющей уравнению

{X], умножив [ Л]-1 на [В]. Вместо этого можно было прямо ис­ пользовать матрицу [В] по мере того, как матрица [ Л ] преоб­ разовывалась в единичную матрицу. С этой целью удобно использовать так называемую расширенную матрицу, состоя­

матрица заменена единичной.

Для обращения матриц известен ряд математических про­ цедур, заслуживающих внимания. Десятки методов созданы для решения систем уравнений и существуют сотни программ­ ных версий. Некоторые из них предназначены специально для матриц частного вида, таких, как разреженные матрицы (т. е. матрицы, содержащие много нулевых элементов) или матрицы, обладающие некоторыми типами симметрии. Большинство вы­ числительных центров имеет стандартные программы в своих библиотеках, предназначенные для выполнения матричных опе­ раций. Необходимо заранее с ними ознакомиться, прежде чем потребуется выполнять работу, оперируя с большими массива­ ми данных.

141