книги / Прочность сварных соединений при переменных нагрузках
..pdf3. РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ |
|
дела выносливости, |
особенно |
сварных |
||||||||||||||||||||
|
|
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ |
|
|
|
соединений. В связи с этим существен |
||||||||||||||||||
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК |
|
ное значение имеет выполненный в пре |
||||||||||||||||||||||
СОПРОТИВЛЕНИЯ УСТАЛОСТИ |
|
|
дыдущем |
параграфе |
анализ закономер |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ностей |
|
|
распределения |
характерис |
|||||||
Анализ рассеяния характеристик |
со |
тик сопротивления усталости. Он позво |
||||||||||||||||||||||
противления усталости имеет |
основопо |
ляет заключить, что наиболее приемле |
||||||||||||||||||||||
лагающее значение |
для |
определения |
мы для экстраполяции трехпараметрп- |
|||||||||||||||||||||
надежности |
и |
долговечности |
металли |
ческие уравнения (6.36) и (6.37). |
|
|||||||||||||||||||
ческих конструкций на этапе проекти |
Исходные |
положения. |
Результатом |
|||||||||||||||||||||
рования. Между тем получение экспе |
усталостных |
испытаний |
п\ |
образцов |
||||||||||||||||||||
риментальной |
информации о сопротив |
на каждом Ог-м уровне нагружения яв |
||||||||||||||||||||||
лении |
усталости |
сварных соединений, |
ляются |
значения Иц числа циклов до |
||||||||||||||||||||
представительно |
отражающих |
влияние |
разрушения /-го образца на г-м уровне |
|||||||||||||||||||||
остаточных |
напряжений |
и |
|
реальные |
нагружения. |
Величина |
N 4 |
является |
||||||||||||||||
уровни дефектности, в объемах, доста |
случайной и наиболее полно характери |
|||||||||||||||||||||||
точных для упомянутой цели, является |
зуется |
|
функцией |
распределения |
|
|||||||||||||||||||
практически возможным лишь в области |
|
|
|
|
р ( ^ ) = |
Р1 (а), |
(7.10> |
|||||||||||||||||
ограниченной |
долговечности |
|
образ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
цов — до |
10е циклов. Для более высо |
которая зависит в основном от материа |
||||||||||||||||||||||
кой долговечности |
характеристики со |
ла образца и уровня его нагружения |
||||||||||||||||||||||
противления усталости должны опреде |
при испытаниях. Ряд функций (7.10) |
|||||||||||||||||||||||
ляться методом экстраполяции по урав |
рассмотрен выше при анализе распре |
|||||||||||||||||||||||
нениям |
кривых |
усталости. Такое опре |
деления |
циклической долговечности. |
||||||||||||||||||||
деление |
необходимо |
со статистической |
Функция |
распределения |
(7.10) при |
|||||||||||||||||||
оценкой долговечности и предела вы |
фиксированном значении |
о, |
определя |
|||||||||||||||||||||
носливости, |
т. |
е. |
путем |
установления |
ется параметрами А , часть из которых |
|||||||||||||||||||
функций |
распределения |
их |
значений. |
|||||||||||||||||||||
зависит |
от уровня |
напряжений <л. На |
||||||||||||||||||||||
Поэтому |
для |
экстраполяции |
должны |
|||||||||||||||||||||
пример, |
известно, |
что параметр |
А х — |
|||||||||||||||||||||
применяться |
уравнения |
кривых |
уста |
|||||||||||||||||||||
= N 1 |
характеризующий |
среднюю |
цик |
|||||||||||||||||||||
лости, инвариантные к вероятности раз |
||||||||||||||||||||||||
рушения соединений в требуемых пре |
лическую |
долговечность |
сварных |
сое |
||||||||||||||||||||
делах. |
|
|
использовании |
уравнений |
динений на г-м уровне нагружения, |
|||||||||||||||||||
Вопрос об |
увеличивается при уменьшении ел и это |
|||||||||||||||||||||||
кривых |
усталости, |
обладающих |
|
ука |
отображается уравнениями кривых ус |
|||||||||||||||||||
занной |
|
инвариантностью, |
рассматри |
талости в общепринятом подходе. Силь |
||||||||||||||||||||
вался в работах [225, 227, 237, 327, |
ная корреляционная взаимосвязь между |
|||||||||||||||||||||||
433]. Однако соответствующее экспери |
и а!, а также случайный характер |
|||||||||||||||||||||||
ментальное |
обоснование |
носило |
суще |
величины А'г; порождают семейство кри |
||||||||||||||||||||
ственно различный характер по типу |
вых равных вероятностей усталостного |
|||||||||||||||||||||||
испытанных сталей, образцов и видам |
разрушения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
сварных соединений, а также по объему |
|
|
|
{^ •} р = { ф (^)}р. |
|
(7.11) |
||||||||||||||||||
опытных |
данных. |
Различались |
также |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
каждая из которых определяется своей |
||||||||||||||||||||||||
методы |
|
определения |
параметров |
ис |
||||||||||||||||||||
пользуемых |
аналитических |
|
зависимо |
вероятностью |
р. |
Характерной особен |
||||||||||||||||||
стей, критерии завершения усталостных |
ностью кривых усталости равной веро |
|||||||||||||||||||||||
испытаний и области |
уровней |
нагруже |
ятности является |
асимптотическое при |
||||||||||||||||||||
ния и циклической долговечности, учи |
ближение Ог к величине од при N1 ->• оо. |
|||||||||||||||||||||||
тываемые в расчетах. Изложенное тре |
Относительно значений ад выдвигают |
|||||||||||||||||||||||
бует |
дополнительного |
рассмотрения |
ся три гипотезы [17, 52, 366]. Гипотеза |
|||||||||||||||||||||
вопроса |
об |
экстраполяционном |
опре |
нулевого |
значения |
предела |
выносли |
|||||||||||||||||
делении |
функций |
распределения |
пре |
вости |
ад |
= 0 |
получила наибольшее |
распространение при оценке сопротивле |
и ребрами жесткости, а также образ |
||||||||||||||||||||||
ния усталости легких сплавов. В таких |
цов-пластин |
с |
|
отверстием |
диаметром |
||||||||||||||||||
случаях для описания циклической дол |
4 мм без остаточных напряжений и с |
||||||||||||||||||||||
говечности используются |
функции соб |
наведенными |
сваркой |
остаточными |
на |
||||||||||||||||||
ственного |
распределения, |
для которых |
пряжениями |
растяжения |
или |
сжатия |
|||||||||||||||||
при |
а > |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
в зоне концентраторов напряжений (схМ. |
||||||||||||
|
|
|
|
Нш р ( Щ '= 1 |
|
|
(7.12) |
шестую главу) отдельные не разрушив |
|||||||||||||||
|
|
|
N->•00 |
|
|
|
|
|
шиеся на базе 107 циклов образцы ис |
||||||||||||||
и оценивается только предел выносли |
пытывались до N = 108 циклов. Ни в |
||||||||||||||||||||||
вости на |
|
заданной |
базе испытаний N0 |
одном из таких образцов трещины не |
|||||||||||||||||||
1237, 366]. Согласно гипотезе детерми |
появились, несмотря на то что они |
||||||||||||||||||||||
нированного |
значения предела |
вынос |
испытывались на разных уровнях, а не |
||||||||||||||||||||
ливости при ЛГб -> с» все кривые рав |
только на нижней границе зоны разбро |
||||||||||||||||||||||
ных вероятностей (7.11) стремятся к од |
са предела выносливости, как это было |
||||||||||||||||||||||
ной асимптоте ад >> 0. В |
этих случаях |
раньше [252, 370]. Это свидетельству |
|||||||||||||||||||||
разброс значений Ыц описывается функ |
ет, что по крайней мере до N = 108 |
||||||||||||||||||||||
циями собственного |
распределения та |
циклов каждый из сварных образцов |
|||||||||||||||||||||
ким |
образом, что |
при сч >* ад |
|
распре |
имеет свой предел выносливости и в |
||||||||||||||||||
деление вырождается. Примером могут |
тоже время не дает основания говорить |
||||||||||||||||||||||
служить |
|
распределение |
Вейбулла |
об уменьшении |
разброса |
индивидуаль |
|||||||||||||||||
[237, |
266] |
|
|
|
|
|
|
|
|
ных |
значений |
предела |
выносливости |
||||||||||
р (ТУ) = 1 — ехр {— [1п (о — ои) + |
при увеличении |
базы |
испытаний. По |
||||||||||||||||||||
|
+ |
а 1п (ТУ + |
В) — 1пВ]т |
), |
(7.13) |
этому наиболее обоснованным представ |
|||||||||||||||||
|
ляется |
рассмотрение предела выносли |
|||||||||||||||||||||
которое при |
Ог > |
ад представляет со |
вости сварных |
соединений как случай |
|||||||||||||||||||
бой функцию собственного распределе |
ной |
величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ния Мц ,§а при |
Ох < |
ад не |
имеет смыс |
Распределение |
вероятностей |
величи |
|||||||||||||||||
ла. Еще одним примером подобных |
ны |
N4 |
можно |
|
интерпретировать |
как |
|||||||||||||||||
функций может служить использование |
вероятность разрушения испытываемых |
||||||||||||||||||||||
логарифмически |
нормального |
распре |
на |
заданном |
уровне |
нагружения |
о% |
||||||||||||||||
деления |
|
с |
порогом |
чувствительности |
образцов при |
N < |
М (М — целое |
по |
|||||||||||||||
по циклам [225]. Третья гипотеза рас |
ложительное число). Если на плоскости |
||||||||||||||||||||||
сматривает ад как случайную величину, |
семейства кривых |
усталости фиксиро |
|||||||||||||||||||||
т. е. предполагает, что каждая кривая |
вать |
уровень |
нагружения |
а*ф |
и |
отме |
|||||||||||||||||
усталости |
равной |
вероятности |
(7.11) |
чать для каждого ]№ц соответствующие |
|||||||||||||||||||
стрелштся к своей собственной асимп |
вероятности разрушения, |
то геометри |
|||||||||||||||||||||
тоте [17, 365, 366, 433]. Поскольку |
ческое место отметок будет определять |
||||||||||||||||||||||
провести испытания образцов при N ->■ |
функцию распределения |
(7.10) |
величи |
||||||||||||||||||||
->■ оо невозможно, прямым эксперимен |
ны N. Наоборот, если зафиксировать |
||||||||||||||||||||||
том доказать ту или иную гипотезу |
значение |
и |
|
отмечать |
вероятности, |
||||||||||||||||||
нельзя. |
Вместе |
с |
тем применительно |
соответствующие значениям аь то по |
|||||||||||||||||||
к сварным соединениям по результатам |
лучим |
функцию |
распределения |
вели |
|||||||||||||||||||
испытания отдельных образцов до N = |
чины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= 108 циклов наиболее обосновано ис |
|
|
р(а) = |
Р2 (М). |
|
|
(7.14) |
||||||||||||||||
пользование |
гипотезы случайного пре |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
дела выносливости. Об этом свиде |
Эту функцию интерпретируют как ве |
||||||||||||||||||||||
тельствуют, |
в частности, |
следующие |
роятность того, что при заданном числе |
||||||||||||||||||||
данные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циклов Nф образец разрушится на уров |
|||||||||||||
При оценке методами пробитов и сту |
не нагружения |
|
а ^ |
ам . В |
асимптоти |
||||||||||||||||||
пенчатого |
изменения |
нагрузки распре |
ческой области функция распределения |
||||||||||||||||||||
деления предела выносливости сварных |
а переходит в функцию распределения |
||||||||||||||||||||||
образцов |
|
с |
пересекающимися |
|
швами |
предела |
выносливости |
ад. |
|
|
|
|
Таким образом, если известно одно |
Определение |
параметров |
расчетных |
||||||||||||||||||||||||
из распределений (7.10) или (7.14), |
зависимостей. |
Статистическая |
оценка |
||||||||||||||||||||||||
другое может быть определено как |
параметров уравнений кривых усталости |
||||||||||||||||||||||||||
функциональное |
преобразование |
(7.11) |
и функций распределения N и а про |
||||||||||||||||||||||||
известного. В связи с этим к виду функ |
водилась |
по |
|
результатам |
усталостных |
||||||||||||||||||||||
циональной |
зависимости |
(7.14) |
выдви |
испытаний. |
Исходными данными |
слу |
|||||||||||||||||||||
гается |
важное требование соответствия |
жили |
ЛГу — число |
циклов, |
определен |
||||||||||||||||||||||
экспериментальных |
распределений |
не |
ное по результатам испытаний /-го об |
||||||||||||||||||||||||
зависимой |
переменной X = |
{хр |
я2, |
разца |
на |
1-м уровне |
нагружения, а, и |
||||||||||||||||||||
щ — число испытаний на каждом уров |
|||||||||||||||||||||||||||
..., |
хь) |
распределению |
X , |
определен |
|||||||||||||||||||||||
не. Результаты |
испытаний обрабатыва |
||||||||||||||||||||||||||
ному |
|
в |
результате |
функционального |
лись |
модифицированным |
методом наи |
||||||||||||||||||||
преобразования |
(7.11) |
эксперименталь |
меньших квадратов и методом макси |
||||||||||||||||||||||||
ных распределений зависимой перемен- |
мума |
правдоподобия. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ной У = |
(У ц У а,..., У |
|
В приведен |
В методе наименьших квадратов в ка |
|||||||||||||||||||||||
ных |
выше |
выражениях |
|
|
|
|
|
честве |
целевой |
функции |
рассматрива |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ется сумма квадратов разностей между |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
о = |
|
{<?!, а2, |
о3, |
. . . , |
о&}; |
|
|
экспериментальными |
значениями |
слу |
|||||||||||||||
|
|
Л^ = |
{ ^ |
ЛГ81 |
|
ЛГ,»,}; |
|
|
чайной переменной и откликом |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ч,= * Е |
1 |
(у « - |
у >8- |
|
(7-15> |
|||||||||||||||
|
|
Хг = |
{1 {Ог); Гу |
= |
/2 {ЛГ„-}. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
» |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Точность |
экстраполяционной |
оценки |
К уравнениям (6.36) и (6.37) применима |
||||||||||||||||||||||||
линейная |
регрессия |
после |
приведения |
||||||||||||||||||||||||
распределений характеристик сопротив |
их к виду (6.38). Тогда функцию (7.15) |
||||||||||||||||||||||||||
ления |
усталости |
сварных |
соединений |
можно представить в виде |
|
|
|
||||||||||||||||||||
в значительной мере определяется за |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
коном распределения значений и сте |
|
|
Е |
|
Е |
(У ц - Ъ х { + |
Ъс)\ |
(7.16) |
|||||||||||||||||||
пенью зависимости его параметров от |
|
|
1=1 7=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
уровней |
нагружения |
образцов. Наибо |
где к — число |
уровней нагружения. |
|||||||||||||||||||||||
лее предпочтительно в этом смысле ис |
Оценки параметров Ь и с уравнения |
||||||||||||||||||||||||||
пользование таких преобразований |
|
(6.38), |
что соответствует оценкам |
пара |
|||||||||||||||||||||||
которые давали бы нормальное распре |
метров А и стн уравнений (6.36) и (6.37), |
||||||||||||||||||||||||||
деление Уу с дисперсией |
»$у, не зави |
являются корнями системы уравнений, |
|||||||||||||||||||||||||
сящей от значений ст,, и со средним зна |
полученных |
|
на |
основе |
минимизации |
||||||||||||||||||||||
чением |
Уц = |
— Е |
Уу, отображаемым |
функции |
(7.16): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
уравнением |
|
п |
] |
усталости. Анализ |
-3 |
- = |
2 ^ |
( У |
„ |
- 6Х 4+ |
ЬС) х |
||||||||||||||||
кривой |
|||||||||||||||||||||||||||
функций |
распределения |
циклической |
|
|
х ’ ( — - Хг-\-с) = 0 ; |
|
|
||||||||||||||||||||
долговечности сварных соединений в за |
|
|
|
( 7 . 1 7 ) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
висимости от а» позволяет заключить, |
5 - - |
2 Е Е ( Г « — ЫГ* + |
Ье)Ь = |
0. |
|||||||||||||||||||||||
что |
переменные |
у = |
1/№ + |
В) |
урав |
ОС |
|
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
нений (6.36) и (6.37) наиболее полно |
Решение системы (7.17) дает выражения |
||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяют этому |
требованию |
экс |
для оценки параметров А л Оцв зависи |
||||||||||||||||||||||||
траполяции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мости |
от |
параметра |
В: |
|
|
|
|
||||||||||
Сформулированные требования позво |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ляют |
|
оценить |
распределения |
предела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
выносливости |
сварных соединений |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
результатам |
испытаний, |
полученным в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
области |
ограниченных долговечностей, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и перейти к аналитическому описанию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
полных |
вероятностных диаграмм уста |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
лости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
\ |
к |
п г |
-| |
|
|
- ( |
Е |
|
|
Е Е |
|
|
сгя = |
ехр |
»=1 |
|
/ 1=1 3=1______ |
||||
|
1 |
\ |
А |
п1 |
* |
|||
|
|
|
||||||
|
■— |
4_ > * * « Е Е У« - |
|
|||||
|
\а=1 |
/ |
1=1 ;=1 |
|
||||
|
|
|
- " . Е |
|
( Л' ; Е |
у и) |
(7.19) |
|
где |
к |
гц. |
|
|
|
|
|
|
п = ^ |
|
|
|
|
|
|
1 = 1
Коэффициент корреляции Гху — кри териальная величина, по максимуму которой принимается значение В ,
|
( к |
\ |
к пг |
(7.20) |
|
Е «А Е Е у1; |
|
||
Гху |
1=1 |
/ |
1=11=1 |
|
/ |
к Щ |
|
[ к п1 |
\2 |
|
пЕ Е У«-(Е Е у«) |
|||
|
г= 1 ^ = 1 |
|
\ г = 17=1 |
/ |
Максимум корреляции между X и У соответствует значению В , при котором экспериментальные данные наилучпшм образом располагаются вдоль прямой (6.38). Именно это условие должно выполняться в соответствии с преобра зованиями уравнений (6.36) и (6.37) в линейную зависимость (6.38). При этом характер изменения линии регрессии, описываемой уравнением (6.38), в за висимости от значений В таков, что она обязательно изменяет направление вы пуклости. Следовательно, при некото ром значении В экспериментальные дан ные обязательно расположатся отно сительно прямой линии наилучшим об разом и коэффициент корреляции в функции от В будет иметь максимум.
В общем случае процесс нахождения максимального коэффициента корреля ции осуществляется следующим об
разом. В диапазоне изменения значе
ний В от 0 до 10е с шагом Ьг = |
10б вы |
числяются новые переменные |
У у = |
= 1/(ЛГу + В|), 1 = 1 , 2, . . . , |
10*/Б + |
+ 1 и определяются значения (гху)1.
Среди вычисленных (г**,)* отыскивается максимальное значение и фиксируется соответствующее ему значение В = = Бтах 1- Это является первым прибли
жением в оценке параметра Б. Затем диапазон изменения В назначается окрестностыо [(Яшах 1— ь х) ... (Вюлх 1 + 7/,)].
С шагом Ь2 = 20 000, аналогично пре
дыдущему, осуществляется второе при ближение, в результате которого опре деляется Бтах 21 а окрестность изменения В сужается до [(Бтах 2— 2/2) . . . (Бтах 2 +
+ Ь2)]. В |
дальнейшем |
приближение |
||
осуществляется с |
шагом |
Ь3 = |
4000, |
|
1/4 = 1000. |
После |
определения |
макси |
мума гху среди всех вычисленных параметров, для соответствующего зна чения В по формулам (7.22) и (7.23) оцениваются параметры А и ай.
Оценка параметров А , Б уравнений (6.36) и (6.37) методом нелинейпой рег рессии, путем минимизации целевой функции
1=1 ;=1 \
записанной на основе нормального рас
пределения |
величины |
Г ц = |
Ш ц , |
||
дает завышенные |
средние значения |
||||
экстраполированного предела |
выно |
||||
сливости |
и |
затрудняет |
оценку |
ди |
|
сперсии. |
Поэтому |
метод |
нелинейной |
регрессии не рекомендуется для оценки распределений предела выносливости путем экстраполяции.
Вметоде максимума правдоподобия
вкачестве целевой берется функция правдоподобия
Б(&1, Ь2, .. •/х1, х2, . . . , хп) =
= |
П |
Ь{Ъг, |
Ь2, |
. . ./*;) = |
|
|
|
1= |
1 |
|
|
|
|
= р (хА, |
Ъх, |
Ъ2, . •.) р (х2, |
Ъх, Ь2, |
...).,.» |
||
|
|
р (хп, |
Ь1, |
Ь2, |
•..)» |
(2»22) |
где Ь1УЬ2У . . . — параметры, подлежащие
оценке; х1У х2У ..., |
хп — |
независимые |
наблюдения; р (х{у |
Ь1У Ь2, |
...) — инди |
видуальные распределения наблюдений
Хх. Для установления значений |
Ъи ко |
|
торые максимизируют |
Ь при |
данных |
(х1У х 2у ..., хп)Уболее |
удобно работать |
с 1п Ь. В таком случае произведение за меняется суммой:
1п Ь = |
1п |
(Жц К, |
Ьг, ...)] + |
|
+ 1п[р(я2, |
Ь1г Ьг, .. |
.)] + |
= |
|
= И |
1п[р(хи Ьи |
Ьг, |
(7.23) |
|
1=1 |
|
|
|
|
Величину 1п Ь можно максимизировать относительно вектора Ьу приравнивая
нулю |
частные |
производные |
от 1п Ь |
|||
по |
каждому |
из |
параметров Ьку к = 1 , |
|||
2, 3, |
т: |
|
|
|
||
д\п.Ь |
в { 2 |
1п[р(*„ |
62> . . . . |
Ьт )]} |
||
и= 1 |
|
|
|
) _ |
||
дЬх |
~ |
|
|
|
дЬ} |
~ |
|
|
|
|
= |
0; |
(7.24) |
|
|
|
|
|
|
|
д\п Ь __ |
д | ^ |
1п [р (х.у |
Ьи Ь2У. . . , |
Ьт )] |
||
(,г=1_____________________ |
Решение системы (7.24) дает искомые
оценки параметров |
Ь1У Ъ2У ..., |
Ьт. |
||
Ниже |
расписан |
метод |
максимума |
|
правдоподобия для |
уравнения |
(6.36). |
||
В случае |
использования |
уравнения |
(6.37) в формуле вместо а и ан следует подставлять соответственно 1п а и 1п ад.
Плотность распределения величины N I] определяется из факта существова ния нормального распределения вели чины Г а = И{Их] + В) при строго оп ределенном значении параметра В у что позволяет записать функцию распреде-
вв и д е
|
ф |
< |
|
1 |
^ - |
|
1 |
|
х , |
|
|
|
|
|
N + |
13) |
5 |
/ 2 |
Я |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 / (М + В ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С г |
. |
1 ( |
1 |
|
|
) |
л1 1 |
|
|
^ |
|
28* \ |
Л + В |
|
а |
} |
||||
х |
1 |
е |
|
|
|
|
|
|
а 1 д ’ + |
в Г |
|
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 7 . 2 5 )
откуда плотность |
распределения вели |
|||
чины N4 |
|
|
а) |
|
|
ф (Л0 |
дФ |
|
|
|
дN |
|
|
|
д |
? |
‘ ( |
1 |
а~ап\- |
_ \ |
е 28‘ \Я + В |
А ) |
||
ЗЛГ |
.5 У 29™Лп _ |
|
|
|
х й ( л г + в ) |
8 У 2 п (Н+ в )3 |
|||
X ехр [ - |
^ (-2^ |
- |
|
] • (7.26) |
Тогда функция правдоподобия |
^ = (гй Ы |
О Й (^«1+в)2 х |
|
Г 1 / |
1 |
А ^ |« |
X ехр| — |
М{. + в |
|
|
|
(7.27) |
или, после логарифмированияг |
||
1п Ь = |
п 1п ----- \ = - |
+ |
|
З У 2я |
|
Для оценки параметров А УВ Уад и па раметра распределения предела вы носливости З1 п используется следующая
система уравнений:
|
|
|
Ь |
пг |
|
|
|
|
|
|
|
|
л г у + л - + |
||
|
|
|
1 = 1 |
7 =1 1 |
^ |
|
|
|
|
г |
1 |
0 » |
- ° |
я \ |
X |
+ |
2 5 » ( |
|
|
|
А |
) |
|
у |
( |
1 |
Л |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
< + |
* ) ] |
’ |
|
|
|
(7.29)
|
|
1=1 ;=1 |
|
|
X |
1 |
|
О- |
|
_________ | — = |
и’ |
|||
|
# и + В |
А |
А |
|
д8 |
1п Ь |
282 |
|
|
кП1
_1_V V — (__ 1__ |
|
|
||||
^ |
^ 2 ; 26'Ч ЛГ..+ В |
|
|
|||
|
г=1 ;'=1 |
|
|
|
||
|
О, — а к |
|
|
|
||
— |
^ ) = ° = |
|
I |
|||
|
Решение систе!мы дает оценки А , ад, |
|||||
8 2 |
в функции1КЦИИ |
от В: |
|
|
||
|
|
к |
/ к |
\ 2 |
|
|
|
|
пV. |
|
пр{ |
|
|
А = |
1= 1_____ \г=1 |
(7.30) |
||||
к / |
п1 |
\ |
||||
|
|
9 |
||||
|
|
(к |
\ к |
пI |
|
|
|
|
{=1 |
|
г=1 }=\ |
(7.31) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 136. Определение параметров Л, Я, ан и
8 а методом последовательных приближений;
°н
Д и Я - значения соответственно левой и правой частей уравнения (6.36).
кпг
’ = 4 Б Е ( л^ ) ‘-
1
л2 4 - У щ о\—
г=1
- Н г Е » » * |
(7.32) |
|
Параметр В является корнем урав нения
"ИГ [ ! | § ( * « + * ) -
4 |
,1 ^ |
- |
|
|
~ т ( I ] П|° ' |
Ё |
г; |
— |
|
\г=1 |
;=1 |
|
||
, к |
и |
пг |
|
|
~ ~ У ) |
щ ° 1 I I Е |
(лгу + |
й)- ) = |
|
1=1 |
1=1 ;=1 |
7 |
/ ] |
|
- Ц т г ф п т - |
Р-33* |
|||
|
г=1 ;=1 |
|
|
|
Параметр В вычисляется методом последовательных приближений, кото рый заключается в следующем. С шагом изменения параметра Ь = 105 вычисля
ются значения правой и левой частей уравнения (7.33), полученные резуль таты сравниваются между собой. Если при В^ левая часть уравнения (7.33) стала больше правой, то возвращаются к значению # ь _ 1, непосредственно пред
шествующему этому событию. Затем, начиная с Вь-1, с шагом в десять раз меньшим (Ь = 104) вновь сравниваются
обе части уравнения (7.33). Таким об разом значение В может быть определе но с требуемой точностью. Обычно до
статочно уточнения параметра В при |
эффективной, а следовательно, и состоя |
|||||||||||||||||||||||
шаге |
его |
изменения |
Ь = |
103. |
|
На |
тельной. Для нормального распределе |
|||||||||||||||||
рис. 136 дан один из примеров вычисле |
ния величины х и 3* являются доста |
|||||||||||||||||||||||
ний по этому алгоритму. |
|
|
|
|
точными |
оценками |
математического |
|||||||||||||||||
Экспериментальная |
проверка. |
Оче |
ожидания |
М {х} |
и |
дисперсии |
О {х}. |
|||||||||||||||||
видно, |
|
согласие |
экстраполяционных |
Если |
достаточная |
оценка |
существует, |
|||||||||||||||||
оценок с данными, полученными в ре |
то |
метод |
максимума правдоподобия, |
|||||||||||||||||||||
зультате прямых опытов, зависит от |
принятый в рассматриваемой методоло |
|||||||||||||||||||||||
объема усталостных испытаний, на ос |
гии, |
|
позволяет |
ее |
установить. |
|
||||||||||||||||||
нове которого они получены, и всегда |
Устойчивость |
значений |
экстраполя |
|||||||||||||||||||||
имеет |
случайный |
характер, |
посколь |
ционных оценок проверялась во взаи |
||||||||||||||||||||
ку результаты |
испытаний представля |
мосвязи с объемом проведенного |
экспе |
|||||||||||||||||||||
ют лишь выборку из всей совокупности |
римента. С этой |
целью из генеральной |
||||||||||||||||||||||
образцов данного типа. Выборка со |
совокупности |
(результаты |
усталост |
|||||||||||||||||||||
держит некоторую информацию о ре |
ных |
испытаний |
|
статистически |
пред |
|||||||||||||||||||
альности, практически |
не поддающей |
ставительной |
серии |
образцов) |
случай |
|||||||||||||||||||
ся анализу во всей полноте. Поэтому |
ным |
образом |
выбиралось |
по |
2, 3, 4 , |
|||||||||||||||||||
важное значепие приобретает проверка |
5 и 6 образцов на каждом уровне на |
|||||||||||||||||||||||
устойчивости |
значений |
экстраполяци |
гружения. Такие выборки повторялись г |
|||||||||||||||||||||
онных оценок во взаимосвязи с объемом |
как правило, многократно, и каждый |
|||||||||||||||||||||||
выборки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раз |
определялись |
оценки |
параметров, |
||||||||||
Расчетно-экспериментальный |
|
метод, |
распределений |
предела |
выносливости |
|||||||||||||||||||
основанный |
на экстраполяции |
резуль |
и кривых усталости. Полученные ста |
|||||||||||||||||||||
татов испытаний по уравнениям кри |
тистическим |
моделированием |
|
оценки |
||||||||||||||||||||
вых усталости, позволяет получать та |
каждого из параметров Ък рассматри |
|||||||||||||||||||||||
кие приближенные |
значения |
функций |
вались как случайные величины, ко |
|||||||||||||||||||||
распределения |
характеристик |
|
сопро |
торые наиболее полно характеризуются |
||||||||||||||||||||
тивления усталости, а также параметров |
своей функцией |
распределения |
Р (&»}. |
|||||||||||||||||||||
уравнений |
кривых |
усталости, |
которые |
Для |
реализации |
описанной |
методоло |
|||||||||||||||||
целесообразно принять в качестве иско |
гии исследования точности экстраполя |
|||||||||||||||||||||||
мых. Эти приближенные значения в ма |
ционных оценок во взаимосвязи с оп |
|||||||||||||||||||||||
тематической статистике называют оцен |
тимизацией усталостных испытаний раз |
|||||||||||||||||||||||
ками. Для того чтобы из различных |
работан блок программ. С целью более* |
|||||||||||||||||||||||
оценок, |
которые могут быть предложе |
наглядного представления |
результатов |
|||||||||||||||||||||
ны для одной и той |
же |
величины, |
вы |
обработки |
данных |
предусматривается |
||||||||||||||||||
брать наиболее подходящие, необходимо |
построение |
расчетных |
и |
эксперимен |
||||||||||||||||||||
стремиться к тому, |
чтобы они |
удовле |
тальных распределений |
характеристик |
||||||||||||||||||||
творяли |
некоторым |
общим |
свойствам |
сопротивления усталости, а также кри |
||||||||||||||||||||
оценок. |
Наиболее важными свойствами |
вых |
усталости. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
оценок |
являются |
несмещенность, |
со |
На рис. 137 показаны распределения |
||||||||||||||||||||
стоятельность, |
эффективность |
и |
доста |
|||||||||||||||||||||
среднего выборочного значения предела |
||||||||||||||||||||||||
точность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выносливости образцов |
сварных соеди |
|||||||||||||
Если а представляет |
собой достаточ |
нений с пересекающимися швами, по |
||||||||||||||||||||||
ную оценку параметра а, то не существу |
строенные |
по |
результатам испытания |
|||||||||||||||||||||
ет другой оценки этого параметра, |
2— 6 образцов |
на |
каждом |
уровне на |
||||||||||||||||||||
которую можно получить по выборке |
гружения, дан |
пример |
использования |
|||||||||||||||||||||
из некоторой генеральной совокупности |
метода максимума правдоподобия в со |
|||||||||||||||||||||||
и которая дала бы дополнительную |
четании с уравнениями кривых |
устало |
||||||||||||||||||||||
информацию о нем. Понятие достовер |
сти (6.36) и (6.37). Аналогичный анализ |
|||||||||||||||||||||||
ности |
эквивалентно |
требованию |
ми |
проводился для этих уравнений по |
||||||||||||||||||||
нимальной |
дисперсии. |
Достаточная |
всем |
упомянутым |
выше |
эксперимен |
||||||||||||||||||
оценка с необходимостью должна |
быть |
тальным |
данным |
на |
основе |
метода |
максимума правдоподобия и модифици рованного метода наименьших квадра тов. Установлено, что уравнения (6.36) « (6.37) в сочетании с обоими методами дают устойчивые оценки параметров <тд, Зон, А, В при всех моделированных
юбъемах испытаний.
Среднее значение оценки предела вы носливости образцов с пересекающими ся швами изменяется от 89,2 до 89,9 МПа. При этом смещение от эк спериментально установленного значе ния 88 МПа составляет менее 2 МПа
•и практического значения не имеет.
Разброс |
экстраполированных |
оце |
нок характеризуется наклоном |
графи |
нов функции распределения. Он за висит от объема выборки и с увеличе- «нием его уменьшается. При выборке по два образца на каждом уровне нагру жения ошибка определения среднего
вО |
85 |
90 |
е\К9Шк> |
|
|
Рис. |
137. Зависимость |
распределения |
ая |
о? |
|
|
объема |
выборки: |
|
|
|
а — |
коленчатые валы; |
б — пересекающиеся |
швьг, |
||
1 — 5 — соответственно по 2, 3, 4, 5 |
и 6 |
образцов |
|||
|
на каждом уровне нагружения. |
|
|
значения предела выносливости состав ляет около 2,5 МПа. С выборкой по 3, 4, 5 и 6 образцов она соответственно
уменьшается до 2,2; 2; 1,5 и 1,4 МПа. Дальнейшее увеличение объема испы таний практически не сказывается на
точности оценки |
среднего |
значения. |
|
По |
результатам испытания |
наплавлен |
|
ных |
коленчатых |
валов |
экстраполя |
ционная оценка од |
изменяется от 79,9 |
до 83,2 МПа при экспериментальном значении 84 МПа. Ошибка экстраполя ционных оценок при выборе по 26 ва лов на каждом из четырех уровней на гружения составляет соответственно 7,3; 3,6; 3,3; 1,9 и 1,4 МПа.
Высокую надежность экстраполя ционных оценок предела выносливости по уравнениям (6.36) и (6.37) используе мыми методами подтверждают также ре зультаты испытаний гладких образцов из сталей 45, ЗОХГСА, 35СД4, ХС10, а также планок с концентраторами на пряжений в виде отверстий, располо женными в поле разных остаточных напряжений. Для стали 45 экстраполя ционная оценка Од лежит в пределах 314,4—322,6 МПа при эксперимен тальном значении 310 МПа, а ошибка для рассматриваемых условий равна 15,2; 7,5; 5; 4,6 и 4,6 МПа. Подобные соотношения между расчетными и эк спериментальными оценками наблюда ются также для параметров 8 ап, А , В
по результатам рассмотренных и всех других испытаний.
Обобщенный анализ оценок парамет ров <тд, $ ая, А, В, полученных расчет но-экспериментальным методом по ре
зультатам статистического моделиро вания усталостных испытаний различ ного объема, приводит к выводу, что для всех серий образцов решение уравнений (6.36) и (6.37) методом максимума прав доподобия обеспечивает их достовер ность по сравнению с эксперименталь но установленными значениями. Раз брос расчетных оценок зависит от объе ма эксперимента. Однако во всех слу чаях коэффициент вариации существен
но |
меньше |
0,1 , что свидетельствует |
о |
высокой |
стабильности экстраполя |
ционной оценки параметров расчетных зависимостей. Сопоставление экстра поляционных оценок с результатами прямых опытов позволяет заключить, что расчетно-экспериментальный метод обеспечивает получение достаточных и вполне достоверных оценок параметров расчетных зависимостей по результа там испытания 12—16 образцов в об ласти ограниченной долговечности.
Г Л А В А В О С Ь М А Я
УСТАЛОСТНАЯ ДОЛГОВЕЧНОСТЬ СОЕДИНЕНИЙ ПРИ СЛУЧАЙНОМ НАГРУЖЕНИИ
Отличительной особенностью случай |
тивления усталости, но и от параметров |
||||||||||||||||||||
ного |
нагружения |
является |
вариация |
режима воздействия. В этих условиях |
|||||||||||||||||
параметров цикла переменных напряже |
точность определения усталостпой дол |
||||||||||||||||||||
ний, |
возникающих |
в |
конструкциях. |
говечности |
металлоконструкций в зна |
||||||||||||||||
Напряжения наиболее часто повторяю |
чительной |
|
мере |
обусловливается |
тем, |
||||||||||||||||
щихся циклов, как правило, ниже пре |
насколько |
правильно |
учитывается на |
||||||||||||||||||
дела выносливости. В то же |
время на |
копление |
усталостных |
повреждений |
в |
||||||||||||||||
пряжения других циклов могут превы |
процессе |
нагружения. |
Поэтому |
уста |
|||||||||||||||||
шать это значение. При таком нагруже |
новление закономерностей |
накопления |
|||||||||||||||||||
нии долговечность сварных соединений |
усталостных повреждений сварными со |
||||||||||||||||||||
зависит |
от |
накопления |
усталостных |
единениями во взаимосвязи с режимами |
|||||||||||||||||
повреждений и определяется величиной |
нагружения |
имеет |
основополагающее |
||||||||||||||||||
и повторяемостью |
действующих пере |
значение для создания надежных ме |
|||||||||||||||||||
менных |
напряжений. |
|
|
|
|
|
таллических |
конструкций. |
|
|
|
||||||||||
Известно |
достаточно |
много |
различ |
Методы |
|
изучения. |
Для |
обеспечения |
|||||||||||||
ных предложений по определению пов |
усталостной |
долговечности |
машин |
и |
|||||||||||||||||
реждающего воздействия случайных ре |
сооружений |
необходимо |
количествен |
||||||||||||||||||
жимов нагружения [24, 33, 64, 119, |
ное |
описание накопления |
усталостных |
||||||||||||||||||
225, 251 и др.]. Между тем их примени |
повреждений в металле в условиях |
||||||||||||||||||||
мость для определения усталостной дол |
случайного |
|
воздействия, |
приводящего |
|||||||||||||||||
говечности |
сварных соединений |
тре |
к возникновению усталостных трещин, |
||||||||||||||||||
бует |
специального |
рассмотрения. Осо |
их развитию и окончательному разру |
||||||||||||||||||
бое значение при этом приобретает |
шению. Решение этой проблемы осно |
||||||||||||||||||||
сопоставительный |
анализ |
гипотез |
на |
вано на обобщении результатов иссле |
|||||||||||||||||
копления |
усталостных |
повреждений, |
дований |
природы и |
|
закономерностей |
|||||||||||||||
обобщение исследований по выявлению |
сопротивления усталости |
металлов при |
|||||||||||||||||||
вероятностно-статистических |
|
законо |
различных режимах нагружения, уров |
||||||||||||||||||
мерностей накопления усталостных пов |
нях напряжений и чисел циклов до |
||||||||||||||||||||
реждений и |
установление |
критериаль |
разрушения |
и установлении |
осповных |
||||||||||||||||
ных оценок предельного состояния свар |
механизмов |
накопления |
|
поврежде |
|||||||||||||||||
ного соединения по условию сопротив |
ний — квазистатического, |
малоцикло |
|||||||||||||||||||
ления усталости. |
|
|
|
|
|
|
вого и многоциклового, на разделении |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
процесса разрушения на стадии заро |
|||||||||||
|
|
|
1. НАКОПЛЕНИЕ |
|
|
|
|
ждения и развития усталостных трещин |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и описания их кинетики развития с по |
||||||||||||||
|
УСТАЛОСТНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
В СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЯХ |
|
|
мощью подходов линейной и нелиней |
||||||||||||||||
При |
случайном |
нагружении |
кон |
ной механики разрушения и, наконец, |
|||||||||||||||||
на учете влияния на характеристики |
|||||||||||||||||||||
струкции долговечность сварных соеди |
сопротивления |
усталостному |
разруше |
||||||||||||||||||
нений, как и основного металла, зави |
нию |
конструктивных, |
эксплуатацион |
||||||||||||||||||
сит не только от характеристик |
сопро |
ных |
и технологических |
факторов. |
|